Эллипс определение вывод канонического уравнения

Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

Рис.1

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат XOY так, чтобы фокусы эллипса F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам (Рис.1). Обозначим F1F2=2c. Тогда координаты фокуса F1 будут (с;0), а координаты фокуса F2 будут (-с;0).

Возьмем произвольную точку М(x,y), лежащую на эллипсе. Соединим точку М с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков MF₁ и MF₂ обозначим соответственно через r₁ и r₂: МF₁=r₁; MF₂=r₂. Числа r₁ и r₂ называются фокальными радиусами точки М эллипса. Учитывая, что сумма r₁ и r₂ есть величина постоянная (это следует из определения эллипса), обозначим: r₁+r₂=2a; отсюда следует 2а>2c или a>c. В противном случае либо не существует точек, удовлетворяющих поставленным требованиям, либо совокупность этих точек сводится к отрезку F₁F₂.

На основании определения эллипса как геометрического места точек, можно утверждать, что для всех точек эллипса, и только для них, должно выполняться равенство:

Определим r₁ и r₂ по формулам расстояния между двумя точками:

. (2)

. (3)

Поставляя найденные значения r₁ и r₂ в уравнение (1), получим:

. (4)

Уравнение (4) является уравнением эллипса. Однако полученная форма уравнения является неудобной для пользования, поэтому обычно уравнение эллипса дается в ином виде.

Преобразуем уравнение (4). Пусть М(x,y) — точка эллипса, то есть равенство (4) имеет место. Перенесем первый радикал в правую часть и затем возведем обе части в квадрат:

(5)

выделим отсюда оставшийся радикал:

(6)

Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим:

, (7)

. (8)

Так как по условию a>c, то a 2 — c 2 >0. Обозначим разность a 2 — c 2 , как величину положительную, через b 2 = a 2 — c 2 . Очевидно, что

Подставляя b 2 = a 2 — c 2 в равенство (8), получим:

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,

и, разделив последнее равенство на a 2 b 2 , окончательно получим:

. (9)

Пусть теперь x и y — любые действительные числа. Рассмотрим уравнение (9). По доказанному, всякая пара чисел x, y, удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнению (9). Можно доказать, что и наобаро, всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению (9) удовлетворяет уравнению (4). Произведя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы из равенства (9) получим сначала равенство (8), затем равенство (7), которое сейчас запишем в виде:

a 2 ((x — c) 2 + y 2 = (a 2 — cx) 2 .

Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим

. (10)

Заметим теперь, что в силу равенства (9) должно быть |x| £ a. Так как |x| £ a и c 2 , следовательно, число a 2 — cx положительно. Поэтому в правой части равенства (10) необходимо взять знак плюс. Так мы приходим к равенству (6), после чего получим равенство (5); последнее мы напишем в виде:

(11)

(x — c) 2 + y 2 = x 2 — 2cx + c 2 + y 2 (12)

В силу равенства (9) имеем x 2 £ a 2 . Далее |cx| 2 , cледовательно, число -2cx по абсолютному значению меньше 2a 2 . Наконец, также из равенства (9) заключаем, что y 2 £ b 2 , то есть y 2 £ a 2 — c 2 или с 2 + y 2 £ a 2 . В силу этих неравенств вся сумма в правой части (12) меньше 4а 2 , значит, корень из этой суммы меньше 2а. Поэтому величина, стоящая внутри скобок в правой части (11), положительна, следовательно, в равенстве (11) перед скобками нужно брать знак плюс. Таким образом мы получаем:

,

откуда сразу следует равенство (4).

Итак, уравнение (4) выводится из уравнения (9), как и уравнение (9) выводится из уравнения (4). Тем самым доказано, что уравнение (9) есть уравнение данного эллипса, так как оно эквивалентно уравнению (4).

Уравнение (9) называется каноническим уравнением эллипса, это уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эллипс определение вывод канонического уравнения

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

В разделе 5.1 были сформулированы две основные задачи аналитической геометрии. Здесь мы изучим некоторые кривые на плоскости, решая первую задачу: по геометрическим свойствам кривой будем составлять её уравнение. При изучении поверхностей, наоборот, будем устанавливать их геометрические свойства, форму по известному уравнению. Кроме того, проведём исследование общего уравнения 2-й степени от 2 и 3 переменных.

8.1. Вывод уравнений эллипса, гиперболы, параболы

Эллипсом называется множество точек на плоскости, таких, что сумма расстояний от каждой до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Это определение позволяет построить эллипс. Возьмём на плоскости любые 2 точки F1 и F2 — фокусы. Возьмём нитку, длина которой больше расстояния между фокусами. Концы нитки закрепим в точках F1 и F2. Затем с помощью острия карандаша натянем нитку и, удерживая её в натянутом положении, нарисуем линию на плоскости. Это и есть эллипс. Действительно, сумма расстояний от любой точки линии до фокусов равна длине нитки, то есть постоянна.

Чтобы вывести уравнение эллипса, нужно выбрать на плоскости систему координат. В разных системах координат уравнения будут разными, выберем такую систему, чтобы уравнение имело наиболее простой вид. Ось OX проведём через фокусы F1 и F2. Середину отрезка F1F2 выберем в качестве начала координат O. Ось OY — через начало O перпендикулярно оси OX. Если обозначить расстояние |F1 F2| = 2c, то в такой системе координат фокусы имеют координаты F1(—c, 0), F2(c, 0). Постоянную сумму расстояний от произвольной точки

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>+\frac>>=1\label
$$
при условии \(a \geq b > 0\).

Из уравнения \eqref следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты \((a, 0)\), \((-a, 0)\), \((0, b)\) и \((0, -b)\), называются вершинами эллипса. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты \((x, y)\) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты \((-x, y)\), \((x, -y)\) и \((-x, -y)\) точек \(M_<1>\), \(M_<2>\) и \(M_<3>\) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^<2>+y^<2>=a^<2>\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a\).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что \(\varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-\varepsilon x,\ r_<2>=|F_<2>M|=a+\varepsilon x.\label
$$

Очевидно, что \(r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>\). Подставим сюда выражение для \(y^<2>\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-\fracx^<2>>>.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+\fracx^<2>>>=(a-\varepsilon x)^<2>.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.\label
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref, то есть
$$
\sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=a\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref. Мы придем к \(b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>\), равносильному уравнению эллипса \eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — точка на эллипсе и \(y_ <0>\neq 0\). Через \(M_<0>\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_ <0>> 0\) это график \(f_<1>(x)=b\sqrt<1-x^<2>/a^<2>>\), для \(y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.