Эллипс уравнение и основные свойства

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Что такое эллипс: определение, основные элементы, уравнение

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и уравнения (каноническое и параметрическое) одной из основных геометрических фигур – эллипса.

Определение эллипса

Эллипс – это замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от каждой точки которой до ее фокусов (F₁ и F₂) равна постоянному значению.

Примечание: частным случаем эллипса является окружность.

Элементы эллипса

Для рисунка выше:

• F₁ и F₂ – фокусы эллипса;
• A₁A₂ – большая ось эллипса, проходит через его фокусы;
• B₁B₂ – малая ось эллипса, перпендикулярна большей оси и проходит через ее центр;

Примечание: свойства эллипса представлены в отдельной публикации.

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса (точка O) находится в начале системы координат (декартовой), а большая ось лежит на оси абсцисс, то фигуру можно описать уравнением ниже:

Если центр эллипса находится в точке с координатами (x₀; y₀), уравнение принимает следующий вид:

Параметрическое уравнение эллипса

Эллипс, его каноническое уравнение, свойства и параметры

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. При совпадении точек F₁ и F₂ эллипс превращается в окружность. Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F₁F₂, начало координат – с серединой отрезка F₁F₂. Пусть длина этого отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат F₁(-c, 0), F₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее до F₁ и F₂ равна 2а. Тогда r₁ + r₂ = 2a, но , поэтому Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:

Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b(2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3)Эксцентриситет эллипса e a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.