Эллиптические функции и алгебраические уравнения

Эллиптические функции и алгебраические уравнения

Addison-Wesley
Advanced book program
Reading, Massachusetts

LONDON · AMSTERDAM · DON MILLS
ONTARIO · SYDNEY · TOKYO

МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984

3712 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика 6 Предисловие 7 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ . ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Глава 1 . Эллиптические функции 9 § 1. Теоремы Лиувилля 9 § 2. Функция Вейерштрасса 11 § 3. Теорема сложения 16 § 4. Классы изоморфных эллиптических кривых 18 § 5. Эндоморфизмы и автоморфизмы 24 Глава 2 . Гомоморфизмы 26 § 1. Точки конечного порядка 26 § 2. Изогении 28 § 3. Инволюция 31 Глава 3 . Модулярная функция 32 § 1. Модулярная группа 32 § 2. Автоморфные функции степени 2 k 35 § 3. Модулярная функция j 42 Глава 4 . Разложения Фурье 45 § 1. Ряды Фурье для G k , g 2 , g 3 , Δ и j 45 § 2. Ряд Фурье для функции Вейерштрасса 47 § 3. Числа Бернулли 49 Глава 5 . Модулярное уравнение 51 § 1. Целочисленные матрицы с положительным определителем 52 § 2. Модулярное уравнение 54 § 3. Связь с изогениями 59 Глава 6 . Высшие уровни 61 § 1. Конгруэнц-подгруппы 61 § 2. Поле модулярных функций над C 62 § 3. Поле модулярных функций над Q 66 § 4. Подполя поля модулярных функций 73 Глава 7 . Автоморфизмы поля модулярных функций 76 § 1. Рациональные адели группы GL 2 76 § 2. Действие рациональных аделей на поле модулярных функций 78 § 3. Точная последовательность Шимуры 84 ЧАСТЬ ВТОРАЯ . КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ИНВАРИАНТАМИ Глава 8 . Результаты из алгебраической теории чисел 87 § 1. Решетки в квадратичных полях 88 § 2. Пополнения 97 § 3. Группа разложения и автоморфизм Фробениуса 100 § 4. Краткий обзор теории полей классов 107 Глава 9 . Редукция эллиптических кривых 110 § 1. Невырожденная редукция. Общий случай 110 § 2. Редукция гомоморфизмов 112 § 3. Накрытия уровня N 113 § 4. Редукция дифференциальных форм 117 Глава 10 . Комплексное умножение 122 § 1. Построение полей классов. Подход Дойринга 122 § 2. Идельная формулировка для произвольных решеток 129 § 3. Построение полей классов при помощи сингулярных значений модулярных функций 132 § 4. Эндоморфизм Фробениуса 136 Приложение. Соотношение Кронекера 144 Глава 11 . Закон взаимности Шимуры 148 § 1. Соотношение между общими и специальными расширениями 148 § 2. Приложение к частному двух модулярных форм 153 Глава 12 . Функция Δ(ατ)/Δ(τ) 159 § 1. Поведение под действием автоморфизма Артина 159 § 2. Разложение на простые множители 161 § 3. Аналитическое доказательство соотношения сравнимости для функции j 166 Глава 13 . l -адическое и p -адическое представления Дойринга 169 § 1. l -адические пространства 170 § 2. Представления в характеристике p 173 § 3. Представления и изогении 177 § 4. Редукция кольца эндоморфизмов 180 § 5. Теорема поднятия Дойринга 183 Глава 14 . Теория Ихары 186 § 1. Представители Дойринга 186 § 2. Общая ситуация 189 § 3. Специальные ситуации 190 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ . ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ИНВАРИАНТАМИ Глава 15 . Параметризация Тейта 193 § 1. Эллиптические кривые с нецелыми инвариантами 193 § 2. Эллиптические кривые над полным локальным кольцом 198 Глава 16 . Теоремы об изогении 202 § 1. p -адические представления Галуа 202 § 2. Результаты из теории Куммера 205 § 3. Локальные теоремы об изогении 208 § 4. Суперсингулярная редукция 211 § 5. Глобальные теоремы об изогении 214 Глава 17 . Точки конечного порядка над числовыми полями 219 § 1. Теорема Шафаревича 219 § 2. Теорема о неприводимости 224 § 3. Горизонтальная группа Галуа 225 § 4. Вертикальная группа Галуа 228 § 5. Конец доказательства 230 ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ . ТЭТА-ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА Глава 18 . Бесконечные произведения 233 § 1. Сигма-функция и дзета-функция. Кососимметрическое спаривание 233 § 2. Нормализация и q -произведение для 240 § 3. q -разложения 242 § 4. q -произведение для Δ 243 § 5. η-функция Дедекинда 246 § 6. Модулярные функции уровня 2 248 Глава 19 . Основная тэта-функция 251 § 1. Основные свойства 251 § 2. Функции Зигеля 252 § 3. Специальные значения функций Зигеля 255 Глава 20 . Предельные формулы Кронекера 258 § 1. Формула суммирования Пуассона 258 § 2. Примеры 260 § 3. Функция K s ( x ) 261 § 4. Первая предельная формула Кронекера 265 § 5. Вторая предельная формула Кронекера 267 Глава 21 . Первая предельная формула 271 § 1. Связь с L -рядами 271 § 2. Определитель Фробениуса 276 § 3. Приложение к L -рядам 278 Глава 22 . Вторая предельная формула 279 § 1. Суммы Гаусса 279 § 2. Выражение для L -ряда 281 ПРИЛОЖЕНИЯ . ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ Приложение 1 . Алгебраические формулы в произвольной 287 § 1. Обобщенная форма Вейерштрасса 287 § 2. Канонические формы 290 § 3. Разложение в окрестности O . Формальная группа 293 Приложение 2 . След Фробениуса и дифференциал первого рода 295 § 1. След Фробениуса 295 § 2. Двойственность 296 § 3. След Тейта 297 § 4. Оператор Картье 299 § 5. Инвариант Хассе 304 Список литературы 309

Эллиптические функции появились в математике в начале XIX века, который из-за обилия открытых в нем различного рода функций математики иногда называют веком специальных функций. Среди всех специальных функций эллиптические функции с момента их открытия выделились универсальностью своих свойств (причем не только аналитического, но и алгебро-арифметического и топологического характера). Именно благодаря разнообразию свойств эллиптические функции постоянно служили источником новых идей и являлись связующим звеном для различных математических теорий.

С историей эллиптических функций и их ролью в математике XIX века читатель может познакомиться по книге «Математика XIX века: геометрия, теория аналитических функций» (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1981). Здесь же хотелось лишь отметить, что теория эллиптических функций зародилась в трудах Гаусса, Абеля и Якоби. Дальнейшее развитие теории связано с именами Эйзенштейна, Лиувилля, Вейерштрасса, Римана, Кронекера, Фробениуса, Вебера и Фрикке.

В первой половине XX века развивались только отдельные аспекты теории эллиптических функций и в первую очередь те, которые связаны с теорией полей классов. Полученные в этом направлении результаты связаны с именами Гильберта, Фуртвенглера, Тагаки, Е. Артина, Дойринга, Хассе, Шевалле и И. Р. Шафаревича. В полной мере интерес к эллиптическим функциям возродился лишь в последние годы, и этим мы во многом обязаны Шимуре, представившему классические результаты Кронекера, Вебера и Фрикке в совершенно новом свете.

Несмотря на огромный интерес, который вызывали и вызывают эллиптические функции, на русском языке имеется очень мало книг, посвященных собственно эллиптическим функциям. Книга Н. И. Ахиезера «Элементы теории эллиптических функций» (М.: Наука, 1970) затрагивает лишь аналитическую сторону вопроса. В превосходной книге Г. Шимуры «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций» (М.: Мир, 1973) эллиптические функции рассмотрены очень сжато, лишь как частный случай общих теорий.

Предлагаемый перевод книги С. Ленга должен в некоторой степени устранить указанный пробел.

Эллиптические функции параметризуют эллиптические кривые и, соединяя в себе аналитические и алгебро-арифметические теории, занимают центральное место в математике с начала XIX столетия.

Недавно в этом старом предмете появились новые технические приемы и точки зрения, продолжающие традиции Кронекера, Вебера, Фрикке, Хассе, Дойринга. Книга Шимуры (Имеется русский перевод: Шимура Г . Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973. — Прим. перев. ) является блестящим эталоном современного изложения, и я нашел ее очень полезной для себя при изучении некоторых аспектов эллиптических кривых. Указанная книга придает особое значение Хассе—Вейля, операторам Гекке и обобщениям на случай высшей размерности (абелевым многообразиям; кривым высших родов, появляющимся из арифметических групп, действующих на верхней полуплоскости; ограниченным симметрическим областям с дискретной арифметической группой, которой является алгебраической).

В предлагаемой книге внимание уделяется некоторым другим аспектам теории. Для ее чтения требуется меньше предварительных знаний, и изложение теории эллиптических функций начинается с самого начала. В книге не обсуждаются операторы Гекке, но рассматриваются некоторые вопросы, не освещенные в книге Шимуры, а именно: теория Дойринга и представлений; приложение к работе Ихары; обсуждение эллиптических кривых с нецелым инвариантом и параметризации Тейта с приложением к работе Серра по группам Галуа точек конечного порядка над числовыми полями и к теореме об изогении; наконец, предельная формула Кронекера и обсуждение значений специальных модулярных функций, являющихся отношениями которые лучше значений функции Вейерштрасса, так как являются единицами при собственной нормализации и ведут себя регулярным образом под действием группы Галуа.

Таким образом, эта книга существенно отличается от книги Шимуры. Однако оказалось невозможным полностью избежать пересечений, и я решил переизложить теорию комплексного умножения, следуя алгебраическому методу Дойринга, а также воспроизвести некоторые результаты Шимуры либо с упрощениями (например, в его законе взаимности для неподвижных точек), либо с другим доказательством (например, для теоремы об автоморфизмах поля модулярных функций).

Я не выделяю особо эллиптические кривые в характеристике p , за исключением случая, когда они возникают при редукции из характеристики 0. Таким образом, я опустил большую часть теории, относящейся к собственно характеристике p , в том числе изящную теорию суперсингулярных инвариантов. Однако хотелось бы предупредить, что эта теория важна для более глубокого понимания арифметической теории эллиптических кривых. Два приложения помогут читателю при ознакомлении с соответствующей литературой.

Эллиптические функции и алгебраические уравнения