Еремин м а уравнения высших степеней арзамас 2003

FB2 Portal Электронная библиотека

Еремин М.А.: Уравнения высших степеней

Жанр : Разное
Издательство : Эдиториал УРСС
Год издания : 2013

В книге изложен принципиально новый метод решения уравнений и исследования функций одного действительного переменного на основе определителя уравнений. Дана основная теория данного метода, подкрепленная многочисленными примерами решения уравнений и исследования функций. Метод настолько прост и элегантен, что становится доступным читателю с любым уровнем математической подготовки. Книга предназначена преподавателям, аспирантам, студентам высших и средних специальных учебных заведений. Книга также полезна преподавателям и выпускникам школ, так как содержит практически весь материал по решению различного рода уравнений (алгебраических, логарифмических, показательных, тригонометрических).

Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.

Учебный проект » Решение уравнений высших степеней» выполнила ученица 8б класса.

Просмотр содержимого документа
«Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.»

Алгебраические уравнения высших степеней

Ученица 8б класса

Затеева Валентина Павловна

Цели работы : Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

Уравнения с одной переменной степени выше второй

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Основные методы решения уравнений высших степеней :

1.Метод введения новой переменной

Одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.

Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:

(x 2 +4x)(x 2 +4x-17)=-60

Пусть х²+4х=t, тогда t(t-17)=-60

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2 ) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

В ходе исследовательской работы я познакомилась с основными методами решения уравнений высших степеней. Так же рассмотрела их решение. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма

• Ерёмин М.А. Уравнения высших степеней-Арзамас,2003
• Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней
• Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней

Различные методы решения алгебраических и показательных уравнений

Разделы: Математика

Пояснительная записка.

Изучению тем «Многочлены», «Показательная функция» в программе по математике основной и старшей школы уделяется большое внимание. Изучаются стандартные методы решений алгебраических и показательных уравнений. При подготовке к Е.Г.Э. эти задачи входят в группы А и В.

Для того чтобы решать задания группы. С необходимо овладеть нестандартными методами решений уравнений, такими как функциональный подход, введение параметрической плоскости.

При изучении тем «Многочлены», «Показательная функция» данный элективный курс поможет учащимся освоить такие свойства функции как монотонность, использование свойств симметрии аналитических выражений, экстремальные свойства, а так же область значений функции.

Углубление темы «Алгебраические уравнения» происходит за счет изучения возвратный, симметрических, кососимметрических уравнений.

Решение показательных и алгебраических уравнений с параметром позволяет систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, содействует развитию исследовательских способностей.

Выполняя довольно сложные математические преобразования при решении уравнений, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные методы решений, отыскивать наиболее рациональные при выполнении тестов, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательным и точным.

Проводя цепочку логических рассуждений, выбирая правильный метод решения, учащиеся понимают, что даже самые сложные уравнения становятся решаемыми, нужно только правильно выбрать метод решения.

Цель курса:

• Научить решать алгебраические и показательные уравнения различными методами;
• Уметь применять свойства функций при решении задач с параметрами;
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности.

Задачи курса:

• Изучить основные теоретические положения для решения алгебраических уравнений;
• Изучить схему Горнера;
• Научить учащихся решать возвратные уравнения, однородные уравнения, уметь использовать метод замены переменных;
• Научить учащихся решать показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным;
• Научить учащихся использовать свойства функции при решении уравнений.

Весь теоретический материал используется без строгого доказательства, иллюстрируется для учащихся конкретными примерами.

Основное содержание курса опирается на необходимый минимум знаний, но предназначен он для учащихся, интересующихся математикой. Предлагаются задания различной степени сложности, которые должны удовлетворять запросу учащихся с различными учебными возможностями.

При проведении курса предлагается классно-урочная форма занятий. Каждая тема заканчивается самостоятельной проверочной работой, выполняя которую учащиеся должны убедиться, что основной материал ими понят и усвоен. Используются уроки-семинары.

Учитель создает творческую атмосферу на уроках, используя элементы разноуровнего обучения, предлагая задачи поисково-исследовательского характера.

Содержательная часть.

Глава 1. Алгебраические уравнения.

Исторические сведения о решении алгебраических уравнений.

Схема Горнера, алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

Возвратные уравнения и методы их решения.

Метод замены переменной.

Различные виды уравнений четвертой степени, в результате преобразований и замены, сводящиеся к квадратным.

Метод неопределенных коэффициентов.

Алгебраические уравнения с параметрами, использование параметра как равноправной переменной. Использование параметрической плоскости.

Глава 2. Показательные уравнения.

Решение показательных уравнений с параметрами вида , аналитическим и графическим способом, а так же использование параметрической плоскости.

Показательные уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным. Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки.

Использование области значений функции при решении задач с параметрами.

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнения. Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно-обратных чисел, неравенство для синуса и косинуса, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

Свойства монотонных функций. Теоремы о монотонных функциях

1) 2) 3) 4)

Использование симметрии аналитических выражений.

Определение симметричной системы относительно одной переменной, двух переменных. Условия единственности решения в симметричных системах.

Учебно-тематический план.

№ п/п	Наименование темы.	Количество часов.
Алгебраические уравнения	7 часов
1	Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами.	1 час
2	Возвратные уравнения и методы их решения.	1 час
3-4	Различные методы решений алгебраических уравнений.	2 часа
5	Алгебраические уравнения с параметрами.	1 час
6	Использование параметрической плоскости.	1 час
7	Обобщающий урок по теме «Алгебраические уравнения»	1 час
Показательные уравнения	10 часов
8-9	Решение показательных уравнений с параметрами вида ,	2 часа
10	Показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным.	1 час
11	Область значений функции	1 час
12-13	Экстремальные свойства функции.	2 часа
14-15	Монотонность.	2 часа
16-17	Использование симметрии аналитических выражений.	2 часа

Методическая часть

I. Требования к знаниям и умениям учащихся.

В результате изучения программы учащиеся получают возможность

Знать:

• Схему Горнера;
• Теорему Безу и следствия из нее;
• Схему решения возвратных уравнения, однородных уравнений;
• Метод замены переменной при решении уравнений высших степеней;
• Метод неопределенных коэффициентов;
• Аналитические и графические методы решения уравнений с параметрами;
• Схему решения показательных уравнений с параметром, сводящихся к квадратным;
• Основу метода оценок;
• Свойства и теоремы о монотонности;
• Определения симметричных выражений, условия единственности симметричных систем и уравнений;

Уметь

• Применить схему Горнера при делении многочленов;
• Распознавать и решать возвратные, однородные алгебраические уравнения высших степеней;
• Решать уравнения высших степеней методом замены переменных;
• Решать алгебраические уравнения высших степеней с использованием параметрической плоскости;
• Исследовать показательные уравнения вида и в зависимости от параметра ;
• Исследовать показательные уравнения с параметрами, сводящимся к квадратным;
• Использовать область значений функции при решении уравнений;
• Использовать экстремальные свойства функций при решении уравнений;
• Применять свойства и теоремы монотонности при решении уравнений;
• Использовать симметрию в системах показательных уравнений.

II. Основополагающая линия занятий курса – поисковый метод.

Учитель только сталкивает учащихся с незнанием, направляет их мыслительную деятельность. Школьники сами пытаются решить проблему, применить теорию на практике, сделать выводы. Для закрепления теоретического материала используются уроки-практикумы. При изучении новой темы или обобщения материала проводятся уроки-семинары. Каждая тема заканчивается проверкой уровня усвоения. Проверочные работы оцениваются отметками («3», «4», «5»).

Учащимся сообщается, что по мере изучения курса они должны написать творческую работу или доклад и принять участие в научно-практической конференции районного уровня.

Лучшие творческие работы учитель предлагает отправить на «Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио».

Литература

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.А. «Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике», МН: ООО «Асор», 2004
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. и др. «Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для углубленного изучения математики в 10 классе.
3. Галицкий М.А. и др. «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа», М., «Просвещение», 1996
4. Галицкий М.А. и др. «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов», М., «Просвещение», 1992
5. Гормштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С., «Задачи с параметрами», «Илекса», «Гимназия», Москва-Харьков, 2003
6. Галицкий М.Ф., Мошкович М.М., Шварцбург С.И., «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа», М., «Просвещение», 1997
7. Гольдич В.А., «Решение уравнений и неравенств. Алгебра», Издательский дом «Литера», СпБ, 2004
8. Еремин М.А., «Уравнения высших степеней», Арзамас, 2003
9. Малышев И.Г., Малышев А.И., «Многочлены в школьном курсе математики и на вступительных экзаменах», учебное пособие, изд-во Нижегородского госуниверситета, Нижний Новгород, 2006
10. Олехник С.Н., Потапов М.К. и др. «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», изд-во МГУ, 1991.