Если число 2 корень уравнения х2 вх

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Теорема Виета и её применение

Разделы: Математика

Цель:

• Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
• Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
• Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.

Оборудование:

• Кодоскоп
• Карточки тесты
• Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
• Сигнальные карточки.

Ход урока

I Повторение пройденного материала

1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.

А) 5х 2 – 7х + 2 = 0	[т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = ]
Б) х 2 – 12х + 35 = 0	[по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5]
В) 313х 2 + 326х + 13 = 0	[а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = –]
Г) 4х 2 + 12х + 5 = 0	[метод переброски х1 = –, х2 = –]
Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:
х1 = 5, х2 = –6	[ х 2 + х –30 = 0]
х1 = 2, х2 =	[ х 2 – (2 – ) х + 2 = 0]

Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х 2 .

х₁ + х₂ = –

х₁х₂ = .

Т.к. квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет корни х₁ и х₂, то справедливо тождество ах 2 + вх + с = а(х – х₁)(х – х₂).

Раскроем скобки в правой части этого тождества:

х 2 + х – х₂х + х₁х₂,

отсюда следует, что х₁ + х₂ = – и х₁* х₂ = . Что и требовалось доказать.

Обратная теорема Виета.

Если выполняются равенства х₁ + х₂ = – и х₁х₂ = , то числа х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах 2 + вх + с = 0.

Свойства коэффициентов 1.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а0. Если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

ах 2 + вх + с = 0, а0

Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х 2 + .

Согласно теореме Виета		х1 + х2 = –
		х1

По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит		х1 + х2 = – = 1 +
		х1* х2 = 1 *

Получим х₁ = 1, х₂ = .

Свойство коэффициентов 2.

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 а – в + с = 0, то х₁ = – 1, х₂ = – .

В итоге на доске открывается таблица:

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Уравнение	Условие	Заключение	Пример
ах 2 + вх + с = 0	х1 и х2	х1 + х2 = – , х1 * х2 =	х1 = 7 + ; х2 = 2 –

х₁ + х₂ = 9; х₁х₂ = 11 – 5ах 2 + вх + с = 0х₁ + х₂ = – , х₁ * х₂ = х₁ и х₂ корних 2 + 5х + 6 = 0

х₁ = – 2, х₂ = – 3ах 2 + вх + с = 0а + в + с = 0х₁ = 1, х₁ = 1998х 2 – 907х – 1091 = 0

х₁ = 1, х₂ = ах 2 + вх + с = 0а – в + с = 0х₁ = – 1, х₁ = – 127х 2 + 250х + 123 = 0

х₁ = – 1, х₁ = – ах 2 + вх + с = 0а 2 х 2 + авх + ас = 0

у₁, у₂х₁ =

х₂ = 4х 2 + 12х + 5 = 0

у 2 + 12у + 20 = 0

х₁ = – , х₂ = – ;

у₁ = – 2, у₂ = – 10.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.

II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.

1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х 2 – 3e х? + 1 = 0.

	х 2 + 3х + 1 = 0;	х1 + х2 = – 3;	х1 * х2 = 1;
	х 2 – 3х + 1 = 0;	х3 + х4 = 3;	х1 * х2 = 1;

х + х + х + х = (х₁ + х₂) 2 – 2х₁х₂ + (х₃х₄) 2 – 2х₃х₄ = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.

2. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х 2 – 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:

+ = = = = 150,5

– = = = 2.

Искомое уравнение имеет вид

х 2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х 2 – 301х + 4 = 0.

3. Корни уравнения х 2 – вх – в = 0 таковы, что х + х + хх = 7,5.

х + х = (х)(( х) – 3х) + х = b(b + 3b) – b 3 = b 3 + 3b 2 – b 3 = 3b 2 = 75.

4. Пусть х₁и х₂ корни уравнения 3х 2 + 14х – 4 = 0.

Установите, больше или меньше единицы значение дроби

.

х₁ + х₂ = – ;

х₁ * х₂ = – ;

5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?

х₁ + х₂ = = > 1 + х₁ + х₂ =

х₁ * х₂ = = > 2х₂ + 1 = = > х₂ = .

х₁ = 1 +

х₁ =

= ;

(а + 3)(а – 1) = 8а + 24

а 2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0

III. Тест – самостоятельная по карточкам.

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

х 2 + (

А) 2; ;

Б) ——;

В); ;

Г) нет правильных ответов.

Не решая квадратного уравнения 3х 2 -х-11 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х 2 —

Б) х 2 —

В) х 2 +

Г) х 2 +

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

1) Решите уравнение:

х 2 -(

А) 5; ;

Б) ——;

В) —; ;

Г) ; .

Не решая квадратного уравнения 2х 2 -5х-4 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х 2 —

Б) х 2 —

В) х 2 +

Г) х 2 +

Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.

IV. Домашнее задание

Поменяться карточками с творческими заданиями.

Что такое корень уравнения

Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно \(x\)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.

Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная , а корень – это число , которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.

Пример : Является ли \(5\) корнем уравнения \(x^<2>-2x-15=0\)?
Решение : Подставим \(5\) вместо икса:

По обе стороны от равно — одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.

Матхак : на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.

Пример : Какое из чисел \(0, \pm1, \pm2\), является корнем для \(2x^<2>+15x+22=0\)?
Решение : Проверим подстановкой каждое из чисел:

Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований , для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.

Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение \(0\cdot x=5\). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) — все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.

Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение \(x^2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).