Дискриминант
Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.
Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).
Дискриминант и корни квадратного уравнения
Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.
Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, \(\sqrt
Если дискриминант положителен
В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Найдем корни уравнения
Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt
На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение \(x^2+2x-3=0\) имеет корни \(x_<1>=1\) и \(x_<1>=-3\), значит при подстановке \(1\) и \(-3\) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию \(y=x^2+2x-3\) получим \(y=0\). То есть, функция \(y=x^2+2x-3\) проходит через точки \((1;0)\) и \((-3;0)\) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).
Если дискриминант равен нулю
А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.
Формулы корней выглядят так: \(x_<1>=\) \(\frac<-b+\sqrt
То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.
На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция \(y=x^2-4x+4\) будет выглядеть вот так:
Если дискриминант отрицателен
В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы
То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.
Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.
Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!
Дискриминант квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |  |
 | p 2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
,
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,
Решение (корни) квадратного уравнения
Определение квадратного уравнения и общее понятие о его корнях
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0 , где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0 .
Например, квадратным является уравнение
В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.
Уравнения вида ax² + bx = 0 ,
называются неполными квадратными уравнениями.
Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.
Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac , которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:
— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;
— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).
Геометрический смысл решения квадратного уравнения
График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y . Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.
Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x .
Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения
1. Если дискриминант больше нуля (
), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Они вычисляются по формулам:
и
.
Часто пишется так: 
.
2. Если дискриминант равен нулю (
), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны 
.
3. Если дискриминант меньше нуля (
), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
.
Решение. Найдём дискриминант:
.
Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.
Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, 
. О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.
Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
.
Решение. Найдём дискриминант:
.
Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.
Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
.
Решение. Найдём дискриминант:
.
Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Решение полных квадратных уравнений
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:
.
В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:
,
Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:
Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:
.
В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:
.
Применим формулу корней квадратного уравнения 
. Отсюда 
, 
. Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень: 
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Корни приведённого квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение 
. Так как 
, то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение 
. Полагая, что 
и 
, приходим к уравнению 
, в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.
Формула корней приведённого уравнения имеет вид:
.
Теорема Виета
Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a , а произведение равно с/a :
Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни 
и 
, то
Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.
Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.
Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение
имело корни 
и 
.
По формулам Виета 
, 
. Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид 
Решение неполных квадратных уравнений
Пример 7. Решить квадратное уравнение 
.
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим
Произведение 
равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 
или 
. Решая уравнение , находим 
.
Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .
Пример 8. Решить квадратное уравнение 
.
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение
.
Так как 
, то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .
Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения
Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:
.
Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.
Пример 9. Упростить выражение:
.
Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:
.
Корни квадратного уравнения будут следующими:
.
Разложим квадратный многочлен на множители:
.
Упростили выражение, проще не бывает:
.
Пример 10. Упростить выражение:
.
Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:
.
Корни первого квадратного уравнения будут следующими:
.
Находим дискриминант второго квадратного уравнения:
.
Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:
.
Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:
.
Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.
Из истории решения квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39 ).
Площадь большого квадрата равна (x + 5)² . Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2 , равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:
Различные прикладные задачи на квадратные уравнения
Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?
Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:
Произведём дальнейшие преобразования:
Получили квадратное уравнение, которое и решим:
Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.
Ответ: в отрезке 20 м ткани.
Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?
Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:
Найдём корни квадратного уравнения:
Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.
Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/diskriminant.html
http://function-x.ru/sq_equations.html