Если fфакт меньше fтабл то уравнение регрессии считается

Оценка значимости уравнения множественной регрессии (F-критерий): Если Fфакт

Оценка значимости уравнения множественной регрессии (F-критерий): Если Fфакт > Fтабл, то признается статистическая значимость» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_0.jpg» alt=»>Оценка значимости уравнения множественной регрессии (F-критерий): Если Fфакт > Fтабл, то признается статистическая значимость» /> Оценка значимости уравнения множественной регрессии (F-критерий): Если Fфакт > Fтабл, то признается статистическая значимость и надежность уравнения. Если Fфакт » />

частный F-критерий Во множественной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_2.jpg» alt=»>частный F-критерий Во множественной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и» /> частный F-критерий Во множественной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Это связано с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F-критерий, т.е. Fxi.

Частный F-критерий Частные критерии Fx1 оценивает статистическую значимость включения фактора x1 в» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_3.jpg» alt=»>Частный F-критерий Частные критерии Fx1 оценивает статистическую значимость включения фактора x1 в» /> Частный F-критерий Частные критерии Fx1 оценивает статистическую значимость включения фактора x1 в уравнение множественной регрессии после другого фактора , т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение x1 после включения в него, например, фактора x2.

Методика построения Fxj Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_4.jpg» alt=»>Методика построения Fxj Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно» /> Методика построения Fxj Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. Предположим, что для регрессии с двумя факторами оцениваем значимость влияния Х1 как дополнительно включенного в модель фактора. Используем следующую формулу:

пример N=23 Y=20+5X1+ 2X2 » src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_6.jpg» alt=»>пример N=23 Y=20+5X1+ 2X2 » /> пример N=23 Y=20+5X1+ 2X2 SST=1000 SSR=700 R2=0,7 r2yx1=0,6

Fx2 Fx2 =(0,7-0,6) x 20/0,3 =6,67 F(a=0,05; 1 и 20)=4,35″ src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_7.jpg» alt=»>Fx2 Fx2 =(0,7-0,6) x 20/0,3 =6,67 F(a=0,05; 1 и 20)=4,35″ /> Fx2 Fx2 =(0,7-0,6) x 20/0,3 =6,67 F(a=0,05; 1 и 20)=4,35

Зная величину Fxi можно определить и t – критерий для коэффициента регрессии при i-том» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_8.jpg» alt=»>Зная величину Fxi можно определить и t – критерий для коэффициента регрессии при i-том» /> Зная величину Fxi можно определить и t – критерий для коэффициента регрессии при i-том факторе.

связь частного Fкритерия Частный F-критерий связан с частной корреляцией. Частный F-критерий в числителе» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_9.jpg» alt=»>связь частного Fкритерия Частный F-критерий связан с частной корреляцией. Частный F-критерий в числителе» /> связь частного Fкритерия Частный F-критерий связан с частной корреляцией. Частный F-критерий в числителе формулы содержит прирост факторной дисперсии, т.е сокращение остаточной дисперсии, которая учитывается в частной корреляции. Поэтому отсев факторов при построении модели множественной регрессии возможен при использовании как частной корреляции, так и частного F-критерия, а также t-критерия Стьюдента и стандартизованных коэффициентов регрессии (β).

Прогноз по множественной регрессии» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_10.jpg» alt=»>Прогноз по множественной регрессии» /> Прогноз по множественной регрессии

Модели на основе рядов динамики Модели изолированного динамического ряда. Модели системы взаимосвязанных рядов» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_12.jpg» alt=»>Модели на основе рядов динамики Модели изолированного динамического ряда. Модели системы взаимосвязанных рядов» /> Модели на основе рядов динамики Модели изолированного динамического ряда. Модели системы взаимосвязанных рядов динамики. Модели автрегрессии. Модели с распределенным лагом.

Компоненты временного ряда Тенденция (T) Периодические колебания (P) Случайные колебания (E)» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_13.jpg» alt=»>Компоненты временного ряда Тенденция (T) Периодические колебания (P) Случайные колебания (E)» /> Компоненты временного ряда Тенденция (T) Периодические колебания (P) Случайные колебания (E)

ИЦ производителей с/х,2000-2012″ src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_14.jpg» alt=»>ИЦ производителей с/х,2000-2012″ /> ИЦ производителей с/х,2000-2012

Динамика инвестиций в основной капитал по РФ 2000-2012гг» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_15.jpg» alt=»>Динамика инвестиций в основной капитал по РФ 2000-2012гг» /> Динамика инвестиций в основной капитал по РФ 2000-2012гг

Ряд с периодическими и случайными колебаниями Ряд» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_16.jpg» alt=»>Ряд с периодическими и случайными колебаниями Ряд» /> Ряд с периодическими и случайными колебаниями Ряд с тенденцией, периодическими и случайными колебаниями

Аддитивная модель Мультипликативная модель» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_17.jpg» alt=»>Аддитивная модель Мультипликативная модель» /> Аддитивная модель Мультипликативная модель

Автокорреляция уровней ряда и ее последствия Корреляционная зависимость между последовательными значениями уровней временного ряда» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_18.jpg» alt=»>Автокорреляция уровней ряда и ее последствия Корреляционная зависимость между последовательными значениями уровней временного ряда» /> Автокорреляция уровней ряда и ее последствия Корреляционная зависимость между последовательными значениями уровней временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда

Уравнения трендов» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_20.jpg» alt=»>Уравнения трендов» /> Уравнения трендов

Линейный тренд» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_21.jpg» alt=»>Линейный тренд» /> Линейный тренд

Линейный тренд :Y=a+bt равным абсолютным приростом (параметр b) индекс потребительских цен за 12″ src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_22.jpg» alt=»>Линейный тренд :Y=a+bt равным абсолютным приростом (параметр b) индекс потребительских цен за 12″ /> Линейный тренд :Y=a+bt равным абсолютным приростом (параметр b) индекс потребительских цен за 12 месяцев = 100,5 + 2t, где t = 1, 2,…, 12 у1=102,5; у12=124,5

Парабола 2-го порядка» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_23.jpg» alt=»>Парабола 2-го порядка» /> Парабола 2-го порядка

Парабола :Y=a+bt+ct2 постоянное абсолютное ускорение(∆2) параметр «а»−У при t=0 Параметр «с»=0,5(∆2)» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_24.jpg» alt=»>Парабола :Y=a+bt+ct2 постоянное абсолютное ускорение(∆2) параметр «а»−У при t=0 Параметр «с»=0,5(∆2)» /> Парабола :Y=a+bt+ct2 постоянное абсолютное ускорение(∆2) параметр «а»−У при t=0 Параметр «с»=0,5(∆2)

численность детей в возрасте 7 лет за 15 лет Y=323.7+10.8t-1.6t^2, где y – тыс.» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_25.jpg» alt=»>численность детей в возрасте 7 лет за 15 лет Y=323.7+10.8t-1.6t^2, где y – тыс.» /> численность детей в возрасте 7 лет за 15 лет Y=323.7+10.8t-1.6t^2, где y – тыс. чел., t = 1, 2,…, 15. ежегодно численность детей сокращалась в среднем с ускорением в 3,2 тыс. чел.

Показательная функция» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_26.jpg» alt=»>Показательная функция» /> Показательная функция

Показательная функция Y=ab^t стабильный коэффициент роста (b) Y=13.5*1.5^t Y=13.5e^0.405t−экспонента» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_27.jpg» alt=»>Показательная функция Y=ab^t стабильный коэффициент роста (b) Y=13.5*1.5^t Y=13.5e^0.405t−экспонента» /> Показательная функция Y=ab^t стабильный коэффициент роста (b) Y=13.5*1.5^t Y=13.5e^0.405t−экспонента

Степенной тренд При b > 0 она характеризует непрерывный рост уровней с падающими» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_28.jpg» alt=»>Степенной тренд При b > 0 она характеризует непрерывный рост уровней с падающими» /> Степенной тренд При b > 0 она характеризует непрерывный рост уровней с падающими темпами роста, а при b 0 означает, что уровни ряда снижаются во времени» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_29.jpg» alt=»>Равносторонняя гипербола при b > 0 означает, что уровни ряда снижаются во времени» /> Равносторонняя гипербола при b > 0 означает, что уровни ряда снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру а.Так,выручка предприятия за 7 месяев У=400+85/t ,т.е. падающая тенденция, при которой У не может быть меньше 400. Если b » />

Оценка параметров уравнения тренда При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_31.jpg» alt=»>Оценка параметров уравнения тренда При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится» /> Оценка параметров уравнения тренда При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится методом наименьших квадратов (МНК) точно также, как оценки параметров уравнения регрессии на основе пространственных данных. В качестве зависимой переменной -уровни динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени t, который обычно выражается рядом натуральных чисел: 1, 2,…, n.

нелинейные функции тренла Оценка параметров нелинейных функций проводится МНК после линеаризации, т. е.» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_32.jpg» alt=»>нелинейные функции тренла Оценка параметров нелинейных функций проводится МНК после линеаризации, т. е.» /> нелинейные функции тренла Оценка параметров нелинейных функций проводится МНК после линеаризации, т. е. приведения их к линейному виду.

Показательная функция Для оценки параметров показательной кривой Y=ab^t или экспоненты Y=ae^bt путем логарифмирования» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_33.jpg» alt=»>Показательная функция Для оценки параметров показательной кривой Y=ab^t или экспоненты Y=ae^bt путем логарифмирования» /> Показательная функция Для оценки параметров показательной кривой Y=ab^t или экспоненты Y=ae^bt путем логарифмирования функции приводятся к линейному виду и применяется МНК к ln Y и t Число зарегистрированных ДТП (на 100000 человек населения) по области за 2005-2013 годы характеризуется данными:105,7; 105,3; 156; 158,1; 160,1; 178; 191,5; 274,6; 287,3.

Для построения системы нормальных уравнений были рассчитаны вспомогательные величины:ln Y получим: ln Y= 4,517598″ src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_34.jpg» alt=»>Для построения системы нормальных уравнений были рассчитаны вспомогательные величины:ln Y получим: ln Y= 4,517598″ /> Для построения системы нормальных уравнений были рассчитаны вспомогательные величины:ln Y получим: ln Y= 4,517598 + 0,123523t, где 4,517598= lna 0,123523=lnb a = e4,5176 = 91,61524 b = e0,12352 = 1,131476 Соответственно, имеем экспоненту y=91,615e0,1235t или показательную кривую: Y=91,615*1,1315t. Число ДТПвозрастало в среднем ежегодно на 13,5%.

Использование трендовых моделей для прогнозирования» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_35.jpg» alt=»>Использование трендовых моделей для прогнозирования» /> Использование трендовых моделей для прогнозирования

Y=13.028+3.0167t t=1.2….9мес. tp =10 Ур=43,19 √ МSост =(14,87/7″ src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_36.jpg» alt=»>Y=13.028+3.0167t t=1.2….9мес. tp =10 Ур=43,19 √ МSост =(14,87/7″ /> Y=13.028+3.0167t t=1.2….9мес. tp =10 Ур=43,19 √ МSост =(14,87/7 )0,5=1,4576-cтандартная ошибка регрессии; Q=(1+(1/9)+(10-5)^2/60)^0,5=1.236 Sp =1,4576* 1.236=1.801- ошибка прогноза a=0.05 ; df=7 ; ta = 2,365 ; ∆р=2,365*1,801=4,26-предельная ошибка прогноза 43,19 ± 4,26 , т .е интервал от 38,9 до 47,4.

Оценка адекватности модели тенденции Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_37.jpg» alt=»>Оценка адекватности модели тенденции Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по» /> Оценка адекватности модели тенденции Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по уравнению тренда) уровни ряда достаточно близко подходят к фактическим их значениям. Для оценки адекватности модели проводится анализ остатков . Модели тенденции можно сравнивать по величине остаточной суммы квадратов:S^2=∑(Y – Yteor)^2. Чем меньше эта величина, тем в большей мере уравнение тренда подходит для описания тенденции временного ряда.

Предположим, что было рассчитано уравнение линейного тренда и экспоненциального тренда. Для линейного тренда» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_38.jpg» alt=»>Предположим, что было рассчитано уравнение линейного тренда и экспоненциального тренда. Для линейного тренда» /> Предположим, что было рассчитано уравнение линейного тренда и экспоненциального тренда. Для линейного тренда остаточная сумма квадратов составила 3874,62, а для экспоненты 2617,701. Следовательно, экспонента лучше описывает тенденцию ряда. Другим показателем при выборе функции тренда является коэффициент детерминации R2. Чем выше R2, тем соответственно выше вероятность того, что данная модель тенденции описывает исходные данные. В примере R2 для экспоненты составил 0,9202, а для линейного тренда 0,8832, подтверждая еще раз, что экспонента в большей мере подходит для описания тенденции.

Автокорреляция в остатках» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_39.jpg» alt=»>Автокорреляция в остатках» /> Автокорреляция в остатках

автокорреляция в остатках оценивается также, как и автокорреляция уровней ряда с тем лишь отличием,» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_40.jpg» alt=»>автокорреляция в остатках оценивается также, как и автокорреляция уровней ряда с тем лишь отличием,» /> автокорреляция в остатках оценивается также, как и автокорреляция уровней ряда с тем лишь отличием, что в расчетах используются остаточные величины , а не уровни динамического ряда .Пусть коэффициент автокорреляции остатков оказался равным 0,627. Его величина не столь мала, чтобы утверждать об отсутствии автокорреляции остатков. Очевидно уравнение тренда не является наилучшим, ибо нарушена предпосылка МНК об отсутствии автокорреляции остатков.

Уравнение тренда хорошо описывает тенденцию, если остатки текущего периода не коррелируют с остатками предыдущего» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_41.jpg» alt=»>Уравнение тренда хорошо описывает тенденцию, если остатки текущего периода не коррелируют с остатками предыдущего» /> Уравнение тренда хорошо описывает тенденцию, если остатки текущего периода не коррелируют с остатками предыдущего периода. Проверка модели на автокорреляцию остатков обычно проводится с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Границы критерия Дарбина-Уотсона При полной положительной автокорреляции остатков (ρ=1 ) критерий » src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_43.jpg» alt=»>Границы критерия Дарбина-Уотсона При полной положительной автокорреляции остатков (ρ=1 ) критерий » /> Границы критерия Дарбина-Уотсона При полной положительной автокорреляции остатков (ρ=1 ) критерий d=0, а при полной отрицательной автокорреляции (ρ=−1 ) критерий d=4. Если же автокорреляция в остатках отсутствует, т. е. ρ=0 , то d=2. Иными словами критерий Дарбина-Уотсона изменяется в пределах: 0≤ d ≤ 4.

Дарбин и Уотсон разработали пороговые значения показателя d, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об» src=»https://present5.com/presentacii/20170504/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_images/704-prezentaciya_dlya_zaochn..pptx_44.jpg» alt=»>Дарбин и Уотсон разработали пороговые значения показателя d, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об» /> Дарбин и Уотсон разработали пороговые значения показателя d, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. При заданном числе наблюдений n (длина динамического ряда) и m параметров при t в уравнении тренда (или m объясняющих переменных в уравнении регрессии) установлены при 5%-ом уровне значимости верхняя (u – upper) и нижняя (ℓ ‑ low) границы критерия.

сравнение с табличными значениями Если d сравнение с табличными значениями Если d сравнение с табличными значениями Если d фактическое значение d › 2 означает отрицательную автокорреляцию, то с пороговыми табличными значениями сравнивается» /> фактическое значение d › 2 означает отрицательную автокорреляцию, то с пороговыми табличными значениями сравнивается величина 4-d. При этом возможны следующие варианты: 1) 4-d ‹ нижней границы: делается вывод о наличии отрицательной автокорреляции в остатках; 2)4-d › верхней границы: отсутствует автокорреляция в остатках; 3) 4-d между нижней и верхней границами: нельзя сделать определенного вывода о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках по имеющимся данным

Оценка значимости по критериям Фишера и Стьюдента

После выбора уравнения линейной регрессии и оценки его параметров проводится оценка статистической значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью критерия Фишера, который называют также F-критерием. При этом выдвигается нулевая гипотеза (Н₀): коэффициент регрессии равен нулю (b = 0), следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у и линия регрессии параллельна оси абсцисс.

Перед тем как приступить к расчету критерия Фишера, проведем анализ дисперсии. Общую сумму квадратов отклонений у от можно разложить на сумму квадратов отклонений, объясненную регрессией и сумму квадратов отклонений, не объясненную регрессией:

где Σ(y — ) 2 — общая сумма квадратов отклонений значений результата от среднего по выборке; Σ(y_x — ) 2 — сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией; Σ(y — у_х) 2 — сумма квадратов отклонений, не объясненная регрессией, или остаточная сумма квадратов отклонений.

Общая сумма квадратов отклонений результативного признака у от среднего значения определяется влиянием различных причин. Условно всю совокупность причин можно разделить на две группы: изучаемый фактор х и прочие, случайные и не включаемые в модель факторы. Если фактор х не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси абсцисс и = y_х. Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной:

Σ(y — ) 2 = Σ(y — у_х) 2 ,

Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов:

Σ(y — ) 2 = Σ(y_x — ) 2

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс, обусловленный как влиянием фактора х, (регрессией у по х), так и действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации R 2 будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df, т.е. с числом свободы независимого варьирования признака.

Для общей суммы квадратов Σ(y — ) 2 требуется (п-1) независимых отклонений, ибо в совокупности из п единиц после расчета среднего уровня свободно варьируют лишь (п-1) число отклонений.

При заданном наборе переменных у и х расчетное значение у_х является в линейной регрессии функцией только одного параметра — коэффициента регрессии b. Таким образом, факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное единице. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет (п-2).

Существует равенство между числами степеней свободы общей, факторной и остаточной сумм квадратов.Запишем два равенства:

Σ(y — ) 2 = Σ(y_x — ) 2 + Σ(y — у_х) 2 ,

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим дисперсии на одну степень свободы:

Так как эти дисперсии рассчитаны на одну степень свободы, их можно сравнивать между собой. Критерий Фишера позволяет проверить нулевую гипотезу Н₀ о том, что факторная и остаточная дисперсии на одну степень свободы равны между собой (D_факт=D_ост). Критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:

Если гипотеза Н₀ подтверждается, то факторная и остаточная дисперсии одинаковы, и уравнение регрессии незначимо. Чтобы отвергнуть нулевую гипотезу и подтвердить значимость уравнения регрессии в целом, факторная дисперсия на одну степень свободы должна превышать остаточную дисперсию на одну степень свободы в несколько раз. Существуют специальные таблицы критических значений Фишера при различных уровнях надежности и степенях свободы. В них содержатся максимальные значения отношений дисперсий, при которых нулевая гипотеза подтверждается. Значение критерия Фишера для конкретного случая сравнивается с табличным, и на основе этого гипотеза Н₀ принимается или отвергается.

Если F_факт > F_табл , тогда гипотеза Н₀ отклоняется и делается вывод, что связь между у и х существенна и уравнение регрессии статистически значимо. Если F_факт ≤ F_табл , тогда гипотеза Н₀ принимается и делается вывод, что уравнение регрессии статистически незначимо, так как существует риск (при заданном уровне надежности) сделать неправильный вывод о наличии связи между х и у.

Между критерием Фишера и коэффициентом детерминации существует связь, которая выражается следующей формулой для парной линейной регрессии:

В линейной регрессии часто оценивается не только значимость уравнения регрессии в целом, но и значимость его отдельных параметров, а также коэффициента корреляции.

Для того чтобы осуществить такую оценку, необходимо для всехпараметров рассчитывать стандартные ошибки (т_а , т_b , т_r):

Теперь нужно рассчитать критерии Стьюдента t_a, t_b, t_r·. Для параметров а, b и коэффициента корреляции r критерий Стьюдента определяет соотношение между самим параметром и его ошибкой:

Фактические значения критерия Стьюдента сравниваются с табличными при определенном уровне надежности α и числе степеней свободы df= (п-2). По результатам этого сравнения принимаются или отвергаются нулевые гипотезы о несущественности параметров или коэффициента корреляции. Если фактическое значение критерия Стьюдента по модулю больше табличного, тогда гипотеза о несущественности отвергается. Подтверждение существенности коэффициента регрессии равнозначно подтверждению существенности уравнения регрессии в целом.

В парной линейной регрессии между критерием Фишера, критериями Стьюдента коэффициентов регрессии и корреляции существует связь.

На основании полученной связи можно сделать вывод, что статистическая незначимость коэффициента регрессии или коэффициента корреляции влечет за собой незначимость уравнения регрессии в целом, либо, наоборот, незначимость уравнения регрессии подразумевает несущественность указанных коэффициентов.

На основе стандартных ошибок параметров и табличных значений критерия Стьюдента можно рассчитать доверительные интервалы:

Поскольку коэффициент регрессии имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для него не должны содержать противоречивых результатов. Например, такая запись, как -5≤ b ≤ 10, указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже нуль, а этого не может быть. Следовательно, связь между данными нельзя выразить такой моделью (в частности, парной линейной регрессией), должна подбираться другая модель.

Дата добавления: 2015-10-05 ; просмотров: 13592 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Парная регрессия и корреляция

1. Парная регрессия и корреляция

1.1. Понятие регрессии

Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия описывается уравнением: y = a + b × x +e .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но ли-

нейных по оцениваемым параметрам:

· полиномы разных степеней

· равносторонняя гипербола:

Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

· степенная

· показательная

· экспоненциальная

Наиболее часто применяются следующие модели регрессий:

– прямой

– гиперболы

– параболы

– показательной функции

– степенная функция

1.2. Построение уравнения регрессии

Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным

изменением двух параметров x и y <(xi,yi), i=1,2. n> необходимо определить

аналитическую зависимость ŷ=f(x), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):

– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости

– оценка параметров выбранной модели.

1.2.1. Спецификация модели

Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:

– графический (на основе анализа поля корреляций);

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии Dост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных

моделей регрессии (метод перебора).

1.2.2. Оценка параметров модели

Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.

В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей

системы нормальных уравнений метода МНК:

(1.1)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой

(1.2)

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x, y) → (x’, y’), система нормальных уравнений имеет

вид (1.1) в преобразованных переменных x’, y’.

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения.

Линеаризующее преобразование: x’ = 1/x; y’ = y.

Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид

Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.

Модифицированная экспонента: , (0 K и со знаком «–» в противном случае.

Степенная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x; y’ = ln y.

Показательная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.

Логарифмическая функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x; y’ = y.

Парабола второго порядка:

Парабола второго порядка имеет 3 параметра a0, a1, a2, которые определяются из системы трех уравнений

1.3. Оценка тесноты связи

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции rxy для линейной регрессии (–1 ≤ r xy ≤ 1)

и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии

Имеет место соотношение

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy (для линейной регрессии) или индекс детерминации (для нелинейной регрессии).

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать

показатель (коэффициент, индекс) детерминации R2 либо среднюю ошибку аппроксимации.

Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение

расчетных значений от фактических

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если

значение не превышает 10–12 %.

1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,

Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с

помощью F-критерия Фишера.

F-критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение

фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия

Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной

дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных.

Для линейной регрессии m = 1 .

Для нелинейной регрессии вместо r 2 xy используется R2.

Fтабл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m, k2 = n – m – 1 (для линейной регрессии m = 1) и уровне значимости α.

Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу

при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или

Если Fтабл Fфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется

t-критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого

Согласно t-критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия tфакт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента

корреляции определяются по формулам

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики

tтабл и tфакт принимают или отвергают гипотезу Но.

tтабл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n–2 и уровне значимости α.

Связь между F-критерием Фишера (при k1 = 1; m =1) и t-критерием Стьюдента выражается равенством

Если tтабл tфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или .

Значимость коэффициента детерминации R2 (индекса корреляции) определяется с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия Fфакт определяется по формуле

Fтабл определяется из таблицы при степенях свободы k1 = 1, k2 = n–2 и при

заданном уровне значимости α. Если Fтабл