Если к обеим частям данного уравнения прибавить

Если к обеим частям данного уравнения прибавить

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения и
Корни уравнения		-любое число	корней нет

Одночлены и многочлены

Одночлены

• Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
• Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
• Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
• Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
• Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

• Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
• Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
• Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Многочлен называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

• Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
• Графиком линейной функции является прямая.
• Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

• все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
• координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

• построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
• найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
• полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
• если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

• выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
• подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
• решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
• подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

• подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
• сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
• решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
• подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Заполните пропуски. 1) Если к обеим долям данного уравнения прибавить (либо

Заполните пропуски. 1) Если к обеим долям данного уравнения прибавить (или из обеих долей отнять) ____________, то получится уравнение имеющее те же корешки, что и данное 2) Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной доли уравнения в иную, _____________________, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. 3) Если обе доли уравнения помножить (или разделить) на одно и то же ___________ число, то получим уравнение, ____________ что и данное.

При каких преобразованиях это может происходить

Пример неправильного (или неполного) решения

1. Появление посторонних корней

в) применение к обеим ча­стям урав­нения функ­ции, которая не является возрастаю­щей или убы­вающей.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень или применение к обеим частям уравнения тригонометрических функций (см. с. 272)

х — 1 = 2х + 1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

(х — 1) 2 = (2х + 1) 2 . Получим 3х 2 + 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = —2

2. Потеря корней

Явное или неяв­ное сужение ОДЗ заданного урав­нения, в частно­сти выполнение преобразований, в ходе которых происходит не­явное деление на нуль

1. Деление обеих ча­стей уравнения на выражение с пе­ременной

Поделив обе части уравнения на х, получим

2. Сложение, вычи­тание, умноже­ние или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ задан­ного уравнения

Если к обеим частям уравнения прибавить , то получим уравнение

x 2 + x = 1 + x, у которого только один корень х = 1

Как получить правильное (или полное) решение

Пример правильного (или полного) решения

при решении уравнения

х₁ = 0 не является корнем заданного уравнения

Выполнить про­верку подстановкой корней в заданное уравнение

В данном уравнении не было не­обходимости возводить в квад­рат.

►х — 2х = 1 + 1, х = —2.

Ответ: —2. 2 = 0 — верное равенство, та­ким образом, х = 0 — корень.

2. При х Ф 0 получаем

(Конечно, удобнее решать так: x 2 — x = 0,

х (х — 1) = 0, х = 0 или х = 1.)

Потеряли корень х = —1, поскольку ОДЗ данного урав­нения: х — любое число, а x суще­ствует только при х 1 0.

В данном уравнении не было необходимости прибавлять к обеим частям -\/x.

(Если бы пришлось прибавить к обеим частям yfx, то при x а, то равенство f (x) = g (x) не может выполняться, потому что g (x) а данное уравнение корней не имеет. Остает­ся только случай f (x) = a, но, учитывая необходимость выполнения ра­венства f (x) = g (x), имеем, что тогда и g (x) = а. Таким образом, мы обо­сновали, что выполнение равенства f (x) = g (x) (при условии f (x) 1 а и g (x) 0, то сумма всех функций, стоящих в ле­вой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма f₂ (x) + . + f_n (x) будет отрицательной. Но это невозможно, по­скольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при f₁ (x) > 0 данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единствен­ная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство f₁ (x) + f₂ (x) + . + f_n (x) = 0 обязательно будет вы­полняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функ­ций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Например, чтобы решить уравнение x 4 + | x — 1 | = 2x 2 — 1, достаточ­но перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде (x 2 — 1) 2 + | x — 1 | = 0 и учесть, что функции (x 2 — 1) 2 и | x — 1 | неотри­цательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем х = 1, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень х = 1.

3. Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция при­нимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения. Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теор ем а 1. Если в уравнении f (я) = а функция f (я) возрастает (убы­вает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 39. Прямая у = а пересекает график возрастающей на промежутке [а; в] функ­ции у = f (x) только в одной точке. Это и означает, что уравнение f (x) = а не может иметь больше одного корня на промежутке [а; в]. Докажем это утверждение аналитически.

9 Если на промежутке [а; в] уравнение имеет корень x₀, то f (x₀) = а. Дру­гих корней быть не может, поскольку для возрастающей функции f (x) при x > x₀ получаем неравенство f (x) > f (x₀) = а, а при x x₀ имеем f (x) > а, a g (x) 3 + x = 10, достаточно заметить, что функция f (x) = x 3 + x является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что x = 2 — корень* этого уравнения (2 3 + 2 = 10; 10 = 10). Таким образом, данное уравнение f (x) = 10 имеет единственный корень x = 2.

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них от­дельно.

Решим с помощью теоремы 2 уравнение x + x = —.

► Сначала следует учесть его ОДЗ: x Ф 0 и вспомнить, что функция у = 2 на

всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (с. 28), но она убывает на каждом из промежутков (— то ; 0) и (0; +“). Поэто­му рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1) При x > 0 данное уравнение имеет корень x = 1 (1 +1 = -,2 = 2).

Функция f (x) = x 3 + x возрастает при x > 0 (как было показано выше, она

возрастает на множестве R), а функция g (x) = — убывает на промежутке

x > 0. Таким образом, данное уравнение f (x) = g (x) при x > 0 имеет един­ственный корень x = 1.

2) При x 3 + (-1) = -2-, — 2 = -2).

Функция f (x) = x 3 + x возрастает при x 4 + —г = 2 — (x -1) 2 .

► ОДЗ: х Ф 0. На ОДЗ x 4 > 0. Тогда функция f (x) = x 4 + — 1 12 (как сум-

ма двух взаимно обратных поло­жительных чисел), а функция g (x) = 2 — (x — 1) 2 4 + = 2,

системе — x Из второго

1 — (x -1) 2 = 2. уравнения системы получаем x = 1, что удовлетворяет и первому урав­нению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение х = 1.

Если раскрыть скобки и приве­сти обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения при­дется решать полное уравнение вось­мой степени, все корни которого мы не сможем найти.

Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в ле­вой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ (х Ф 0) x 4 > 0, то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных по­ложительных чисел, которая всегда больше или равна 2.

Задача 2 Решите систему уравнений

f (t) = Vt +1 3 . На своей области опреде­ления (t 1 0) эта функция является возрастающей (как сумма двух воз­растающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид f (x) = f (у), равносильно уравнению x = у. Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна

Подставляя x = у во второе уравне­ние системы, имеем 4у 2 = 36, у 2 = 9, у = ±3. Учитывая, что на ОДЗ у 1 0, получаем у = 3. Тогда x = у = 3. Ответ: (3; 3). 2 + 3у 2 = 36.

Иногда свойства функций уда­ется применить при решении си­стем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях пер­вого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является воз­растающей (как сумма двух воз­растающих функций), то равен­ство f (x) = f (у) для возрастающей функции возможно тогда и толь­ко тогда, когда х = у, поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении ар­гумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)

Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, мо­жет быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его мож­но сформулировать так: если функция f (я) является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

Вопросы для контроля

1. Объясните на примерах, как можно использовать свойства функций при решении уравнений.

2*. Обоснуйте правильность ориентиров по решению уравнений с использо­ванием свойств функций, приведенных в таблице 8 (с. 60).