Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные

№70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t — ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Частный случай: уравнение второго порядка Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка где р\, Р2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде где тогда Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем .

Так как , то должно выполняться равенство Следовательно, функция у = eAz будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если А будет удовлетворять алгебраическому уравнению Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим много-членом.

Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через А] и 1 они могут быть 1) действительными и разными; 2) комплексными; 3) действительными и равными. Рассмотрим каждый случай в отдельности. 1. Если корни Л|, Аг характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции Эти решения линейно независимы (Aj Ф А2) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения.

Общее решение уравнения

Общее решение уравнения имеет вид — произвольные постоянные). Пример 1. Найти общее решение уравнения М Составляем характеристическое уравнение: Оно имеет корни Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Отсюда получаем искомое общее решение 2.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты р], р2 характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями.

С помощью формул Эйлера частные решения ij\ и у2 уравнения (1) можно представить в виде Воспользовавшисьтеоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции _ Эти решения линейно независимы, так как Решения образуют фундаментальную систему решений уравне-ния (1), общее решение которого в этом случае имеет вид или Пример 3.

Найти общее решение уравнения 4 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения: Замечание. Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами) Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию ti(x) соотношением (разрешимым относительно н(х) в тех интервалах, где yi(x) не обращается в нуль).

Из этого соотношения найдем производные от у : и подставим их в уравнение (5): Для функции и(х) получаем опять уравнение порядка п, но коэффициент при м(х) есть £(yil-Он тождественно равен нулю, так как yi (х) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = и'(х).

Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yi(x) Ф 0, приведем его к виду Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка п — \. Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообше, если известно г частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на г единиц. 6.2.

Физические приложения: уравнение колебаний Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t: где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, rh — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению).

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для (6) имеет корни Если трение достаточно велико, h2 > Атк, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид Так как то из (7) заключаем, что при большом трен и и отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало, Атк, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой или Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания. Пусть теперь трение отсутствует, .

В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Решение уравне- ния (6) имеет вид . в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой ш = и произвольными амплитудой А и начальной фазой 6. Задача. При каких 1) все решения уравнения стремятся к нулю при 2) каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 6.3. Общий случай: уравнение произвольного порядка Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка п (п ^ 1) с постоянными коэффициентами ) гдерьрг,,Рп — действительные числа.

Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка. Ищем решение в виде Подставляя вместо у величину еХх в уравнение (8), получаем , что приводит к характеристическому уравнению 2. Находим корни характеристического уравнения. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что: а) Каждому действительному однократному корню А характеристическою уравнения соответствует частное решение уравнения (8).

б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (8). в) Каждому действительному корню А кратности г соответствует г линейно независимых частных решений уравнения (8). Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число А есть корень кратности г характеристического уравнения . Функцию будем рассматривать как функцию двух аргументов: ж и А.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Она имеет непрерывные производные по а: и по А всех порядков, причем Поэтому частные производные функции по х и по А не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по х и по А перестановочны), так что Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что Если А есть г-кратный корень характеристического уравнения то стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю: Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8).

Легко проверить, что функции линейно независимы на любом интервале (a, b) изменения х. г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней.

Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней p кратности \l отвечает 2/х частных решений уравнения 4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея п линейно независимых частных решений 3/i(x), skfc). уп(я) уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения, где произвольные постоянные. Прммер 4. Найти общее решение уравнения Составляем характеристическое уравнение: 2. Находим корни характеристического уравнения: 3.

По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения: 4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение действительные числа). Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения Общее решение уравнения — произвольные постоянные). §7.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера где pi.tp2, —tPn — постоянные числа.

Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики): Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Положим Подставляя выражения для , получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х. Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной х = приводит к уравнению характеристическое уравнение которого имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение Замечание 1.

Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение ) совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения уравнения (1).

Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения уравнения (I). Замечание 2. Уравнение постоянные числа) подстановкой также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. §8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид Здесь заданные на некотором интервале (а, р) функции. Если ао(ж) Ф 0 на (а, то после деления на ац(х) получим уравнение.

Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем: если на отрезке [а, 6] коэффициенты Рк(х) и правая часть /(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям Уравнение (2) можно записать в виде где, как и выше, Теорема 12. Если у(х) есть решение неоднородного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения мПо условию, В силу линейности оператора £ имеем Это означает, что функция есть решение уравнения Теорема 13.

Если у\(х) есть решение уравнения есть решение уравнения та функция есть решение уравнения По условию, используя линейность оператора £, получаем Последнее означает, что функция есть решение уравнения Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения). Теорема 14. Если уравнение где все коэффициенты и функции действительные, имеет решение то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений.

По условию имеем Отсюда получаем: Теорема 15 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение в области — уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неоднородного уравнения, т. е. Надо доказать, что где произвольные постоянные, линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения £[у] = 0, является общим решением неоднородного уравнения.

Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(ж), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении. В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения.

Так как для уравнения (2) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных С\, в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям где хо € (а,6), т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда п = 3.

Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно з при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(x$) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке ж € (а, Ь), в частности в точке ж = жо.

Значит, какова бы ни была тройка чисел

уо, Уо> Уо» найдется решение С?, С?, Cj системы (6) такое, что функция будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных 155 Пример 1.

Найти общее решение уравнения М Нетрудно заметить, что функция является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению , есть корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид . Общее решение исходного неоднородного уравнения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Корни комплексно-сопряженные, т.е. .

Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функции u и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

и .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут

Так как

Окончательно, общее решение будет иметь вид

. (5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (5):

4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2)

(6)

где функции непрерывны на некотором отрезке .

Ему соответствует однородное уравнение

(7)

Пусть известно общее решение уравнения (7)

. (8)

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решения соответствующего однородного (7).

Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены

Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как — общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как — есть частное решение уравнения (6).

Таким образом, является решением уравнения (6).

Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение

в эти условия, тогда получим систему

(9)

Система (9) является линейной системой для определения и с определителем

так как и — ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и . Таким образом, является общим решением уравнения (6).

Замечание. Если — функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде

Продифференцируем это равенство:

В силу произвольности выбора функций и положим

(10)

Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем

(11)

Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе

(12)

из которой единственным образом находятся и , так как её опре-делитель является определителем Вронского . И тогда

Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Воспользуемся формулой (4) .

Здесь .

Составим систему (12)

Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем

Окончательно получим общее решение

4.6. ЛНДУ-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения

, (1)

где .

Как известно, общее решение уравнения (1) имеет вид . Рассмотрим, как можно определить частное решение в зависимости от вида правой части (1) в некоторых случаях:

1. , где — многочлен п-ой степени.

Зададим вид частного решения в форме , где

многочлен п-ой степени с неопределёнными коэффициентами. Найдём его производные:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и сократим на

. (2)

Здесь возможны случаи:

1.1. Число не является корнем характеристического уравнения, т.е. . Тогда слева и справа в выражении (2) стоят многочлены п-ой степени и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим неопределённые коэффициенты .

1.2. Число является простым корнем характеристического уравнения, т.е. , а из теоремы Виета следует . Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен (п — 1)-ой степени, а справа п-ой степени. Поэтому, для того чтобы коэффициенты были определены, необходимо частное решение искать в виде многочлена (п + 1)-ой степени, но без свободного члена, так как он исчезает при дифференцировании, т.е. .

1.3. Число является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. , а из теоремы Виета следует . Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен (п — 2)-ой степени, а справа — (п — 1)-ой степени. Рассуждая аналогично, получаем .

Рассмотренные три случая можно объединить общим правилом

Правило 1 . Если правая часть уравнения (1) имеет вид , то частное решение следует искать в виде , где — многочлен п-ой степени с неопределёнными коэффициентами, а — кратность корня характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

На предыдущей лекции было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение будем искать в виде (случай 1.3).

Подставим это выражение в наше уравнение и сократим на :

Тогда общее решение будет иметь вид

2. , где и — многочлены п-ой и т-ой степени соответственно.

Частное решение будем искать в виде

где и многочлены с неопределёнными коэффициентами, а .

Если подставить эти выражения в уравнение (1), сократить на и приравнять коэффициенты при и , то получим систему

(3)

Если подставить числа в характеристическое уравнение уравнения (1), то получим и тогда возможны случаи:

2.1. Числа не являются корнями характеристического уравнения, т.е.

Тогда слева в уравнениях (3) стоят многочлены степени . Поэтому можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х. В результате получим систему для определения коэффициентов многочленов и .

2.2. Числа — корни характеристического уравнения, т.е.

и .

Тогда слева в уравнениях (3) стоят многочлены степени на единицу меньшую, чем k и, рассуждая аналогично, как и ранее, частное решение ищем в виде

Правило 2. Если правая часть уравнения (1) имеет вид

то частное решение следует искать в виде

если не являются корнями характеристического уравнения, и в виде

если — корни характеристического уравнения, где и многочлены с неопределёнными коэффициентами, а .

Замечание 1. Правило 2 справедливо и для случая . Тогда

и, если корень характеристического уравнения, то

Замечание 2. Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму двух функций, относящихся к правилам 1-2, то частное решение в силу линейности уравнения ищется в виде суммы двух функций, которые определяются соответственно правилами 1-2.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

Здесь правая часть уравнения представляется в виде суммы двух функций:

и .

Поэтому решение ищем в виде , где является частным решением уравнением

. (4)

а является частным решением уравнения

. (5)

Для этого случая решение имеет вид (случай 2.1)

Подставим это выражение в уравнение (4):

Сократим на и приравняем коэффициенты при и :

Из решения системы получаем

Решение уравнения (5) ищем в виде (случай 1.1)

Подставим это выражение в уравнение (5)

Приравнивая коэффициенты при , приходим к системе

Из решения системы последовательно находим

Лекция № 43. Тема 5 : Линейные ДУ высших порядков

5.1. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

Общий вид линейного дифференциального уравнения п-го порядка (ЛДУ — п)

. (1)

Ему соответствует однородное уравнение п-го порядка

(2)

Определение 1. Функции называются линейно зависимыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отлично от нуля, для которых выполняется . В противном случае функции называются линейно независимыми (ЛНЗ).

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (2) также используется определитель Вронского, который для данного случая имеет вид

При этом, если , то система функций ЛЗ. Если же для п частных решений уравнения (2) , то эти решения являются ЛНЗ.

Справедливы также теоремы о структуре решений уравнений (1-2):

Теорема 1. Если — ЛНЗ решения уравнения (2), то его общее решение имеет вид

где произвольные константы.

Теорема 2. Общее решение ЛНДУ — п есть сумма частного решения уравнения (1) и общего решения соответствующего однородного (2), т.е. .

Доказательства этих теорем аналогичны, как и для случая ЛДУ – 2.

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение уравнения (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных. Тогда система для нахождения функций имеет вид

Остановимся на случае, когда все коэффициенты в уравнениях (1-2) являются константами. Тогда для однородного уравнения имеем характеристическое уравнение

. (3)

По характеру корней уравнения (3) определяются частные ЛНЗ решения:

Правило. Каждому действительному корню k характеристического уравнения (3) т-ой кратности соответствует т ЛНЗ решений вида

Каждой паре комплексных корней кратности т соответствует 2т ЛНЗ решений вида

Для случая уравнения со специальной правой частью исполь-зуется аналогичное правило, как и для ЛНДУ-2, для нахождения вида частного решения .

Пример 1. Найти общее решение ДУ

Ему соответствует однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Найдём его корни

Тогда, согласно правилу, получаем общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где частное решение уравнения

(4)

а частное решение уравнения

(5)

Так как число 2 не является корнем характеристического уравнения, то . Подставим это выражение в уравнение (4), предварительно сократив его на :

Частное решение уравнения (5) ищем в виде

так как нуль является корнем характеристического уравнения.

Подставим это выражение в уравнение (5):

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения

5.2*. Понятие о краевой задаче

При решении некоторых задач требуется проинтегрировать ДУ не при начальных условиях (задача Коши), а с учётом значений искомой функции или её производных в некоторых точках. Условия, налагаемые на значения функции, её производных на концах отрезка, называются краевыми условиями, а соответствующая задача – краевой задачей.

При этом для корректности решаемой задачи число таких условий должно быть равно числу констант в общем решении. Такие задачи рассматриваются в курсе сопротивления материалов, а ещё более общие задачи встречаются в курсе уравнений математической физики.

Рассмотрим в качестве примера задачу изгиба балки на упругом основании.

Дифференциальное уравнение прогиба балки имеет вид

где l упругая постоянная, характеризующая свойства основания, Е — модуль упругости балки, I — момент инерции площади поперечного сечения балки, q(x) — интенсивность внешней нагрузки.

Этому уравнению соответствует однородное уравнение

для которого характеристическое уравнение имеет вид

Непосредственно легко проверить, что его корнями являются

Этим корням соответствует общее решение

Рассмотрим случай, когда .

Тогда частное решение будем искать в виде . Подставим это выражение в уравнение прогиба балки, получим .

. (6)

Константы определяются из условий закрепления концов балки, так, например, если концы балки закреплены жестко, то эти условия (граничные условия) имеют вид

Подставляя в эти граничные условия полученное выражение для прогиба (6), получим систему четырёх уравнений для определения .

Лекция № 44. Тема 6 : Системы дифференциальных уравнений

6.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений

К решению систем дифференциальных уравнений приводят, в частности, задачи по исследованию колебательных процессов в технике, физике, меха-нике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упру-гих тел — все эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой т в плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем

Спроектируем векторное равенство на координатные оси

(1)

Получена система дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций , которые определяют положение точки на плоскости. Здесь t — время,

— проекции скорости,

— проекции ускорения на координатные оси.

Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений, каждое уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.

Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.

Введём функции . Тогда она примет вид

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы.

Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений вида

(2)

где — искомые функции, а заданные функции в некоторой области G переменных .

Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: , которые при подстановке в систему ДУ, обращают каждое уравнение в тождество.

Определение 3. Совокупность функций называется общим решением системы ДУ (2), если:

1. Эти функции являются решением системы при любых значениях ;

2. Для любых начальных условий вида

(3)

из области G можно найти такие значения , при которых каждая функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3).

Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое решение , которое удовлетворяет начальным условиям (3).

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правые части системы ДУ (2) и их частные производные по переменным непрерывны в области G, то для любой точки существует единственное непрерывное решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3).

Пример 1*. Определить траекторию полёта снаряда, выпущенного из орудия под углом a к горизонту со скоростью V₀. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вначале лекции были рассмотрены общие уравнения (1), которые можно применить для данной задачи

где g — ускорение свободного падения. Проинтегрируем каждое уравне-ние системы

Константы интегрирования и найдем из начальных условий:

Тогда система примет вид

Ещё раз проинтегрируем

Константы интегрирования и определим из начальных условий с учетом выбора начала системы координат в положении орудия:

Таким образом, решением системы являются функции

Исключая параметр t, приходим к уравнению траектории

6.2. Решение нормальных систем ДУ методом исключений

Решение системы (2) сводится к решению ДУ-п методом исключений.

Продифференцируем по х первое уравнение системы (2)

С учетом остальных уравнений системы это выражение примет вид

или .

Аналогично, ещё раз продифференцировав, получаем

и т. д., пока не найдём п-ую производную

Таким образом, получаем систему п уравнений

(4)

Из первых п — 1 уравнений системы (4) выразим через переменные . Подставляя их значения в последнее урав-нение системы (4), имеем

. (5)

Решая уравнение (5), находим , а с помощью выражений для определяем и эти функции.

Замечание 1. Из приведённых выше рассуждений видна структура общего решения системы дифференциальных уравнений (2).

Замечание 2. Часто систему уравнений можно сразу сводить к уравнению (5), минуя систему (4). В частности, это относится к линейным системам дифференциальных уравнений.

Пример 2. Найти общее решение системы