Если решение уравнения удовлетворяющее условию тогда равно

Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности

Найти решения дифференциального уравнения: y’ = f(x,y) (1) ,
удовлетворяющие условиям
y(x₀) = y₀, (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши — задачей Коши.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения задачи Коши вида y’ = f(x,y) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Определение . Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y₁), (x,y₂) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y₁) — f(x,y₂)| ≤ L|y_{1 —} y₂|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.

Теорема . (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y’ = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки (x₀, y₀)∈D существуют интервал (x₀ — λ, x₀ + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x₀, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

4) линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

Задание #118

Если — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда равно …

__________2_________________

Задание #119

Если — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда равно …

________1___________________

Задание #120

Если — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда равно …

_________0__________________

Задание #121

Если — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда равно …

___________2________________

Задание #122

Если — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда равно …

___________4________________

Задание #123

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

Задание #124

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

Задание #125

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

Задание #126

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

Задание #127

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

Задание #128

Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения

Укажите соответствие для всех 3 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

5)

_2_

_3_

_4_

Задание #129

Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения

Укажите соответствие для всех 3 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

5)

_3_

_2_

_4_

Задание #130

Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения …

Укажите соответствие для всех 3 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

5)

_4_

_5_

_1_

Задание #131

Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения …

Укажите соответствие для всех 3 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

5)

_2_

_1_

_5_

Задание #132

Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения …

Укажите соответствие для всех 3 вариантов ответа:

1)

2)

3)

4)

5)

_3_

_4_

_5_

Задание #133

Бросают 2 монеты. События А — «цифра на первой монете» и В — «герб на второй монете» являются:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме