Если уравнение состояния фотонного газа

Уравнения состояния в молекулярно-фотонной теории газа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Федотов Петр Викторович, Кочетков Андрей Викторович

Выведено уравнение состояния газа в рамках молекулярно-фотонной теории (МФТ), предложенной авторами в предыдущих статьях. Полученное уравнение четвертой степени повышает точность определения параметров газовой системы, по сравнению с известным уравнением Ван-дер-Ваальса . Отклонение от экспериментальных данных уравнения молекулярно-фотонной теории (МФТ), для всех приведенных в таблице веществ, меньше, чем уравнения молекулярно-механической теории (Ван-дер-Ваальса). Повышение точности особенно заметно на примерах водяного пара, аммиака и углеводородов, для которых отклонение уравнения МФТ в три-четыре раза меньше, чем отклонение уравнения Ван-дер-Ваальса .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Федотов Петр Викторович, Кочетков Андрей Викторович

The equation of state of gas within the framework of the molecular-photon theory (ITF) proposed by the authors in previous articles is derived. The obtained equation of the fourth degree increases the accuracy of determining the parameters of the gas system, in comparison with the well-known van der Waals equation. The deviation from the experimental data of the equation of the molecular-photon theory (ITF), for all substances listed in the Table, is less than the equations of the molecular-mechanical theory (van der Waals). But, especially, the increase in accuracy is noticeable in the examples of water vapor, ammonia and hydrocarbons, for which the ITF equation segregation is three to four times smaller than the deviation of the van der Waals equation .

Текст научной работы на тему «Уравнения состояния в молекулярно-фотонной теории газа»

Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 https://naukovedenie.ru/

Том 9, №5 (2017) https ://naukovedenie. ru/vo l9-5.php

URL статьи: https://naukovedenie.ru/PDF/28TVN517.pdf

Статья опубликована 08.10.2017

Ссылка для цитирования этой статьи:

Федотов П.В., Кочетков А.В. Уравнения состояния в молекулярно-фотонной теории газа // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №5 (2017) https://naukovedenie.ru/PDF/28TVN517.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.

Федотов Петр Викторович

ООО «Научно-исследовательский центр технического регулирования», Россия, Саратов

Инженер E-mail: klk50@mail.ru

Кочетков Андрей Викторович1

ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», Россия, Пермь

Профессор Доктор технических наук E-mail: soni.81@mail.ru

Уравнения состояния в молекулярно-фотонной теории газа

Аннотация. Выведено уравнение состояния газа в рамках молекулярно-фотонной теории (МФТ), предложенной авторами в предыдущих статьях. Полученное уравнение четвертой степени повышает точность определения параметров газовой системы, по сравнению с известным уравнением Ван-дер-Ваальса. Отклонение от экспериментальных данных уравнения молекулярно-фотонной теории (МФТ), для всех приведенных в таблице веществ, меньше, чем уравнения молекулярно-механической теории (Ван-дер-Ваальса). Повышение точности особенно заметно на примерах водяного пара, аммиака и углеводородов, для которых отклонение уравнения МФТ в три-четыре раза меньше, чем отклонение уравнения Ван-дер-Ваальса.

Ключевые слова: идеальный газ; реальные газы; молекулярно-кинетическая теория (МКТ); уравнения идеального газа; уравнения реального газа; уравнение Клайперона-Менделеева; уравнение Ван-дер-Ваальса

В настоящее время в научной и учебной литературе принято считать, что основное уравнение идеального газа — это уравнение Клайперона-Менделеева. «Газ, состояние которого описывается уравнением Клайперона-Менделеева

1 410022, г. Саратов, ул. Барнаульская, д. 2«б», кв. 6

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №5 (сентябрь — октябрь 2017)

где: р — давление, V- молярный объем, Т — абсолютная температура (для одного моля газа), называется идеальным газом» [2, с. 52].

При этом уравнения Шарля, Гей-Люссака и Бойля-Мариотта считаются частными случаями уравнения Клайперона-Менделеева, т. к. легко могут быть получены из общего уравнения [12].

Отметим, что любое отклонение от модели молекулярно-кинетической теории (МКТ) рассматривается, как имеющее отношение к реальным газам. «Любой реальный газ становится идеальным в пределе высоких температур и низких плотностей» [1, с. 25]. «В феноменологической термодинамике ограничиваются формальным определением; идеальные газы есть гипотетические (реально не существующие) газы, подчиняющиеся уравнению Клапейрона» [1, с. 29].

На наш взгляд такое разделение на «идеальный газ» и «реальные газы», установленное фактически административно, можно считать неправомерными [5, 6].

В физике термин «идеализация» применяется в смысле «упрощение». Например, «идеальные механизмы» означают «механизмы без трения». Именно таким административным образом уравнения Ван-дер-Ваальса попали в разряд «реальных газов».

«Предпринималось много попыток для учета отклонений свойств реальных газов от свойств идеального газа путем введения различных поправок в уравнение состояния идеального газа. Наибольшее распространение вследствие простоты и физической наглядности получило уравнение Ван-дер-Ваальса2 (1873)» [3].

Для одного моля газа уравнение Ван-дер-Ваальса выглядит следующим образом:

где: р — давление, V — молярный объем, Т — абсолютная температура, а — поправка, учитывающая силы притяжения между молекулами, Ь — поправка, учитывающая конечные размеры (собственный объем) молекул газа.

Разберемся с уравнением Ван-дер-Ваальса подробнее.

Уравнение (2) отличается от уравнения (1) наличием двух членов, это член а/V2, который называется внутреннее или молекулярное давление и постоянная Ь. Физический смысл постоянных Ван-дер-Ваальса разъяснен выше.

Различия уравнений (1) и (2) в том, что в уравнении Ван-дер-Ваальса, в отличие от уравнения Клайперона-Менделеева, учитываются два фактора: это конечные размеры молекул и наличие притяжения между молекулами (потенциальную энергию взаимодействия). При этом все остальные свойства молекул газов полностью игнорируются.

2 Вопреки распространенному сейчас мнению, Ван-дер-Ваальс не придумал свое знаменитое уравнение, а вывел его исходя из модельных представлений. Так коэффициент Ь, учитывающий собственный объем (конечные размеры), частиц газа впервые ввел Дюпре в 1864 г. А коэффициент, учитывающий потенциальные взаимодействия впервые ввел Гирн в 1865 г. Заслуга Ван-дер-Ваальса в том, что он не просто вывел свое уравнение, а дал интерпретацию введенных поправочных коэффициентов, названных его именем, на основе объективной модели газа (прим. авт.).

Как уже сказано выше, к идеальным газам стоит относить все модели гипотетических газов, в целях упрощения игнорирующие некоторые свойства газов. Ясно, что подобные упрощения приводят к ограничениям практического применения упрощенных моделей: «Строго говоря, для каждого газа вследствие индивидуальных свойств его молекул должно быть свое собственное уравнение состояния. Нельзя, следовательно, слишком многого ожидать от уравнения состояния, не учитывающего многих индивидуальных свойств газов!» [9, с. 376].

Добавим, что уравнение Ван-дер-Ваальса не только игнорирует индивидуальные свойства газов, но также не учитывает и многие общие свойства газов. Но именно упрощения позволяют строить, пусть и ограниченные, но ясные модели физики. Тем не менее, многочисленные упрощения позволяют отнести уравнение Ван-дер-Ваальса не к теории реальных газов, а к теории идеального газа, понимая под словом «идеальный газ» упрощенную модель газов.

Согласно методике, предложенной в [6] уравнение Клайперона-Менделеева стоит относить к уравнению состояния кинетической модели идеального газа. А уравнение Ван-дер-Ваальса — к механической (кинетически-потенциальной) модели идеального газа. На основании того, что согласно начальным постулатам газ Клайперона имеет только кинетическую энергию частиц, а газ Ван-дер-Ваальса — и кинетическую и потенциальную.

Есть еще необходимые изменения, которые необходимо внести в теорию газов при переходе от кинетической (Клаузиуса) к механической модели (Ван-дер-Ваальса). Дело в том, что так называемые константы а, Ь и Я, на самом деле не постоянные, а переменные. Для этого представим уравнение (2) в другом виде.

Умножив левую и правую части этого уравнения на V2 и раскрыв скобки, приведем его

Отсюда следует, что уравнение Ван-дер-Ваальса имеет три корня, причем при Т > Ткр имеется только один вещественный корень и два комплексных. А при Т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЯТ * V4 + — —V2 — ст— + сьт— = о

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №5 (сентябрь — октябрь 2017)

Полученное уравнение пятого порядка имеет пять корней, в критической точке все корни совпадают. В этом случае:

V5 — 5 V ХР+10 V хр _ 10 V хр + 5 уу;р — у;р = о (10)

Из сравнения (9) и (10) получим:

5Vкp = + Ь 10VкР = 10^ = ^ VР = ^(1 -Ь) (11)

г кр г кр г кр г кр

Соотношения (11) — это система четырех уравнений с четырьмя неизвестными: а, Ь, с и Я. Решая систему уравнений (11) получим:

а =10 Vк;Ркp, Ь = у^ Т4р (1 — Vкp) , Ткр .

Одним из критериев проверки уравнений состояния служит соотношение:

Для уравнения Клайперона-Менделеева соотношение (13) всегда равно 1. Для уравнения Ван-дер-Ваальса для всех газов согласно литературе [4, с. 203] соотношение (13) равно 0,375.

Для уравнения (9), как легко видеть из (12), оно равно 0,25.

Оценим критические параметры и отклонения от экспериментальных данных некоторых веществ (таблица).

Критические параметры и отклонения от экспериментальных данных некоторых веществ

Вещество Ркр, Мпа [12, с. 246] Укр, см3/моль [12, с. 246] Ткр, К [12, с. 246] р V г кр кр -Ткр Отклонение:

Уравнение Ван-дер-Ваальса Уравнение МФТ (9)

Гелий 0,22899 57,8 5,2 0,3063 -0,0687 0,0563

Неон 2,72159 41,7 44,43 0,3074 -0,0676 0,0574

Аргон 4,8636 75,2 150,71 0,292 -0,08297 0,042

Криптон 5,4989 92,2 209,38 0,2914 -0,8361 0,0414

Ксенон 5,84037 119,5 289,74 0,2899 -0,0851 0,06987

Водород 1,29696 61,8 33 0,2923 -0,0827 0,04228

Азот 3,39844 90,1 126,25 0,29186 -0,0831 0,0419

Кислород 5,08044 78 154,78 0,30809 -0,0669 0,05809

Озон 5,5323 89,4 261,05 0,22799 -0,147 -0,022

Хлор 7,7108 124 417,15 0,2758 -0,9918 0,02582

Вода 22,128 56 647,3 0,230373 -0,1446 -0,01963

Аммиак 11,277 72,48 405,5 0,24257 -0,1324 -0,00743

Метан 4,6407 99 190,7 0,28991 -0,08509 0,03991

Этан 4,94466 148 305,3 0,28845 -0,08655 0,03845

Этилен 5,1169 124 282 0,27076 -0,10424 0,020757

Ацетилен 6,2416 113 309 0,27467 -0,10033 0,02467

Пропан 4,25565 200 368,8 0,277718 -0,09728 0,027718

Пропилен 4,62042 181 365 0,275719 -0,09928 0,025719

Вещество Ркр, Мпа [12, с. 246] Укр, см3/моль [12, с. 246] Ткр, К [12, с. 246] р V г кр кр ЯТкр Отклонение:

Уравнение Ван-дер-Ваальса Уравнение МФТ (9)

Бутан 3,79969 255 426,2 0,273573 -0,10143 0,023573

Изобутан 3,6477 263 408,1 0,282883 -0,09212 0,032883

Из таблицы видно, что отклонения от экспериментальных данных уравнения молекулярно-фотонной теории (МФТ) для всех приведенных в таблице веществ всегда меньше, чем для уравнений молекулярно-механической теории (Ван-дер-Ваальса).

Повышение точности особенно заметно на примерах водяного пара, аммиака и углеводородов, для которых отклонение уравнения МФТ в три-четыре раза меньше, чем отклонение уравнения Ван-дер-Ваальса.

1. Выведенное уравнение состояния молекулярно-фотонной теории газов четвертой степени обладает большей точностью приближения к эмпирическим данным, полученным в результате экспериментов.

2. Главное достоинство представленного уравнения в том, что оно выведено теоретически, а не просто введено эмпирически как близкие аналоги, без обоснований вводимых коэффициентов и самого вида уравнения.

3. Снижение отклонений от эмпирических данных показывает, что выбранное направление улучшения теории газов обосновано и перспективно.

4. Т. к., совпадение с эмпирическими данными нельзя признать идеальным, значит необходимо продолжать работу в данном научном направлении.

5. Для продолжения теоретических разработок и модернизации полученного уравнения состояния молекулярно-фотонной теории газов придется определять и теоретически обосновывать дополнительные факторы и параметры различной природы, влияющие на поведение газа [14].

Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.

Герасимов Я. И. Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии в двух томах. Т.1. — М.: Химия, 1964. — 624 с.

Уравнение Ван-дер-Ваальса // Еремин В. В., Каргов С. И., Кузьменко Н. Е. Реальные газы. Интернет-учебник. — М.: Химический факультет МГУ, каф. Физхимии. 1998. Интернет-источник: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/ геа1§а8е8/сЬар1%283%29.к1т1#3.

Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики в 3-х томах. Том 1. Механика, молекулярная физика, колебания и волны. — М.: Наука. 1974. — 336 с.

Кочетков А. В., Федотов П. В. Расширение понятия «идеальный газ» // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». Том 9, № 4 (2017) http://naukovedenie.ru/PDF/ 29TVN417.pdf.

Кочетков А. В., Федотов П. В. Полная классификация моделей идеального газа // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». Том 9, № 5 (2017) https://naukovedenie.ru/ РББ/01TVN517.pdf.

Кочетков А. В., Федотов П. В. Интерпретация опытных данных по сжимаемости газов при различных условиях. Атомно-фотонный газ // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». Том 8, № 2 (2016) http://naukovedenie.ru/ РББ/ 130TVN216.pdf.

Матвеев А. Н. Молекулярная физика. — М.: Высшая школа, 1981. — 400 с.

Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — М.: Из-во Технико-теоретической лит-ры, 1957. — 484 с.

Путилов К. А. Курс физики. В трех томах. Том I. Механика. Акустика. Молекулярная физика. Термодинамика. — М.: Физматгиз. 1963. — 560 с.

Савельев И. В. Курс общей физики. Том 3. Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. — М.: Наука, 1970. — 573 с.

Таблицы физических величин. Справочник. Под. ред. акад. И. К. Кикоина. — М.: Атомиздат, 1976. — 1008 с.

Законы идеальных газов // Чухин И. М. Техническая термодинамика. Ч. 1. Интернет-учебник ИГЭУ кафедра ТОТ. Интернет-источник:

Kochetkov A. V. and Fedotov P. V. About the Molecular and Photon Theory of Gases. Pet Petro Chem Eng J 2017, 1(4): 000124.

Fedotov Petr Viktorovich

JSC research center of technical regulation, Russia, Saratov

Kochetkov Andrey Viktorovich

Perm national research polytechnical university, Russia, Perm

The state equations in the molecular and photon theory of gas

Abstract. The equation of state of gas within the framework of the molecular-photon theory (ITF) proposed by the authors in previous articles is derived. The obtained equation of the fourth degree increases the accuracy of determining the parameters of the gas system, in comparison with the well-known van der Waals equation. The deviation from the experimental data of the equation of the molecular-photon theory (ITF), for all substances listed in the Table, is less than the equations of the molecular-mechanical theory (van der Waals). But, especially, the increase in accuracy is noticeable in the examples of water vapor, ammonia and hydrocarbons, for which the ITF equation segregation is three to four times smaller than the deviation of the van der Waals equation.

Keywords: ideal gas; real gases; molecular kinetic theory; ideal gas equations; real gas equations; the Cliperon-Mendeleev equation; the van der Waals equation

Если уравнение состояния фотонного газа

2016-09-04
С точки зрения квантовой физики электромагнитное излучение представляет собой множество хаотически движущихся и невзаимодействующих друг с другом частиц — фотонов. Другими словами, электромагнитное излучение представляет собой фотонный газ, который во многом аналогичен идеальному газу, рассматриваемому в молекулярно-кинетической теории. Есть и существенные отличия. Все фотоны движутся с одинаковой скоростью (скоростью света в вакууме), и их число не остаётся постоянным при изменении состояния: фотоны рождаются и поглощаются. Тем не менее, ряд свойств фотонного газа можно установить, опираясь на молекулярно-кинетическую теорию идеальных газов, что и предлагается проделать в данной задаче.

1. Докажите, что давление $P$, оказываемое частицами идеального газа на плоскую поверхность, определяется формулой
$P= \frac<1> <3>n $, (1)

где $n$ — число частиц в единице объёма, $\vec$ — скорость частиц, $ \vec

$ — их импульс, $ $ — среднее значение скалярного произведения $ \vec \cdot \vec

$.
2. Используя формулу для давления частиц идеального газа (1), докажите, что давление света $P$ можно вычислить по формуле
$P = \frac<1> <3>u$, (2)
где $u$ — объёмная плотность энергии излучения.

3. Докажите, рассматривая цикл Карно для фотонного газа при малых изменениях температуры и объёма, что световое давление пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры.

4. Используя результаты предыдущего пункта, получите закон Стефана-Больцмана для мощности излучения абсолютно чёрного тела с единицы поверхности:
$W= \sigma T^<4>$,
где $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана, а $T$ — абсолютная температура. Получите соотношение между $\sigma$ и коэффициентом пропорциональности между давлением и четвёртой степенью температуры. При выводе учтите, что число частиц газа, соударяющихся с единицей поверхности стенки в единицу времени, равно $ \nu = \frac<1> <4>n $,
где $n$ — число частиц в единице объёма, а $ $ — средний модуль скорости частиц.

5. Вычислите КПД цикла, совершаемого над фотонным газом. Цикл состоит из четырёх последовательных процессов:
1) изобарическое расширение из состояния с температурой $T_<1>$,
2) переход в состояние с температурой $T_<2>$ по закону $PV^ <4/3>= const$,
3) изобарическое сжатие,
4) переход в исходное состояние снова по закону $pv^ <4/3>= const$.

рис.1

рис.2
Давление газа обусловлено ударами его частиц о стенки сосуда. Величина давления равна средней силе, действующей на единицу площади стенки. Найдём среднюю силу $F_$, с которой действуют на стенку частицы, имеющие скорость $\vec_$ и импульс $\vec

_$, направленные под углом $\alpha_$ к нормали стенки. Для этого применим закон изменения импульса, считая удар частиц упругим. За время $\Delta t$ о единичную площадку стенки ударятся $N_ = n_v_ \cos \alpha_ \Delta t$ таких частиц, где $n_$ — их число в единице объёма:

$2 N_p_ \cos \alpha_ = 2n_v_ \cos \alpha_ p_ \cos \alpha_ = F_ \Delta t$.

Давление газа $P$ равно:

$P = = 2 = 2 \frac<1><2>n$, (1)

где ось $x$ перпендикулярна к стенке. Множитель $1/2$ поставлен потому, что лишь половина частиц, имеющих одно и то же значение $\vec_ \vec

_$, движется к стенке, а другая — в противоположном направлении. Из-за хаотичности движения частиц

Подставляя это в формулу (1), получим:

Ответ на второй пункт задачи просто следует из полученной формулы, если принять во внимание, что масса фотона равна нулю, и поэтому его энергия $E = pc$, где $c$ — скорость света, то есть скорость фотонов $v = c$:

где $u = nE$ — энергия единицы объёма фотонного газа.

Рассматриваемый в третьем пункте цикл Карно изображён на рисунке 1. Давление фотонного газа отличается от плотности энергии излучения только множителем 1/3 в формуле (2), а плотность энергии не зависит от объёма подобно тому, как масса единицы объёма не зависит от объёма всего тела. Поэтому давление газа фотонов не зависит от объёма, а определяется только температурой. Таким образом, изотермы 1-2 и 3-4 совпадают с изобарами, что отражено на рисунке 77. Вследствие малости $dT$ и $dP$ график рассматриваемого цикла можно приближённо считать параллелограммом. Тогда его «площадь» равна $dP \cdot dT$, и получаем следующую формулу для КПД цикла:

Количество теплоты $\delta Q$, сообщаемое фотонному газу при изотермическом расширении, выразим из первого начала термодинамики:

$\delta Q = dU + PdV = udV + PdV = 4PdV$.

Подставим последнее выражение в (3):

Путём интегрирования находим

где $a$ — некоторая постоянная величина.

В четвёртом пункте требуется, используя (4), получить выражение для мощности $W$ излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела. Для этого нужно сложить энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени единицей площади поверхности:

где $E_$ — энергия фотонов $i$-го сорта, а $\nu_$ — их число, излучаемое в единицу времени единичной площадкой. Из условия известно, что

где $n_$ — число фотонов $i$-го сорта в единице объёма, а $ = c$ — скорость движения фотонов. Используя выражение для $\nu_$, а также формулу (4) получим закон Стефана-Больцмана:

$W = \frac<1> <4>\sum n_cE_ = \frac<4>u = \frac<4>3P = \frac<3> <4>caT^ <4>= \sigma T^<4>$,

где $\sigma = 3 ca/4$. Таким образом, постоянная Стефана-Больцмана отличается от коэффициента пропорциональности $a$, входящего в формулу (4), лишь множителем $3c/4$.

Часто в литературе в формуле

вместо 1/4 пишут множитель 1/6. Такой результат получается в более грубой модели, в которой рассматривается движение частиц только в трёх взаимно перпендикулярных направлениях.

В последнем пункте требуется найти КПД цикла, изображённого на рисунке 2. Как было выяснено ранее, изобары 1-2 и 3-4 для фотонного газа совпадают с изотермами. Так что рассматриваемый цикл похож на цикл Карно. В цикле Карно процессы 2-3 и 4-1 должны быть адиабатическими. В данной задаче эти процессы описываются уравнением $PV^ <4/3>= const$. Чтобы сравнить процессы 2-3 и 4-1 с адиабатическими, нужно получить уравнение адиабаты фотонного газа. Для этого применим первое начало термодинамики и формулу (2):

$\delta Q = \delta A + dU = 4PdV + 3VdP = 0$.

После интегрирования находим

Таким образом, в задаче речь идёт именно о цикле Карно, коэффициент полезного действия которого, как известно, не зависит от рода рабочего вещества и равен

в том числе и для рассматриваемого в задаче цикла с фотонным газом.

Термодинамика фотонного газа

Термодинамика фотонного газа рассматривает электромагнитное излучение, используя понятия и методы термодинамики.

Электромагнитное излучение с корпускулярной точки зрения представляет собой фотонный газ с переменным числом электронейтральных безмассовых ультрарелятивистских частиц. Распространение понятий, законов и методов термодинамики на фотонный газ подразумевает, что электромагнитное излучение допустимо рассматривать как термическую систему, то есть как объект изучения, к которому применимо понятие температуры излучения.

Излучение телами электромагнитных волн (испускание фотонов) требует энергетических затрат, и если излучение происходит за счет внутренней энергии тела, то его называют тепловым электромагнитным излучением. Тепловое излучение имеет непрерывный спектр, то есть нагретое тело излучает энергию во всём диапазоне частот, а распределение энергии излучения по спектру зависит от температуры тела.

Если излучение замкнуто внутри полости в абсолютно чёрном теле, то по истечении некоторого промежутка времени излучение придёт в термодинамическое равновесие с этим телом, так что такое излучение можно рассматривать как равновесный фотонный газ (равновесное тепловое излучение, электромагнитное излучение абсолютно чёрного тела, чернотельное излучение, чёрное излучение), приписав ему температуру, равную температуре абсолютно чёрного тела. Представление о чернотельном излучении позволяет отличить равновесное излучение от неравновесного, каким является обычное электромагнитное излучение любого источника (лампа накаливания, рентгеновская трубка, лазер и т. п.) и аналогом которому молекулярный пучок.

Равновесное тепловое излучение однородно (плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости), изотропно (если размеры полости много больше наибольшей принимаемой во внимание длины волны излучения, то фотоны в полости движутся хаотически и величина энергии, распространяющейся внутри телесного угла, не зависит от направления) и неполяризовано (излучение содержит все возможные направления колебаний векторов напряжённости электрического и магнитного полей).

Важность модели «равновесный фотонный газ» для классической термодинамики связана как с её предельной математической простотой (получаемые результаты допускают, как правило, простой аналитический и/или графический анализ поведения входящих в уравнения величин), так и со значением даваемых моделью частных результатов для лучшего понимания общей термодинамической теории (парадокса Гиббса, постулата Тиссы, третьего начала, свойств характеристических функций, аддитивности по объёму), а научная ценность состоит в том, что термодинамический подход к фотонному газу используют при рассмотрении внутреннего строения звёзд, когда давление излучения имеет принципиальное значение.

Особенности фотонного газа

Перечислим особенности электромагнитного излучения, рассматриваемого как совокупность частиц — фотонов, — возникающих при испускании и исчезающих при поглощении излучения веществом:

• Масса покоя фотона равна нулю.
• Фотон электронейтрален, всегда движется со скоростью света (ультрарелятивистская частица) и обладает энергией, импульсом и равным 1 спином, то есть относится к бозонам. При неупругом столкновении с частицей вещества фотон исчезает, передавая свои энергию и импульс этой частице.
• Квантовая электродинамика допускает взаимодействие фотонов друг с другом, однако вероятность такого их поведения исчезающе мала, поэтому фотоны внутри некоторого объёма обычно рассматривают как совокупность не взаимодействующих между собой частиц, то есть как идеальный бозе-газ.
• Температура вырождения фотонного газа равна бесконечности, поэтому фотонный газ вырожден при любых температурах.
• Конденсация Бозе — Эйнштейна в фотонном газе невозможна, так как не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны всегда движутся со скоростью света).

Прямой обмен энергией между фотонами можно считать ничтожно малым, поэтому для установления термического равновесия в фотонном газе принципиально необходимо взаимодействие фотонов с веществом, которое должно наличествовать хотя бы в небольшом количестве. Установление равновесия происходит за счёт поглощения и испускания фотонов веществом, например, стенками полости, причём энергии поглощаемых и спускаемых фотонов не обязаны совпадать. Равновесие наступает, когда в фотонном газе достигается стационарное распределение фотонов по энергиям, не зависящее от времени и природы вещества, но зависящее от температуры. Поглощение и испускание фотонов веществом ведёт к тому, что их число в полости непостоянно и зависит от температуры, то есть число частиц в равновесном фотонном газе не является независимой переменной. Тем самым фотонный газ отличается от обычного газа атомно-молекулярной природы: не существует различных сортов фотонов и смесевых фотонных газов. Различие между фотонами чисто количественное: на микроскопическом уровне — в энергиях (импульсах) фотонов, на макроскопическом — в температурах фотонногазовых систем.

Если рассматривают излучение не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключением частот, близких к линиям поглощения вещества); при высокой плотности вещества условие идеальности фотонного газа соблюдается лишь при очень высоких температурах.

Термодинамические свойства фотонного газа

В состоянии равновесия электромагнитное излучение (фотонный газ) внутри полости в абсолютно чёрном теле характеризуют теми же термодинамическими величинами, что и обычный газ: объёмом, давлением, температурой, внутренней энергией, энтропией и т. д. Излучение оказывает давление на стенки полости за счёт того, что фотоны обладают импульсом; температура равновесного фотонного газа совпадает с температурой стенок. Приведём без вывода основные термодинамические соотношения для равновесного теплового излучения (фотонного газа):

где α — радиационная постоянная, связанная с постоянной Стефана — Больцмана σ соотношением

(c — скорость света в вакууме).

В выражение для давления, представляющее собой термическое уравнение состояния фотонного газа, не входит объём, то есть фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы. В качестве единственной независимой переменной, используемой для описания состояние фотонного газа, традиционно выбирают температуру. Это означает, что для фотонного газа термическое равновесие есть необходимое и достаточное условие равновесия термодинамического, то есть в данном конкретном случае эти понятия эквивалентны друг другу.

• Внутренняя энергия как функция температуры (закон Стефана — Больцмана) ведёт себя в полном соответствии с постулатом Тиссы:

Из этого выражения видно, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму. Важно, что от объёма системы зависит число находящихся в нём фотонов и, следовательно, энергия теплового излучения и другие аддитивные функции состояния, но не плотности этих величин, которые зависят только от температуры. Дабы подчеркнуть, что в калорическое уравнение состояния и другие термодинамические соотношения объём входит не как независимая переменная состояния, а как характеризующий систему числовой параметр, для фотонного газа в математические формулы часто вместо аддитивных по объёму функций состояния включают их плотности. Используя плотность внутренней энергии (плотность излучения) u, запишем калорическое уравнение состояния фотонного газа в таком виде:

С использованием внутренней энергии в качестве независимой переменной термическое уравнение состояния фотонного газа можно записать так:

• Внутренняя энергия как функция энтропии (Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

Таким образом, для фотонного газа потенциал Гиббса не является характеристической функцией. С точки зрения теоретической термодинамики это означает, что перечень характеристических функций системы зависит от её особенностей и для различных термодинамических систем эти перечни совпадать не обязаны; только внутренняя энергия и энтропия для любой термодинамической системы сохраняют свойства характеристических функций.

• Потенциал Ландау (большой термодинамический потенциал) для фотонного газа равен потенциалу Гельмгольца

• Энтропия как функция температуры

Видно, что выражение для энтропии фотонного газа не противоречит третьему началу термодинамики.

• Теплоёмкость при постоянном объёме

• Теплоёмкость при постоянном давлении

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const).