Что такое корень уравнения
Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно \(x\)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.
Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:
И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.
Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная , а корень – это число , которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.
Пример : Является ли \(5\) корнем уравнения \(x^<2>-2x-15=0\)?
Решение : Подставим \(5\) вместо икса:
По обе стороны от равно — одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.
Матхак : на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.
Пример : Какое из чисел \(0, \pm1, \pm2\), является корнем для \(2x^<2>+15x+22=0\)?
Решение : Проверим подстановкой каждое из чисел:
| проверяем \(0\): | \(2\cdot0^<2>+15\cdot0+22=0\) |
| \(0+0+22=0\) | |
| \(22=0\) — не сошлось, значит \(0\) не подходит | |
| проверяем \(1\): | \(2\cdot1^<2>+15\cdot1+22=0\) |
| \(2+15+22=0\) | |
| \(39=0\) — опять не сошлось, то есть и \(1\) не корень | |
| проверяем \(-1\): | \(2\cdot(-1)^<2>+15\cdot(-1)+22=0\) |
| \(2-15+22=0\) | |
| \(9=0\) — снова равенство неверное, \(-1\) тоже мимо | |
| проверяем \(2\): | \(2\cdot2^<2>+15\cdot2+22=0\) |
| \(2\cdot4+30+22=0\) | |
| \(60=0\) — и вновь не то, \(2\) также не подходит | |
| проверяем \(-2\): | \(2\cdot(-2)^<2>+15\cdot(-2)+22=0\) |
| \(2\cdot4-30+22=0\) | |
| \(0=0\) — сошлось, значит \(-2\) — корень уравнения |
Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований , для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.
Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение \(0\cdot x=5\). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) — все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.
Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение \(x^2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).
Если x0 — корень уравнения, log0, 5(6 — 2x) = — 2 то значение выражения x0в степени 2 + 5 равно?
Алгебра | 10 — 11 классы
Если x0 — корень уравнения, log0, 5(6 — 2x) = — 2 то значение выражения x0в степени 2 + 5 равно.
$log_<0,5>(6-2x_<0>)=-2\\\\6-2x_<0>>0\\2x_ <0>6 окт. 2020 г., 21:43:18 | 10 — 11 классы
Логарифмы?
Вычислите : 1) log 5 1 / 25 + log корень 3 25 2) log 0, 5 4 + log корень 5 25 Найти значения х, если 1) 2 (в степени 2x — 4) = 9 2) 5 (в степени 3x + 6) = 27.
4 в степени log 3 по основанию 16?
4 в степени log 3 по основанию 16.
Найти значение выражения.
Найдите корень уравнения 10 в степени log√х 100 = x?
Найдите корень уравнения 10 в степени log√х 100 = x.
Найдите значение выражения 8 * корень 3 степени из 9 * корень 6 степени из 9?
Найдите значение выражения 8 * корень 3 степени из 9 * корень 6 степени из 9.
Вычислите значение выражения 2 ^ log(2)5 + 81 ^ log(9) * корень из 17?
Вычислите значение выражения 2 ^ log(2)5 + 81 ^ log(9) * корень из 17.
ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ log245 + log равно?
ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ log245 + log равно.
Сравнить значения выражений : корень шестой степени из шести и корень четвертой степени из четырех?
Сравнить значения выражений : корень шестой степени из шести и корень четвертой степени из четырех.
Найдите корень уравнения ?
Найдите корень уравнения !
Log₈₁3 в степени 5х — 8 = 2.
Если x — корень уравнения 5 в степени (2x + 1) + 5 в степени 2x = 750, то значение выражения x ^ 2 + x равно?
Если x — корень уравнения 5 в степени (2x + 1) + 5 в степени 2x = 750, то значение выражения x ^ 2 + x равно.
Помогите пожалуйста с решением заданий :1 задание?
Помогите пожалуйста с решением заданий :
Значение выражения 8 в 1 степени + log√8 * корень квадратный из 10 равно
Корень уравнения log8 (х + 6) + log8 (х — 6) = 2 принадлежит промежутку.
На этой странице находится ответ на вопрос Если x0 — корень уравнения, log0, 5(6 — 2x) = — 2 то значение выражения x0в степени 2 + 5 равно?, из категории Алгебра, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Алгебра. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
Надо вместо х подставить у и выразить у через х х = (у — 8) ^ ( — 1) х = 1 / (у — 8) у — 8 = 1 / х у = 1 / х + 8.
(3, 4 * 0. 01) * (5 * 0. 01) = 0. 0017.
(3, 4 * 10⁻²)(5 * 10⁻²) = 0, 034 * 0, 05 = 0, 0017.
3x — y = 7 4x + 6y = 2 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — y = 3x — 7 2x + 3y = 1 — — — — — — — — — — — — — — — — — — y = 3x — 7 2x + 3(3x — 7) = 1 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — y = 3x — 7 2x + 9x — 21 = 1 — — — — — — — — ..
9, 5 + ( — 10) = — 0, 5 0, 5 * ( — 10) = — 5.
9. 5 + a если а = — 10, то : 9. 5 + ( — 10) = — 0. 5 0. 5а если а = — 10, то : 0. 5 * ( — 10) = — 5.
1 y` = 10x — 8 2 y` = 4x³ * sin3x + 3x ^ 4 * cos3x.
Х + 2 = 0 или х — 1 = 0 х = — 2 х = 1.
X — y = 5 X = 5 + y Ответ : 5 + y x + 2 = — 1 x = — 1 — 2 x = 3 Ответ : x = 3.
Х + 2 = — 1 х = — 1 — 2 х = 3 . Х — у = 5 х = 5 + у х = 5.
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
- Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
- 4х + 8 = 6 − 7х
- 4х + 7х = 6 − 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = −2/11
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить: 
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
http://algebra.my-dict.ru/q/957425_esli-x0-koren-uravnenia-log0-56/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-prostyh-linejnyh-uravnenij