Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, ,
,
,
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Решим квадратное уравнение .
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где – это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: .
Найдем корни уравнения: .
Перепишем уравнение как: .
В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, .
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: ,
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами
Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта
В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.
Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_<1>=1-i$ и $z_<2>=4-5i$. Решить его.
Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ — корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:
Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:
$z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ — искомое квадратное уравнение.
Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
$$D=(-5+6 i)^<2>-4 \cdot 1 \cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$
Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $\sqrt
$$\sqrt<-7-24 i>=a+b i \Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^ <2>\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-7-24 i=a^<2>+2 a b i-b^<2>$$
Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:
решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $\sqrt
Ответ. $z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$
z1 и z2 — корни уравнения z2 + pz + q = 0. Если каждый корень это .
23. z1 и z2 — корни уравнения z 2 + pz + q = 0. Если каждый корень этого уравнения увеличить на 4 и из полученных чисел составить новое уравнение, то свободный его член будет равен q + 68. Найдите р.
Ответ: C
Решение
Общий вид квадратного уравнения: ax 2 + bx + с = 0, где a — I коэффициент, b — II коэффициент, с — III коэффициент или свободный член.
По теореме Виета:
То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).
x 2 + 5x + 6 = 0. Значит:
9x 2 — 7x + 8 = 0. Значит:
В данном случае есть квадратное уравнение z 2 + pz + q = 0, где по теореме Виета:
По условию требуется увеличить каждый корень уравнения на 4. То есть корни нового квадратного уравнения будут (z1 + 4) и (z2 + 4).
Произведение этих корней равно свободному члену, который по условию для нового уравнения равен q + 68.
Подставим имеющиеся данные:
q + 4(-p) + 16 = q + 68.
q — 4p — q = 68 — 16 = 52.
Просмотров: 1125
Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_16_14.php
http://www.test-uz.ru/test.php?id=10959