Это уравнение дирака и оно самое

Выводы Дирака. Уравнение Дирака. Квантовая теория поля

Данная статья посвящена работе Поля Дирака, уравнение которого значительно обогатило квантовую механику. Она описывает основные понятия, необходимые для того, чтобы разобраться в физическом смысле уравнения, а также способы его применения.

Наука и ученые

Человек, не связанный с наукой, представляет процесс добычи знаний каким-то магическим действием. А ученые, по мнению таких людей, — это чудаки, которые говорят на непонятном языке и слегка высокомерны. Знакомясь с исследователем, далекий от науки человек сразу говорит, что он в школе физику не понимал. Таким образом обыватель отгораживается от научного знания и просит более образованного собеседника говорить проще и понятнее. Наверняка Поля Дирака, уравнение которого мы рассматриваем, приветствовали так же.

Элементарные частицы

Строение вещества всегда волновало любознательные умы. В Древней Греции люди заметили, что мраморные ступени, по которым прошло множество ног, со временем меняют форму, и предположили: каждая ступня или сандалия уносила с собой крошечную частицу вещества. Эти элементы решили назвать «атомами», то есть «неделимыми». Наименование осталось, но выяснилось, что и атомы, и частицы, из которых состоят атомы, — тоже составные, сложные. Эти частицы называются элементарными. Именно им посвящена работа Дирака, уравнение которого позволило не только объяснить спин электрона, но и предположить наличие антиэлектрона.

Корпускулярно-волновой дуализм

Развитие техники фотографии в конце девятнадцатого века повлекло за собой не только моду на запечатление себя, еды и кошек, но и продвинуло возможности науки. Получив такой удобный инструмент, как быстрая фотография (напомним, раньше выдержки доходили до 30-40 минут), ученые стали массово фиксировать разнообразные спектры.

Существующие на тот момент теории строения веществ не могли однозначно объяснить или предсказать спектры сложных молекул. Сначала знаменитый опыт Резерфорда доказал, что атом не такой уж неделимый: в его центре находилось тяжелое положительное ядро, вокруг которого располагались легкие отрицательные электроны. Потом открытие радиоактивности доказало, что и ядро не монолит, а состоит из протонов и нейтронов. А дальше почти одновременное открытие кванта энергии, принципа неопределенности Гейзенберга и вероятностной природы местоположения элементарных частиц дали толчок к развитию принципиально иного научного подхода к изучению окружающего мира. Появился новый раздел – физика элементарных частиц.

Основным вопросом на заре этого века великих открытий в сверхмалых масштабах стало объяснение наличия у элементарных частиц и массы, и свойств волны.

Эйнштейн доказал, что даже неуловимый фотон обладает массой, так как передает импульс твердому телу, на который падает (явление давления света). При этом многочисленные опыты по рассеянию электронов на щелях говорили как минимум о наличии у них дифракции и интерференции, это свойственно только волне. В итоге пришлось признать: элементарные частицы одновременно и объект с массой, и волна. То есть масса, скажем, электрона как бы «размазана» в пакет энергии с волновыми свойствами. Этот принцип корпускулярно-волнового дуализма позволил объяснить прежде всего, почему электрон не падает на ядро, а также по каким причинам в атоме существуют орбиты, а переходы между ними скачкообразные. Эти переходы и порождают спектр, уникальный для любого вещества. Далее физика элементарных частиц должна была объяснить свойства самих частиц, а также их взаимодействие.

Волновая функция и квантовые числа

Эрвин Шредингер совершил удивительное и до сих пор малопонятное открытие (на его основании чуть позже Поль Дирак построил свою теорию). Он доказал, что состояние любой элементарной частицы, например, электрона описывает волновая функция ψ. Сама по себе она ничего не значит, а вот ее квадрат покажет вероятность найти электрон в данном месте пространства. При этом состояние элементарной частицы в атоме (или другой системе) описывается четырьмя квантовыми числами. Это главное (n), орбитальное (l), магнитное (m) и спиновое (m_s) числа. Они показывают свойства элементарной частицы. Как аналогию можно привести брусок масла. Его характеристики – масса, размер, цвет и жирность. Однако свойства, описывающие элементарные частицы, нельзя понять интуитивно, их надо осознавать через математическое описание. Работа Дирака, уравнение которого — в центре внимания этой статьи, посвящена последнему, спиновому числу.

Прежде чем перейти непосредственно к уравнению, необходимо объяснить, что же обозначает спиновое число m_s. Оно показывает собственный момент импульса электрона и других элементарных частиц. Это число всегда положительно и может принимать целое значение, ноль или полуцелое значение (для электрона m_s = 1/2). Спин – величина векторная и единственная, которая описывает ориентацию электрона. Квантовая теория поля кладет спин в основу обменного взаимодействия, которому нет никакого аналога в обычно интуитивно понятной механике. Спиновое число показывает, каким образом должен повернуться вектор, чтобы прийти в изначальное состояние. Примером может служить обычная шариковая ручка (пишущая часть пусть будет положительным направлением вектора). Чтобы она пришла в изначальное состояние, ее надо повернуть на 360 градусов. Такая ситуация соответствует спину, равному 1. При спине 1/2, как у электрона, поворот должен быть 720 градусов. Так что, помимо математического чутья, надо иметь развитое пространственное мышление, чтобы понять это свойство. Чуть выше шла речь о волновой функции. Она является основным «действующим лицом» уравнения Шредингера, с помощью которого описывается состояние и положение элементарной частицы. Но это соотношение в своем изначальном виде предназначено для частиц без спина. Описать состояние электрона можно, только если провести обобщение уравнения Шредингера, что и было проделано в работе Дирака.

Бозоны и фермионы

Фермион – частица с полуцелым значением спина. Фермионы располагаются в системах (например атомах) согласно принципу Паули: в каждом состоянии должно быть не более одной частицы. Таким образом, в атоме каждый электрон чем-то отличается от всех остальных (какое-то квантовое число имеет другое значение). Квантовая теория поля описывает и другой случай – бозоны. Они имеют целый спин и могут все одновременно быть в одном состоянии. Реализация этого случая называет Бозе-конденсацией. Несмотря на достаточно хорошо подтвержденную теоретическую возможность его получить, практически это осуществили только в 1995 году.

Уравнение Дирака

Как мы уже говорили выше, Поль Дирак вывел уравнение классического поля электрона. Оно также описывает состояния других фермионов. Физический смысл соотношения сложен и многогранен, и из его формы следует много фундаментальных выводов. Вид уравнения следующий:

где m — масса фермиона (в частности электрона), с — скорость света, p_k— три оператора компонент импульса (по осям x, y, z), ħ — урезанная постоянная Планка, x и t – три пространственные координаты (соответствуют осям X, Y, Z) и время, соответственно, и ψ(x, t) — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция, α_k (k=0, 1, 2, 3) — матрицы Паули. Последние представляют собой линейные операторы, которые действуют на волновую функцию и ее пространство. Формула эта довольно сложная. Чтобы понять хотя бы ее компоненты, надо разбираться в основных определениях квантовой механики. Также следует обладать недюжинными математическими познаниями, чтобы как минимум знать, что такое вектор, матрица и оператор. Специалисту вид уравнения скажет еще больше, чем его компоненты. Человек, сведущий в ядерной физике и знакомый с квантовой механикой, поймет важность этого соотношения. Однако надо признаться, что уравнения Дирака и Шредингера — всего лишь элементарные основы математического описания процессов, которые происходят в мире квантовых величин. Физики-теоретики, которые решили посвятить себя элементарным частицам и их взаимодействию, должны понимать суть этих соотношений на первом-втором курсах института. Но наука эта увлекательная, и именно в этой области можно совершить прорыв или увековечить свое имя, присвоив его уравнению, преобразованию или свойству.

Физический смысл уравнения

Как мы и обещали, рассказываем, какие выводы таит уравнение Дирака для электрона. Во-первых, из этого соотношения становится ясно, что спин электрона равен ½. Во-вторых, согласно уравнению, у электрона есть собственный магнитный момент. Он равен магнетону Бора (единица элементарного магнитного момента). Но самый главный результат получения этого соотношения кроется в незаметном операторе α_k. Вывод уравнения Дирака из уравнения Шредингера занял много времени. Вначале Дирак думал, что эти операторы мешают соотношению. С помощью разных математических ухищрений он пытался исключить их из уравнения, но ему это не удалось. В итоге уравнение Дирака для свободной частицы содержит четыре оператора α. Каждый из них представляет собой матрицу [4×4]. Два соответствуют положительной массе электрона, что доказывает наличие двух положений его спина. Другие же два дают решение для отрицательной массы частицы. Самые простые познания в физике предоставляют человеку возможность заключить, что это невозможно в реальности. Но в результате эксперимента выяснилось, что последние две матрицы являются решениями для существующей частицы, противоположной электрону – антиэлектрону. Как и электрон, позитрон (так назвали эту частицу) обладает массой, но его заряд положителен.

Позитрон

Как часто бывало в эру квантовых открытий, Дирак сначала не поверил собственному выводу. Он не решился открыто опубликовать предсказание новой частицы. Правда, во множестве статей и на различных симпозиумах ученый подчеркивал возможность ее существования, хотя и не постулировал это. Но вскоре после вывода этого знаменитого соотношения позитрон был найден в составе космического излучения. Таким образом, его существование было подтверждено эмпирически. Позитрон – первый найденный людьми элемент антиматерии. Позитрон рождается как один из близнецов пары (другой близнец – это электрон) при взаимодействии фотонов очень высокой энергии с ядрами материи в сильном электрическом поле. Приводить цифры мы не будем (заинтересованный читатель и сам найдет всю нужную информацию). Однако стоит подчеркнуть, что речь идет о космических масштабах. Произвести фотоны нужной энергии способны лишь взрывы сверхновых и столкновения галактик. Также они в некотором количестве содержатся в ядрах горячих звезд, в том числе Солнца. Но человек всегда стремится к своей выгоде. Аннигиляция материи с антиматерией дает много энергии. Чтобы обуздать этот процесс и пустить его на благо человечества (например, эффективными были бы двигатели межзвездных лайнеров на аннигиляции), люди научились изготавливать протоны в лабораторных условиях.

В частности, большие ускорители (типа адронного коллайдера) могут создавать пары электрон-позитрон. Раньше также высказывались предположения, что существуют не только элементарные античастицы (помимо электрона их еще несколько), но и целая антиматерия. Даже совсем небольшой кусочек любого кристалла из антивещества обеспечил бы энергией всю планету (может быть, криптонит супермена был антиматерией?).

Но увы, создание антиматерии тяжелее ядер водорода в обозримой вселенной задокументировано не было. Однако если читатель думает, что взаимодействие вещества (подчеркнем, именно вещества, а не отдельно взятого электрона) с позитроном сразу заканчивается аннигиляцией, то он ошибается. При торможении позитрона с высокой скоростью в некоторых жидкостях с ненулевой вероятностью возникает связанная пара электрон-позитрон, которая называется позитроний. Это образование имеет некоторые свойства атома и даже способно вступать в химические реакции. Но существует этот хрупкий тандем недолго и потом все равно аннигилирует с испусканием двух, а в некоторых случаях и трех гамма-квантов.

Недостатки уравнения

Несмотря на то что благодаря этому соотношению был обнаружен антиэлектрон и антиматерия, оно имеет существенный недостаток. Запись уравнения и модель, построенная на его основе, не способны предсказать, как рождаются и уничтожаются частицы. Это своеобразная ирония квантового мира: теория, предсказавшая рождение пар материя-антиматерия, не способна адекватно описать этот процесс. Данный недостаток был устранен в квантовой теории поля. Путем введения квантованности полей эта модель описывает их взаимодействие, в том числе рождение и уничтожение элементарных частиц. Под «квантовой теорией поля» в данном случае подразумевается совершенно конкретный термин. Это область физики, которая изучает поведение квантовых полей.

Уравнение Дирака в цилиндрических координатах

Для начала сообщим, что такое цилиндрическая система координат. Вместо привычных трех взаимно перпендикулярных осей для определения точного местоположения точки в пространстве используются угол, радиус и высота. Это то же самое, что полярная система координат на плоскости, только добавляется третье измерение – высота. Эта система удобна, если требуется описать или исследовать некоторую поверхность, симметричную относительно одной из осей. Для квантовой механики это весьма полезный и удобный инструмент, который позволяет значительно сократить размер формул и количество вычислений. Это следствие осесимметричности электронного облака в атоме. Уравнение Дирака в цилиндрических координатах решается несколько иначе, чем в привычной системе, и дает иногда неожиданные результаты. Например, некоторые прикладные задачи по определению поведения элементарных частиц (чаще всего электронов) в квантованном поле решались преобразованием вида уравнения к цилиндрическим координатам.

Использование уравнения для определения строения частиц

Это равенство описывает простые частицы: такие, которые не состоят из еще более мелких элементов. Современная наука способна измерять магнитные моменты с достаточно высокой точностью. Таким образом, несоответствие посчитанного с помощью уравнения Дирака значения измеренному экспериментально магнитному моменту будет косвенно свидетельствовать о сложном строении частицы. Напомним, это равенство применимо к фермионам, их спин полуцелый. С помощью этого уравнения была подтверждена сложная структура протонов и нейтронов. Каждый из них состоит из еще более мелких элементов, которые называются кварками. Глюонное поле держит кварки вместе, не давая им рассыпаться. Существует теория, что и кварки — это не самые элементарные частицы нашего мира. Но пока у людей не хватает технической мощи, чтобы это проверить.

Pелятивистская квантовая механика. Уравнение Дирака

«На нем стоит большая часть физики и вся химия.»
Поль Дирак о своем уравнении

Вся классическая физика зиждется на том убеждении, что, зная закон движения частицы и факт появления ее в точке А, мы абсолютно точно можем предсказать, когда она попадет в точку В. Квантовая механика утверждает, что, зная закон движения микрочастицы и факт появления ее в точке А, мы можем определить всего лишь вероятность ее появления в точке В.

Вначале объясним слово «релятивистский». В физике под этим термином понимают все связанное с теорией относительности применительно к физическим эффектам, явлениям, наблюдаемым при скоростях тел или частиц, сравнимых со скоростью света. Так, к примеру, релятивистская частица—это частица, движущаяся с релятивистской скоростью, то есть близкой к скорости света.

А все началось с игры

В 1928 году английский физик Поль Дирак вывел уравнение движения для классического поля электрона, являющегося релятивистской частицей. Позднее оно было применено и для описания других фермионов. Однако по порядку.

Сам Дирак вспоминал, что начал работать над своей релятивистской теорией, «играясь с уравнениями, а не пытаясь ввести какую-нибудь определенную физическую идею». В чем же состояла эта игра Дирака?

Он хотел найти такое уравнение, которое, во-первых, было бы релятивистским, то есть удовлетворяло принципам теории относительности, во-вторых, подчинялось бы требованиям теории преобразований и, в-третьих, было бы квантово-механическим уравнением, описывающим движение электрона.

Но что значит «релятивистское уравнение»? Одним из характерных признаков такого уравнения является то, что в него должны входить как пространственные координаты х, у, z, так и временная координата t. Это уравнение должно быть квантово-механическим, то есть содержать волновую функцию электрона.

Дирак хотел просто привести в соответствие релятивистские принципы и требования теории преобразований. Оказалось, что существование спина как бы само собой возникает при объединении квантовой механики и теории относительности. Получилось, что квантовое уравнение, записанное с учетом требований теории относительности, описывает поведение частиц со спином.

Дираковская теория электрона наделяет электрон релятивистскими свойствами, а именно спином, то есть собственным механическим моментом количества движения и собственным магнитным моментом.

Релятивистский — термин, употребляемый в физике для явлений, обусловленных движением со скоростями, близкими к скорости света, либо сильными полями тяготения. Такие явления описываются теорией относительности.

Теория, порождающая загадки

Уравнение Дирака дало возможность получить более точную формулу для уровней энергии атома водорода. Но особенностью его уравнения было наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы, а это уже соответствует отрицательной массе частицы. Это означало, что все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в квантовой теории в эти состояния возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица—античастица по отношению к электрону, с массой электрона и зарядом противоположного знака. Такая частица была открыта в 1932 году американским физиком-экспериментатором Карлом Андерсоном и получила название «позитрон». Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход рассматриваются как процесс образования пары электрон — позитрон и аннигиляция, то есть взаимное уничтожение такой пары.

Однако, несмотря на эти успехи, теория Дирака имеет и недостаток. Она не описывает взаимодействие квантованного электронного поля с квантованным электромагнитным полем, в том числе и рождение или уничтожение частиц. Эта трудность была разрешена в квантовой теории поля. В случае с электронами следует добавить квантованное электромагнитное поле, квантование самого электронного поля и взаимодействие этих полей, а полученная теория уже называется квантовой электродинамикой.

«. Квантовую электродинамику можно уложить в рамки разумной математической теории, но лишь ценой нарушения релятивистской инвариантности. Мне, однако, это кажется меньшим злом, чем отступление от стандартных правил математики и пренебрежение бесконечными величинами» (Поль Дирак)

Новое в блогах

Объяснение больших чисел Дирака

Поль Дира́к (1902 – 1984) – английский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики, лауреат Нобелевской премии по физике 1933 года (совместно с Эрвином Шрёдингером). Помимо всех прочих заслуг Дираку принадлежат две необычные физические гипотезы: магнитный монополь (1931) и «гипотеза больших чисел» (1937). Физики предприняли целый ряд попыток обнаружить магнитный монополь в эксперименте, однако до сих пор не получено никаких окончательных свидетельств их существования. Тем не менее, монополи прочно вошли в современные теории Великого объединения и могли бы служить источником важной информации о строении и эволюции Вселенной. Так же до сих пор никем не создана и некая «красивая теория», объясняющая существование в природе больших чисел Дирака. Поэтому в данной статье я и предлагаю свой вариант этой «красивой теории» (виртуальной космологии), объясняющей (?) феномен больших чисел Дирака. Но прежде приведу несколько интересных фактов о необычной личности самого Поля Дирака.

1. От простого инженера до величайшего физика

Поль Дирак родился 8 августа 1902 года в Бристоле в семье учителя, в которой всего было трое детей. Его отец преподавал французский язык, а мать, дочь капитана торгового судна, работала в библиотеке. В 12-летнем возрасте Поль Дирак стал учеником средней школы Технического колледжа, а в 16 лет Дирак поступил на инженерный факультет Бристольского университета. Несмотря на то, что его любимым предметом была математика, он неоднократно говорил, что инженерное образование дало ему очень много: «Раньше я видел смысл лишь в точных уравнениях. Мне казалось, что если пользоваться приближёнными методами, то работа становится невыносимо уродливой, в то время как мне страстно хотелось сохранить математическую красоту. Инженерное образование, которое я получил, как раз научило меня смиряться с приближенными методами, и я обнаружил, что даже в теориях, основанных на приближениях, можно увидеть достаточно много красоты [это показывает (?) и моя виртуальная космология; при цитировании здесь и далее – курсив мой] … Я оказался вполне подготовленным к тому, что все наши уравнения надо рассматривать как приближения, отражающие существующий уровень знаний, и воспринимать их как призыв к попыткам их усовершенствования. Если бы не инженерное образование, я, наверное, никогда не добился бы успеха в своей последующей деятельности…» («Воспоминания о необычайной эпохе»).

После двухлетнего углубленного изучения математики в Бристольском университете в 1923 году у Дирака появилась возможность поступить в аспирантуру Кембриджского университета. И уже к 1927 году благодаря своим новаторским работам по теоретической физике Поль Дирак приобрел широкую известность в самых высоких научных кругах (хотя ему было только 25 лет)…

Подводя итог жизненного пути Поля Дирака, можно привести слова нобелевского лауреата Абдуса Салама: «Поль Адриен Морис Дирак – без сомнения, один из величайших физиков этого, да и любого другого столетия. В течение трех решающих лет – 1925, 1926 и 1927 – своими тремя работами он заложил основы, во-первых, квантовой физики в целом, во-вторых, квантовой теории поля и, в-третьих, теории элементарных частиц… Ни один человек, за исключением Эйнштейна, не оказал столь определяющего влияния за столь короткий период времени на развитие физики в этом столетии.»

Ещё при жизни Дирак вошёл в научный фольклор как персонаж многочисленных анекдотических историй разной степени достоверности. Они позволяют в какой-то мере понять особенности его характера: молчаливость, серьёзное отношение к любой теме обсуждения, нетривиальность ассоциаций и мышления в целом, стремление к предельно четкому выражению своих мыслей, рациональное отношение к проблемам (даже абсолютно не связанным с научным поиском). Он не употреблял алкоголь и не курил, был равнодушен к пище или удобствам, избегал внимания к себе. Дирак долгое время был неверующим, но с годами его отношение к религии смягчилось (возможно, под влиянием жены), и он даже стал членом Папской академии наук.

2. Математическая красота в понимании Дирака

С точки зрения научной методологии Дирака первостепенное значение приобретает понятие «математической красоты», под которым понимается не только логическая ясность и последовательность теории, но и нечто большее. Так, Википедия, рассказывая о личности великого физика, в разделе «Интересные факты» говорит, что якобы именно Поль Дирак нашёл способ выразить любое натуральное число ( N = 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) такой красивой формулой: ……… (2.1)

где количество знаков корня (√) равно данному числу N. Например, чтобы получить число N = 3 в формуле Дирака надо три раза извлечь корень квадратный из числа 2. [На языке программы “ Excel ” формула (2.1) записывается так: N = – log ( log ( X ;2);2), где X = ((2^½)^½)^½ = 2^(2^–3). При этом в “ Excel ” легко проверить, что если Z – это любое вещественное число большее единицы (Дирак взял Z = 2), принятое в качестве основания логарифма, то тогда N = – log ( log ( X ; Z ); Z ), где X = Z ^( Z ^– N ).]

Формула (2.1) – это простейший пример «математической красоты», столь характерной для теории чисел (раздел высшей математики, изучающей мир чисел). Дирак, безусловно, глубоко «чувствовал» удивительную красоту мира чисел, а это дано далеко не каждому физику (не говоря уже о всей прочей публике). Кстати, многие профессиональные математики, независимо от их специализации (в самых разных областях бесконечно обширной математики), в качестве своего «хобби» обращались именно к теории чисел, как к некому эталону математической красоты, полному хитроумных парадоксов, загадок, тайн. Когда в 1956 году во время лекции в Московском университете Дирака спросили о его понимании философии физики, он написал на доске: «Физические законы должны обладать математической красотой. ( Physical laws should have mathematical beauty ).»

Эта методологическая установка Дирака была ярко и однозначно выражена им в статье, посвященной столетнему юбилею со дня рождения Эйнштейна: «… нужно в первую очередь руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже. Хотя пока еще никаких расхождений с теорией гравитации Эйнштейна не обнаружилось, в будущем такое расхождение может появиться. Тогда его надо будет объяснять не ложностью исходных посылок, а необходимостью дальнейших исследований и усовершенствований теории.» Часто Дирак говорил о своей научной работе как об игре с математическими соотношениями, считая первостепенной задачей – поиск красивых уравнений, которые впоследствии могут получить физическую интерпретацию (в качестве примера успешности такого подхода он называл уравнение Дирака и идею магнитного монополя).

В статье «Эволюция взглядов физиков на картину природы» Дирак сделал такое заключение: «По-видимому, одним из фундаментальных свойств природы является то, что основные физические законы описываются с помощью математической теории, обладающей настолько большим изяществом и мощью, что требуется чрезвычайно высокий уровень математического мышления, чтобы понять ее. Вы можете спросить: почему природа устроена именно так? На это можно только ответить, что наши современные знания показывают, что природа, по-видимому, устроена именно таким образом. Мы просто должны согласиться с этим. Описывая эту ситуацию, можно сказать, что Бог является математиком весьма высокого класса и в своем построении Вселенной он пользовался весьма сложной математикой.»

Говоря о личности Поля Дирака можно добавить, что ещё в августе 1926-го Эйнштейн писал Паулю Эренфесту: «У меня проблемы с Дираком. Это балансирование на головокружительной грани между гением и безумием – ужасно». А великий Нильс Бор сказал как-то: «Из всех физиков у Дирака самая чистая душа».

3. Большие числа Дирака

Большие числа Дирака (БЧД) относится к наблюдениям Поля Дирака в 1937 году. В них речь идет о неких фундаментальных отношениях, например, отношения размеров Вселенной (мегамир) к размерам элементарных частиц (микромир), или, например, отношения сил природы различных масштабов. Эти отношения выражаются очень большими числами, скажем, порядка 10^40 (это 10 в 40-й степени, то есть это число 100000000000000000000000000000000000000000…000, где после единицы стоит 40 нулей). И все эти большие числа – безразмерные, поскольку размерности просто сокращаются (скажем, при делении «метров» на «метры»). Вот наиболее популярные примеры больших чисел Дирака:

– отношение радиуса Вселенной к радиусу электрона

– отношение массы Вселенной к массе электрона

– отношение кулоновской силы к силе тяготения

– отношение радиуса Вселенной к длине Планка

– отношение энергии Вселенной к «нулевой энергии»

В 1938 году Поль Дирак в рамках своей гипотезы больших чисел предположил, что гравитационная постоянная может уменьшаться обратно пропорционально времени. При этом Дирак считал постоянную тонкой структуры (α) истинной константой, однако отметил, что в будущем это может оказаться не так. Постоянная тонкой структуры (ПТС), обычно обозначаемая как альфа (α = 0,0072973525698) – это безразмерная физическая постоянная, характеризующая силу электромагнитного взаимодействия. ПТС описывает вероятность фундаментального физического процесса: поглощения или излучения электроном фотона. Величина, обратная ПТС, близка к целому числу: 1/α = 137,0359990741 ≈ 137. Существуют различные физические интерпретации ПТС, например, ПТС может быть определена как квадрат отношения элементарного электрического заряда (е) к планковскому заряду ( q ), то есть α = ( e / q )^2 . Данная интерпретация ПТС любопытна тем, что аналогичное выражение (по форме и, если пофантазировать, даже по «смыслу»?) можно обнаружить в мире чисел при рассмотрении «мощных» натуральных чисел N , содержащих достаточно много целых делителей, – см. формулу (14.12) в моей книге «Зеркало» Вселенной» [ http://technic.itizdat.ru/docs/iav2357/FIL13393414410N083260001/54 ].

Эти идеи Дирака (затрагивающие и вопрос изменения ПТС во времени) вызвали значительный интерес, который сохраняется до сих пор. В 1948 году, пытаясь опровергнуть гипотезу Дирака, Эдвард Теллер (1908 – 2003), американский физик-теоретик (широко известный как «отец водородной бомбы» в США), упомянул возможность логарифмической зависимости 1/α

lnT, то есть с ростом времени (T), возможно, происходит и рост параметра 1/α (который дорастает до значения 1/α ≈ 137 при Т ≈ 13,798 миллиарда лет – это возраст Вселенной). Однако вопрос о том, постоянна ли α, считается открытым, поскольку в нашу эпоху возможные изменения α едва уловимы современными техническими средствами. В связи со своей гипотезой (1/α

lnT) Теллер предложил следующее, скажем, ПТС-ое большое число (γ), учитывающее постоянную тонкой структуры (ПТС):

γ = exp (1/α) = 3,2657*10^59, (3.1)

которое позволяет получить якобы наиболее приемлемое большое число Дирака (приведенное к ПТС): 2γ/α = 8,95*10^61. Очевидно, что это число не вытекает из какой-то физической теории, поэтому его значение может быть представлено и другими путями (другими рассуждениями и формулами). Так, в Википедии представлено ещё три таких «пути», приводящих к наиболее приемлемым большим числам Дирака (лежащих в диапазоне от 8,77*10^61 до 9,08*10^61).

Согласно гипотезе Дирака, современная эквивалентность подобных отношений (больших чисел Дирака) является не простым совпадением, а обусловлено космологическими свойствами Вселенной с необычными свойствами (не исключается зависимость физических фундаментальных постоянных от времени). Большие числа Дирака привлекали большое внимание физиков (и нумерологов всех мастей) на протяжении многих десятилетий, но до сих пор «красивая теория», объясняющая большие числа Дирака, так и не создана, то есть, не признана сообществом физиков-теоретиков. Всё прочее – не в счёт. Так и моя виртуальная космология останется не более, чем игрой разума, если мои идеи не будут восприняты физиками-теоретиками. Впрочем, меня утешает то, что сам я получаю наивысшее наслаждение разума от «общения» с миром чисел и, как надеюсь, мне удалось увлечь этой «игрой» хотя бы ещё несколько умов…

4. Понятие о типе (Т) натурального числа N

Далее я приведу минимум сведений из моей виртуальной космологии – игры-теории, которая, начиная с 2010 года, развивается на глазах читателей, можно сказать, в режиме «онлайн». Эти сведения позволят читателю понять, как мир чисел может объяснить большие числа Дирака (то есть и всю природу Мироздания).

Всякое натуральное (целое положительное) число N имеет целые делители. Числа N , имеющие только два делителя (1 и N ) называются простыми числами, и ряд таких чисел бесконечен: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… (единица – это совершенно особое число). Из простых чисел, как из кирпичиков, строятся все прочие натуральные числа. Например, N = (2*2*2*2)*(3*3*3)*5*(11*11) = (2^4)*(3^3)*5*(11^2) = 261360 и никакой другой набор простых чисел (порядок следования сомножителей значения не имеет) не даст нам числа 261360 – именно это и утверждает основная теорема арифметики (но кто её помнит со школы?). Таким образом, мир чисел символизирует некое фундаментальное «устройство» Мироздания, которое физика пытается объяснить в рамках, скажем, струнной теории: всё вещество и все силы природы обязаны своим происхождением одной фундаментальной величине – колеблющейся квантовой струне (у меня её символизирует число), которая имеет резонансные частоты (их символизируют простые числа или некие типы чисел?). То есть ВСЁ в этом мире состоит из комбинаций вибрирующих волокон (квантовых струн). Микроструктура Вселенной – это сложно переплетенный, многомерный лабиринт (но именно так «устроен» и мир чисел!), в котором струны бесконечно закручиваются и вибрируют, ритмично отбивая законы космоса (законы теории чисел). То есть ВСЁ (в том числе все тайны жизни, наши мысли) – это своеобразный танец квантовых струн. Представить это непросто, однако в этом нам способен помочь… мир чисел – это лейтмотив всей виртуальной космологии.

Выше мы представили число N = 261360 в так называемом каноническом виде, а зная его – легко найти тип (Т) данного числа N , то есть количество всех его целых делителей (от 1 до N включительно): для этого надо перемножить все показатели степени, увеличив их на единицу: Т = (4+1)*(3+1)*(1+1)*(2+1) = 120. Это очень красивое утверждение (теорема) теории чисел, и с помощью компьютера легко убедиться, что у числа N = 261360 именно 120 делителей (поясню, что термин «тип» числа придуман мною для удобства разговора).

Единица ( N = 1) – это единственное число, тип которого Т = 1. Очевидно, что все простые числа ( N = 2, 3, 5, 7, …) имеют тип Т = 2. Типы всех прочих натуральных чисел N , в свою очередь, также образуют натуральный ряд: Т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … и т.д. до бесконечности. При этом, вообще говоря, нельзя предсказать с какого именно числа N впервые «открывается» данный тип Т («открывается» мир Т – удобно и полезно мысленно полагать, что всё бесконечное множество чисел, имеющих одинаковый тип Т, образуют свой уникальный мир, со своими законами).

5. Закон распределения простых чисел

Какое количество (К) простых чисел будет содержаться на отрезке [1; N ]? На этот (ключевой) вопрос важнейшая теорема теории чисел дает поразительно лаконичный ответ (и в этом лаконизме – наивысшая красота мира чисел):

К

N / lnN , (5.1)

где символ «тильда» (

) означает (в рамках теории чисел), что реальное количество (К) простых чисел тем ближе к отношению N / lnN , чем больше число N . Здесь необходимо подчеркнуть, что почти все важнейшие законы мира чисел «заточены» на… бесконечность (∞), а именно: чем больше аргумент (здесь это N ) – тем точнее работают законы теории чисел. В этом отношении мир чисел «подтверждает» нам, что Вселенная колоссальна по своим размерам. Более того, возможно, Вселенная бесконечна, как бесконечен и мир натуральных чисел (в том числе и мир простых чисел, что совершенно очевидно для математиков).

Рассмотрим конкретный (рабочий) отрезок [1; N ] числовой оси с правой границей N = 520000, то есть наш отрезок содержит свыше полумиллиона первых натуральных чисел. Тогда по формуле (5.1) мы получим К

520000/ ln (520000) ≈ 39508, что всего лишь на 9% меньше реального количества простых чисел (К = 43061) на отрезке [1; 520000]. При этом, чем дальше «вправо» (от единицы) мы уходим по числовой оси – тем, вообще говоря (бывают случаи, когда это не так), всё реже и реже встречаются простые числа. Однако всегда (?) будут встречаться простые близнецы – простые числа, разность между которыми равна 2 (и в этом – одна из многочисленных ещё не разгаданных тайн мира чисел).

Если мы знаем реальный порядковый номер ( K ) простого числа N (в ряду всех простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…), то из формулы (5.1) можно найти и само простое число N (и тем точнее, чем больше его порядковый номер K ):

N

K * lnK . (5.2)

Формула (5.2) эквивалентна формуле (5.1), то есть обе эти формулы (как бы «с разных сторон») говорят о главном – о законе распределения идеальных простых чисел («вырастающих» по закону N

K * lnK ) среди всех прочих натуральных чисел. Реальные простые числа появляются в ряду всех чисел так, словно их появление – «случайный» (непредсказуемый) процесс. При K = 43061 из формулы (5.2) мы получим N ≈ 459477, а реальное 43061-ое простое число – это N = 519997 (что легко проверить на замечательном портале «Империя чисел» http :// ru . numberempire . com / ).

Зная, закон распределения идеальных простых чисел ( N

K * lnK ) мы можем вычислить в мире чисел, скажем, масштабный фактор (М) – расстояние между соседними идеальными простыми числами (эту формулу нетрудно доказать):

M ≈ 1 + lnN – lnlnN . (5.3)

«Поведение» (математические свойства) параметра М в мире чисел напоминает «поведение» масштабного фактора из реальной космологии – науки изучающей реальную Вселенную. Это очень важный аргумент в защиту моей виртуальной космологии (идеи о том, что мир чисел «отражает» реальный физический мир). Чуть ниже я ещё покажу, к каким любопытным аналогиям с реальной Вселенной приводит данный параметр М из мира чисел.

6. Нормальный тип числа

Мы уже знаем, сколько на отрезке [1; N ] будет содержаться простых чисел (имеющих тип Т = 2). А сколько на отрезке [1; N ] будет содержаться чисел, имеющих тип Т = 3, Т = 4, Т = 5, и т.д.? Возможно, теория чисел уже содержит ответы и на эти вопросы, но лично мне такие ответы (формулы) не известны. Поэтому здесь я обратился за помощью к компьютеру, который «тупо» находил типы (Т) всех подряд натуральных чисел нашего отрезка. И оказалось, что на рабочем отрезке [1; 520000] содержится всего лишь… 82 разных типа: Т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 22 – эти типы идут без пропусков (копируя начало натурального ряда), а вот дальше начинаются пропуски типов – не появились типы-фантомы Т = 23, 29, 30,31, 37, 38,…, 197, 198, 199. «Фантомы» – поскольку с ростом правой границы отрезка (при N > 520000) данные типы (Т) непременно появятся (а фантомами станут уже большие типы Т > 200, поскольку Т max = 200 – см. ниже).

На отрезке [1; 520000] максимальный тип (Т max ) оказался равным Т max = 200 – столько целых делителей содержит число N = 498960 и никакое иное число на отрезке [1; 520000] не содержит так много делителей. А согласно теории чисел данный (важнейший) параметр оценивается так (формула Вигерта):

T max

2^( lnN / lnlnN ) , (6.1)

что дает нам явно заниженный результат: T max

2^( ln (520000)/ ln ( ln (520000))) ≈ 34. Однако напомню, что все основные (и неизменно красивые в своем лаконизме, кажущейся простоте) формулы теории чисел «заточены» на отрезки [1; N ] колоссальной длины (с колоссальной правой границей N ). По моим грубым оценкам формула Вигерта выдает значения T max уже довольно близкие к реальным начиная с чисел порядка N ≈ 10^1144, когда T max

5*10^100 (см. мою книгу «Бесконечность», гл. 8, где, кстати, мною допущена опечатка в части указанного значения N ).

С помощью компьютера нетрудно установить, что на отрезке [1; 520000] всем появившимся 82-м разным типам Т = 1, 2, 3, 4, …, 192, 200 (идут по возрастанию) соответствуют такие количества натуральных чисел: К = 1, 43061, 128, 112317, 9, 24374, 4, 116650, 213, 4532,…, 9, 1. Данную информацию наглядно показывает график на рис. 6.1, где каждая жирная точка – это количество (К) натуральных чисел, имеющих некий (конкретный) тип Т (этот параметр отложен по горизонтальной оси графика в логарифмической шкале). Хорошо видно, что если все точки графика «накрыть» сверху некой воображаемой огибающей линией, то её наивысшая точка расположится над значением Т ≈ 6. И хотя сама 6-я точка (Т = 6) слегка «провалилась» между двумя наивысшими точками Т = 4 и Т = 8, тем не менее, почти половина (49%) чисел рабочего отрезка [1; 520000] имеют типы Т = 4, 5, 6, 7, 8. Именно в этом смысле мы вправе сказать, что на отрезке [1; 520000] большая часть натуральных чисел имеет примерно 6 делителей, то есть имеет тип Т ≈ 6. А согласно терминологии, принятой в теории чисел, мы должны сказать так: на отрезке [1; 520000] «нормальный» тип (Т н ) примерно равен 6. Причем теория чисел дает нам очередную красивую формулу для любого большого отрезка [1; N ]:

Т н

2^lnlnN = (lnN)^ln2 = (lnN)^0,693…. (6.1)

Для нашего N = 520000 мы получим Т н

( ln (520000))^0,693… = 5,968… ≈ 6, что хорошо стыкуется с данными, которые мы рассмотрели выше на графике (рис. 6.1).

7. Понятие «время» в виртуальной космологии

Последние (самые «свежие») версии моей виртуальной космологии строятся на основе ключевых гипотез о времени (для вещественных чисел N > е):

1). Время ( t ) – это двойной логарифм числа N , то есть t = lnlnN , где N – правая граница рассматриваемого отрезка [ e ; N ] числовой оси; е = 2,718… – основание натуральных логарифмов (важная математическая константа). При этом (для достаточно больших времен t ) масштабный фактор (М) растет почти по экспоненте от времени: M ≈ 1 + lnN – lnlnN = 1 + exp ( t ) – t , то есть M

exp ( t ). Значит, (для больших t ) время – это логарифм масштабного фактора: t

Данная гипотеза согласуется (?) с теоретической физикой, в которой математические описания пространства (у меня – масштабного фактора M

lnN ) и времени (у меня t = lnlnN ) оказались очень похожими и в действительности это две стороны одной единственной структуры, именуемой «пространство-время». Пространство-время – это основные формы существования материи, которые имеют решающее значение для построения физической картины мира, нашей Вселенной. В современной квантовой теории пространству и времени отводится центральная роль, существуют даже теории, где вещество рассматривается не более как возмущение этой основной структуры (в классической физике пространство и время строится из материи, и только это доступно нам в ощущениях). Таким образом, исследуя «поведение» наших параметров М и t в мире чисел – мы исследуем (пытаемся «расшифровать») «устройство» реального Мироздания, причем на самом что ни на есть фундаментальном уровне, «ниже» которого – только мнимые миры, изоморфные комплексной области в мире чисел. Поясню, что объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными» (с точки зрения их «математики») и называются изоморфными.

2). Возраст Вселенной изоморфен значению t = 1/α ≈ 137 (в неких виртуальных единицах времени). То есть прошедшие с момента возникновения Вселенной (с момента так называемого Большого взрыва) 13,798 миллиарда лет изоморфны (эквивалентны, тождественны) обратной величине постоянной тонкой структуры (α). В оправдание данной гипотезы (помимо выше упомянутых идей Теллера) могу добавить, что постоянная тонкой структуры, являясь безразмерной величиной, которая никак не соотносится ни с какой из известных математических констант, всегда являлась объектом восхищения для физиков. А выдающийся американский учёный, один из основателей квантовой электродинамики, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман (1918 – 1988), даже называл постоянную тонкой структуры «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком».

Данную главу я закончу иллюстрацией некоторых своих идей, вытекающих из гипотезы t = lnlnN и доказывающих (?), что мир чисел, действительно, «отражает» некие важные аспекты реального (физического) мироустройства.

Выше говорилось, что в мире чисел (как и во Вселенной) можно увидеть свой «масштабный фактор» M ≈ 1 + lnN – lnlnN . После введения понятия «время» ( t = lnlnN ), параметр М логично записать в следующем виде: M ≈ 1 + e ^ t – t . Причем не трудно повысить точность этой формулы (в области малых времен t ), скажем, так:

M ≈ [1 + 0,5/ e ^( t /2)]*(1 + e ^ t – t ). (7.1)

В данной формуле параметр М – это некая функция ( f ) от времени: М = f ( t ). И нам нетрудно взять первую производную по времени (М’ ≡ d М/ dt ) от функции М = f ( t ). Физический смысл такой производной – это скорость изменения функции М = f ( t ) с ростом времени t . Выглядит указанная производная следующим образом:

Взяв первую производную (М’ ≡ d М/ dt ), мы можем вычислить некий, скажем, Х-параметр: Х ≡ М’/М, который «отражает» параметр Хаббла из реальной космологии. Наш Х-параметр, по крайней мере, качественно «отражает» один из любопытных сценариев поведения реального параметра Хаббла при эволюции Вселенной (см. график на рис. 7.1): сначала был бурный рост («взрыв») Х-параметра (пик в районе t ≈ 3,5); потом Х стал убывать (замедляясь во времени вплоть до времени t ≈ 7); а затем начинается бесконечный рост Х-параметра (и скорость этого роста постоянно замедляется, «замораживается», когда Х устремляется к единице).

Необходимо подчеркнуть, что в последних версиях виртуальной космологии рассматриваются не только натуральные (целые положительные) числа, но и все вещественные положительные числа ( N ), которые мы будем условно делить на 4 множества (их названия придумал сам для упрощения разговора):

– на полуинтервале [0; 1) находятся экзочисла (Э) и их также бесконечно много;

– единица – это совершенно особое число (у меня символизирует сингулярность);

– на интервале (1; е) находятся проточисла (П) и их также бесконечно много;

– на отрезке [e; ∞] находятся обычные числа, в том числе и натуральные числа.

При этом время ( t ) постулируется как t = ln | lnN | , где | lnN | – это модуль lnN , то есть величина lnN , взятая без знака «минус» (который появляется у экзочисел Э). То есть для экзочисел Э на графике (рис. 7.2) показана вещественная часть комплексного логарифма (который в мире чисел, возможно, «отражает»… тёмную энергию).

Тем читателям, кому приведенные в данной работе идеи, мысли, гипотезы кажутся любопытными, рекомендую заглянуть в мои статьи и книги на портале «Техно-сообщество России» ( http://technic.itizdat.ru/users/iav2357 ).

8. Большие числа Дирака в мире чисел

Итак, в виртуальной космологии возрасту Вселенной (13,798 миллиарда лет) ставится в соответствие колоссальное число N = exp ( exp ( t )) ≈ exp ( exp (137)) ≈ exp (3,2657*10^59) ≈ 10^(10^59), то есть 10 в степени 1000000000000000000…000, где после единицы стоит 59 нулей (и если читатель найдет теорию, в которой речь идет о ещё большем числе, то пусть сообщит мне об этом!). Наш мозг не способен представить отрезок [ e ; N ] числовой оси, когда N ≈ 10^(10^59), однако мы, благодаря теории чисел, твердо знаем, что типы (Т) натуральных чисел на этом отрезке изменяются в пределах от Т min = 2 (у всех простых чисел) до Т max = 2^( lnN / lnlnN ) ≈ 10^(7,17*10^56) – согласно формуле Вигерта. При этом большая часть указанных чисел имеет (нормальный) тип Т н

2^ lnlnN = ( lnN )^ ln 2 = ( lnN )^0,693… ≈ 1,786*10^41 – это, иначе говоря, количество целых делителей у большей части натуральных чисел на отрезке от N = 2,718… до N ≈ 10^(10^59).

Значит, мы вправе записать такое отношение: Т н /Т min ≈ 8,931*10^40 , которое (с точки зрения виртуальной космологии) можно трактовать как некое (скажем, нормальное) большое число Дирака – отношение нормального типа ( T н ) к минимальному типу ( T min ) в современную нам эпоху (при t ≈ 137), то есть при N ≈ 10^(10^59). Найденное нами (довольно долгим путем) отношение Т н /Т min , с моей точки зрения, имеет очень важное значение, поскольку понятие «нормальный» тип (Т н ) раскрывает «вероятностную» («случайную») природу мира чисел, что совпадает с реальной картиной Мироздания, ведь в реальном мире правит Его Величество Случай. По крайней мере, физикам-теоретикам кажется именно так. Однако на самом деле в мире чисел… нет места ни малейшей случайности (поэтому выше я и ставил кавычки). Ведь появление каждого целого делителя ( d ) у каждого натурального числа ( N ) – это абсолютно… детерминированный процесс, суть которого это – бесконечное «расширение» мира чисел:

d = 2 появляется у числа N = 2, а дальше появляется – у каждого 2-го числа;

d = 3 появляется у числа N = 3, а дальше появляется – у каждого 3-го числа;

d = 4 появляется у числа N = 4, а дальше появляется – у каждого 4-го числа;

d = 5 появляется у числа N = 5, а дальше появляется – у каждого 5-го числа;

и так далее до бесконечности. Другое дело, что ни самому гениальному человеку, ни даже (гипотетическому) квантовому компьютеру не дано точно проследить за работой этого алгоритма (детерминированного «расширения») вплоть до числа N ≈ 10^(10^59). В результате хитроумный человек придумал теорию чисел, в формулах которой вместо знаков точного равенства (=) часто стоят таинственные тильды (

Оказывается, что в мире чисел можно обнаружить множество больших чисел Дирака (БЧД). Приведу пример предельно короткого поиска БЧД. На отрезке [е; N ] среднее расстояние ( L ) между простыми числами – это отношение длины отрезка ( N ) к количеству всех простых чисел (К) на данном отрезке: L ≈ N /К. Из важнейшей формулы теории чисел (К

lnN . В нашем случае N ≈ 10^(10^59), поэтому мы получим L

3,2657*10^59. А минимальное расстояние между простыми числами – это L min = 2 (у простых чисел-близнецов). Значит, мы вправе записать отношение L / L min ≈ 1,6*10^59 , которое также можно трактовать как большое число Дирака, порожденное миром чисел в рамках нашей модели.

Упомяну ещё один путь получения целого ряда больших чисел Дирака в мире чисел. Согласно моим оценкам (см. книгу «Зеркало» Вселенной», гл.10) некоторые натуральные числа (я назвал их «мощные») вида N = exp ( exp ( t )) могут содержать порядка lnN = exp ( t ) линейных целых делителей ( d ), которые в точности (без пропусков) копируют начало натурального ряда: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, lnN (в нашем случае lnN ≈ 3,2657*10^59). Можно сказать, что эти делители образуют так называемый Большой отрезок (на числовой оси), который я всесторонне исследовал в рамках виртуальной космологии (в её ранней версии). При этом я также находил некие аналоги больших чисел Дирака – см. мою статью«Большие числа Дирака» ( http://technic.itizdat.ru/docs/iav2357/FIL13392960230N563568001/1 ).

Итак, рассматривая мир чисел под всевозможными углами зрения, мы будем обнаруживать бесконечно много аналогов больших чисел Дирака, которые можно трактовать как некие «отражения» реальных отношений физических величин во Вселенной. Вопрос только в том, как правильно «расшифровать» мир чисел. Однако не вызывает сомнений главная «подсказка» мира чисел: все мыслимые большие числа Дирака тесно связаны между собой «внутренним устройством» единой Вселенной (наподобие единого мира чисел, который, как и Вселенная, также «расширяется»). И нет в математике иного объекта (кроме мира чисел), который бы «выдавал» аналоги больших чисел Дирака в бесконечных (!) количествах и столь «близкие» по смыслу к физике, описывающей (с помощью математики) реальную Вселенную.