Эвольвента ее уравнения и свойства

Эвольвента ее уравнения и свойства

Два твердых тела (звена), соприкасающиеся своими поверхностями и имеющие возможность двигаться относительно друг друга, образуют кинематическую пару. Кинематическая пара допускает не любое движение звеньев относительно друг друга, а только такое движение, которое согласуется с характером соприкосновения и с формой соприкасающихся поверхностей.

Если звенья, образующие КП, в силу характера их соприкосновения, могут совершать только простейшие движения относительно друг друга ( вращательное, прямолинейное поступательное или, в общем случае, винтовое ), то пара является низшей . Низшая пара — пара, в которой требуемое относительное движение звеньев обеспечивается соприкасанием ее элементов по поверхности ( фактическое соприкасание звеньев в низшей паре возможно как по поверхности, так и по линиям и точкам ). В таких парах движение одного звена относительно другого представляет собой чистое скольжение, причем может иметь место поверхностный контакт — соприкасание звеньев по плоскости, цилиндрической или винтовой поверхности. Такая поверхность контакта может двигаться, «как бы оставаясь в самой себе».

Более сложные относительные движения можно реализовать в парах, характер соприкасания звеньев в которых допускает не только относительное скольжение, но и перекатывание. Такие пары называются высшими. Высшая пара — пара, в которой требуемое относительное движение звеньев может быть получено только соприкасанием звеньев по линиям или в точках. В высшей паре поверхностный контакт невозможен, так как он исключает возможность перекатывания тел. Если контакт в высшей КП происходит по линии, то она называется мгновенной контактной линией. Эта линия может быть прямой или кривой, при движении соприкасающихся тел она не только меняет свое положение по отношению к звеньям и к неподвижному пространству, но может менять и свою форму. Двигаясь относительно каждого из соприкасающихся звеньев, эта линия как бы «покрывает», описывает или формирует его поверхность. То есть поверхность каждого из звеньев пары можно рассматривать как геометрическое место мгновенных контактных линий в системе координат, связанной со звеном. В неподвижном пространстве эти линии описывают поверхность зацепления — геометрическое место мгновенных контактных линий в неподвижной системе координат. Очевидно, что мгновенная контактная линия — линия пересечения поверхности зацепления с любой из двух соприкасающихся поверхностей. При точечном контакте, контактная точка в системах координат связанных со звеньями описывает некоторую контактную линию на контактирующей поверхности, в неподвижной системе координат — линию зацепления.

Как следует из вышеизложенного, характер относительного движения звеньев КП и геометрия их контактирующих поверхностей находятся в тесной взаимосвязи. Изучение геометрии контактирующих поверхностей в связи с их относительным движением составляет предмет раздела прикладной механики, который называется теорией зацепления [ 1, 2 ].

Механизмы с высшими кинематическими парами и их классификация.

К механизмам с высшими КП относятся любые механизмы в состав которых входит хотя бы одна высшая пара. Простейший типовой механизм с высшей парой состоит из двух подвижных звеньев, образующих между собой высшую кинематическую пару, а со стойкой низшие ( вращательные или поступательные ) пары. К простейшим механизмам с высшей парой относятся :

• фрикционные передачи (рис. 11.3),
• зубчатые передачи (рис. 11.2),
• кулачковые механизмы (рис. 11.1),
• поводковые механизмы (в том числе и мальтийские — рис. 11.4).

Структурные схемы простейших механизмов с высшими КП..

Фрикционными механизмами или передачами сцепления называются механизмы с высшей парой в которых передача движения в высшей паре осуществляется за счет сил сцепления или трения в зоне контакта. Кулачковым механизмом называется механизм с высшей парой, ведущее звено которого выполнено в форме замкнутой криволинейной поверхности и называется кулачком (или кулаком). Зубчатыми механизмами называются механизмы звенья которых снабжены зубьями (зубчатый механизм можно определить как многократный кулачковый, рассматривая зацепление каждой пары зубьев, как зацепление двух кулачков) . Рабочие поверхности зубьев должны быть выполнены так, чтобы обеспечивать передачу и преобразование движения по заданному закону за счет их зацепления . Условия, которым должны удовлетворять рабочие поверхности высших пар, формулируются в разделе теории механизмов — теории зацепления или теории высшей пары.

Основы теории высшей кинематической пары.

Основная теорема зацепления.

Понятие о полюсе и центроидах. Рассмотрим два твердых тела i и j , которые совершают друг по отношению к другу плоское движение. Свяжем с телом i систему координат 0 i x i y i , а с телом j систему координат 0 j x j y j . Плоское движение тела i относительно тела j в рассматриваемый момент эквивалентно вращению вокруг мгновенного центра скоростей или полюса P . Тогда геометрическое место полюсов относительного вращения в системе координат 0 i x i y i называется подвижной Ц i , а в системе координат 0 j x j y j неподвижной Ц j центроидой. В процессе рассматриваемого движения цетроиды контактируют друг с другом в полюсах относительного вращения и поэтому перекатываются друг по другу без скольжения, т.е.

V Pi = V Pj ; V PiPj = 0 ;

тогда дуга S wi равна дуге S wj .

Полюс зацепления — мгновенный центр относительного вращения звеньев, образующих кинематическую пару.

Центроида (полоида) — геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат, связанных со звеньями.

Передаточное отношение для тел совершающих вращательное движение.

Рассмотрим два тела 1 и 2 , совершающих вращательное движение соответственно вокруг центров 0 1 и 0 2 с угловыми скоростями w 1 и w 2 (рис. 11.6). Причем нам неизвестно связаны эти тела между собой или нет. Как отмечено выше, полюс относительного вращения этих тел будет лежать в такой общей точке этих тел , где вектора скоростей как первого, так и второго тела будут равны. Для скоростей любой точки первого тела V A = w 1 Ч l A01 , для любой точки второго — V В = w 2 Ч l В 02 . Равенство векторов скоростей по направлению для тел, совершающих вращательное движение, возможно только на линии соединяющей центры вращения тел. Поэтому полюс относительного вращения должен лежать на этой линии . Для определения положения полюса на линии центров составим следующее уравнение

Таким образом, полюс относительного вращения звеньев лежит на линии центров и делит ее на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям.

Теорема Виллиса. Передаточное отношение между звеньями совершающими вращательное движение прямопропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению расстояний от центров вращения до полюса.

Знак перед отношением показывает внешним (знак +, зацепление внутреннее) или внутренним (знак — , зацепление внешнее) образом делит полюс линию центров на отрезки r w1 = l 01P и r w2 = l 02P . Данная формула получена из рассмотрения вращательного движения двух тел, при этом тела могут быть и не связаны между собой.

Воспользуемся методом обращенного движения и рассмотрим движение нашей системы относительно звена 1. Для этого к скоростям всех звеньев механизма добавим — w 1 . Тогда скорости звеньев изменятся следующим образом:

Скорость любой точки звена 2 в относительном движении будет равно его угловой скорости в этом движении умноженной на расстояние от этой точки до полюса относительного вращения, т. е.

Перейдем к рассмотрению двух тел 1 и 2 , совершающих вращательное движение, соответственно вокруг центров 0 1 и 0 2 с угловыми скоростями w 1 и w 2 , и образующих между собой высшую кинематическую пару К (рис. 11.7).

Условием существования высшей кинематической пары является условие неразрывности контакта звеньев, которое заключается в том, что проекции скоростей звеньев в точке контакта на контактную нормаль к профилям должны быть равны

т.е. скалярное произведение вектора относительной скорости в точке контакта на орт нормали равно нулю. Это условие обеспечивается, если скорость относительного движения контактных точек лежит на касательной ( в пространстве в касательной плоскости ). При выполнении этого условия профили не отстают друг от друга ( нарушение контакта приведет к исчезновению пары ), и не внедряются друг в друга

( что при принятом допущении о абсолютно жестких звеньях, невозможно ).

Как было показано выше скорость относительного скольжения в точке контакта равна

где l KP — расстояние от контактной точки до полюса относительного вращения. Так как V K2K1 перпендикулярна l KP >, а V K2K1 должна лежать на касательной, то l KP является нормалью к профилям в точке контакта. То есть контактная нормаль к профилям в высшей паре пересекает линию центров в полюсе относительного вращения.

Основная теорема зацепления.

Формулировка анализа. Контактная нормаль к профилям высшей пары пересекает линию центров в полюсе относительного вращения звеньев ( то что полюс делит линию центров на отрезки обратно пропроциональные угловым скоростям было доказано выше ).

Формулировка синтеза. Профили в высшей кинематической паре должны быть выполнены так, чтобы контактная нормаль к ним проходила через полюс относительного вращения звеньев.

Так как положение полюса на линии центров определяет передаточное отношение механизма, то профили удовлетворяющие основной теореме зацепления обеспечивают заданный закон изменения передаточного отношения или являются сопряженными.

Скорость скольжения в высшей КП или перовое следствие основной теоремы зацепления.

Скорость скольжения профилей в высшей КП равна произведению скорости относительного вращения на расстояние от контактной точки до полюса зацепления.

где верхний знак относится к внешнему зацеплению, нижний — к внутреннему. Зацепление считается внешним, если полюс делит линию центров внутренним образом и направления угловых скоростей звеньев противоположны, и внутренним, если полюс делит линию центров внешним образом (Рис. 17.8) и направления угловых скоростей одинаковы.

Из формулы видно, что скорость скольжения во внутреннем зацеплении много меньше, чем во внешнем.

Определение центра вращения ведущего звена или второе следствие основной теоремы зацепления.

Из схемы, изображенной на рис. 11.7, видно, что

т.е. отрезок l KD , отсекаемый от луча, проведенного из точки О 2 через точку K, прямой параллельной контактной нормали, равен передаточной функции точки K 2 .

Второе следствие основной теоремы зацепления.

Формулировка синтеза. Если на продолжении луча, проведенного из точки О 2 через точку K, отложить от точки K отрезок длиной l KD = V K2 / w 1 = V qK2 и через конец этого отрезка провести прямую параллельную контактной нормали, то эта прямая пройдет через центр вращения ведущего звена точку О 1 .

С использованием этого свойства механизма с высшей парой при проектировании кулачковых механизмов определяют радиус начальной шайбы по допустимому углу давления.

Формулировка анализа. Луч проведенный через центр вращения ведущего звена точку О 2 параллельно контактной нормали, отсекает на луче проведенном из точки О 2 через точку K отрезок l KD = V K2 / w 1 = V qK2 , равный передаточной функции точки K 2 .

Угол давления в высшей паре ( на примере плоского кулачкового механизма ).

Рассмотрим плоский кулачковый механизм с поступательно движущимся роликовым толкателем ( Рис. 11.9). Из D BPF

Подставляя эти выражения в формулу для тангенса угла давления, получим

где знак — соответствует смещению оси толкателя (эксцентриситету) вправо от центра вращения кулачка.

Формула Эйлера — Савари.

При синтезе плоских зацеплений широко применяется формула Эйлера-Савари, которая устанавливает связь между радиусами кривизны центроид и радиусами кривизны профилей высшей пары. Эта формула записывается так

где r w1 и r w2 — радиусы кривизны центроид первого и второго звена в полюсе зацепления, r 1 и r 2 — радиусы кривизны профилей в контактной точке, l KP — расстояние от полюса зацепления до контактной точки, j — угол между контактными нормалями к профилям и центроидам.

Теорема Оливье является основополагающей теоремой как для плоских, так и для пространственных зацеплений. Она устанавливает основные признаки определяющие свойства зацепляющихся поверхностей, вид их контакта друг с другом.

Теорема Оливье. Пусть F 1 , F 2 и B некоторые поверхности с определенным абсолютным движением. И пусть F 1 и F 2 огибающие к B в их относительном движении, где — мгновенные контактные линии. Если K 1 -K 1 и K 2 -K 2 имеют общие точки, то поверхности F 1 и F 2 :

• находятся в точечном контакте, если K 1 -K 1 и K 2 -K 2 пересекаются в некоторой точке K;
• находятся в линейном контакте, если K 1 -K 1 и K 2 -K 2 сливаюся в одну линию, образуя K -K.

Теорема Оливье имеет три важных следствия:

Следствие 1. Если оба зубчатых колеса обработаны друг другом, т.е. первое колесо обработано инструментом режущие кромки которого копируют второе колесо, а второое — инструментом режущие кромки которого копируют первое, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.

Следствие 2. Если оба колеса обработаны инструментами, образующими между собой конгруентную пару, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.

Следствие 3. Если поверхность зацепления И 1 инструмента 1 с колесом 1 и поверхность зацепления И 2 инструмента 2 с колесом 2 совпадает с поверхностью зацепления колес 1 и 2, то зубья колес обработанных при таком условии будут иметь линейный контакт.

Зубчатые передачи и их классификация.

Зубчатыми передачами называются механизмы с высшими кинематическими парами в состав которых входят зубчатые колеса, рейки или секторы — звенья, снабженные профилироваными выступами или зубьями. Зубчатые передачи бывают простые и сложные. Простая зубчатая передача — трехзвенные механизм, состоящий из двух зубчатых колес и стойки, в котором зубчатые колеса образуют между собой высшую пару, со стойкой — низшие ( поступательные или вращательные ).

Простые зубчатые передачи классифицируются:

• по виду передаточной функции (отношения)
  • с постоянным передаточным отношением;
  • с переменным передаточным отношением;

• по расположению осей в пространстве
  • с параллельными осями;
  • с пересекающимися осями;
  • с перекрещивающимися осями;

• по форме профиля зуба
  • эвольвентным профилем;
  • с циклоидальным профилем;
  • с круговым профилем (передачи Новикова);

• по форме линии зуба
  • с прямым зубом;
  • косозубые;
  • шевронные;
  • с круговым зубом;

• по форме начальных поверхностей
  • цилиндрические;
  • коническое;
  • гиперболоидные;

• по форме и виду зубчатых колес
  • червячные;
  • с некруглыми колесами;
  • винтовые.

Эвольвентная зубчатая передача.

Эвольвентная зубчатая передача — цилиндрическая зубчатая передача, профили зубьев которой выполнены по эвольвенте окружности.

Эвольвента окружности и ее свойства.

Эволютой называется геометрическое место центров кривизны данной кривой. Данная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой. Согласно определению нормаль к эвольвенте ( на которой лежит центр кривизны ) является касательной к эволюте. Эвольвенты окружности описываются точками производящей прямой при ее перекатывании по окружности, которую называют основной.

Свойства эвольвенты окружности:

Форма эвольвенты окружности определяется только радиусом основной окружности r b . При эвольвента переходит в прямую линию.

Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в рассматриваемой произвольной точке M y . Отрезок нормали в произвольной точке эвольвенты l MyN = r равен радиусу ее кривизны и является касательной к основной окружности.

Эвольвента имеет две ветви и точку возврата М 0 , лежащую на основной окружности. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.

Точки связанные с производящей прямой но не лежащие на ней при перекатывании описывают: точки расположенные выше производящей прямой W — укороченные эвольвенты, точки, расположенные ниже производящей прямой L — удлиненные эвольвенты.

Параметрические уравнения эвольвенты получим из схемы, изображенной на рис. 11.11 . Так как производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения то дуга М 0 N равна отрезку NM y . Для дуги окружности

из треугольника D OM y N

получим параметрические уравнения эвольвенты.

Эвольвентное зацепление и его свойства.

В зубчатой передаче контактирующие элементы двух профилей выполняются по эвольвентам окружности и образуют, так называемое эвольвентное зацепление. Это зацепление обладает рядом полезных свойств, которые и определяют широкое распространение эвольвентных зубчатых передач в современном машиностроении. Рассмотрим эти свойства.

Свойство 1. Передаточное отношение эвольвентного зацепления определяется только отношением радиусов основных окружностей и является величиной постоянной.

Свойство 2. При изменении межосевого расстояния в эвольвентном зацеплении его передаточное отношение не изменяется.

Свойство 3. При изменении межосевого расстояния в эаольвентном зацеплении величина произведения межосевого расстояния на косинус угла зацепления не изменяется.

Свойство 4. За пределами отрезка линии зацепления N 1 N 2 рассматриваемые ветви эвольвент не имеют общей нормали, т. е. профили выполненные по этим кривым будут не касаться, а пересекаться. Это явление называется интерференцией эвольвент или заклиниванием.

1. Что называется высшей кинематической парой ? (стр.1)

2. Какие механизмы с высшими парами вы можете назвать ? (стр.2)

3. Как записывается условие существования высшей кинематической пары ? (стр.5)

4. Дайте определение основной теоремы плоского зацепления (стр.6)

5. Что называют линией зацепления (стр.6)

6. По какой формуле можно определить скорость скольжения во внешнем зацеплении? (стр.6)

7. Что называется эвольвентной зубчатой передачей? (стр.10)

8. Сформулируйте основные свойства и запишите параметрические уравнения описывающие ее (стр.11)

9. Изменяется ли передаточное отношение в эвольвентном зацеплении при изменении aw ? ( стр.13)

Эвольвента ее уравнения и свойства

Сопряженные поверхности – поверхности, которые постоянно или с определенной периодичностью входят в зацепление друг с другом.

По отношению к начальным окружностям сопряженные поверхности могут занимать различные положения. Правильным положением является то, которое удовлетворяет основной теореме зацепления, теореме о мгновенном передаточном отношении, которое формулируется следующим образом:

Общая нормаль, проведенная в точке контакта сопряженных поверхностей, проходит через линию центров О₁О₂ и делит эту линию на части, обратно пропорциональные отношению угловых скоростей.

«-» если зацепление внешнее;

«+» если зацепление внутреннее;

Сопряженные профили должны удовлетворять следующим требованиям:

1. быть простыми в изготовлении (технологичными);

2. иметь высокий КПД.

Таким требованиям удовлетворят эвольвентные профили.

4.3 Эвольвента и ее свойства.

Эвольвента образуется путем перекатывания производящей прямой K_yN_y без скольжения по основной окружности радиуса r_b .

Радиус произвольной окружности – r_y . ON_y || t t

Из треугольника ON_yK_y следует, что

Т.к. K_yN_y перекатывается без скольжения по основной окружности, то

Уравнения (1) И (2) являются уравнениями эвольвенты в параметрической форме.

a _у – угол профиля эвольвенты для точки К_у , лежащей на произвольной окружности.

a – угол профиля эвольвенты для точки К , лежащей на делительной окружности радиуса r .

Угол профиля эвольвенты для точки К_b , лежащей на основной окружности, равен нулю: a _b =0 .

1. Форма эвольвенты зависит от радиуса основной окружности. При стремлении r_b ,эвольвента превращается в прямую линию (пример рейка).

2. Производящая прямая K_yN_y является нормалью к эвольвенте в данной тоске.

3. Эвольвента начинается от основной окружности. Внутри основной окружности точек эвольвенты нет.

4.4 Элементы эвольвентного зубчатого колеса (рис.8-86).

Делительной окружностью называется окружность стандартных шага р , модуля m и угла профиля a .

Шаг – расстояние между одноименными точками двух соседних профилей зубьев, измеренные по дуге соответствующей окружности.

Модулем называется часть диаметра делительной окружности, приходящаяся на один зуб.

Модуль m, [мм] – стандартная величина и определяется по справочникам, исходя из трех рядов:

1 ряд – наиболее предпочтительный;

2 ряд – средней предпочтительности;

3 ряд – наименее предпочтительный.

Модуль является масштабным фактором высоты зуба. Чем больше модуль, тем выше высота зуба, тем больше плечо силы P, вызывающей изгибные напряжения у основания зуба.

Угол профиля – угол между касательной к эвольвенте в данной точке и радиус-вектором этой точки (см. чертеж эвольвенты).

Угол профиля для точки, лежащей на делительной окружности, является величиной стандартной и равной 20 о (хотя лучше 25 о ).

1. Основные расчетные зависимости для определения параметров эвольвентного зубчатого колеса.

1. Число зубьев z; 2. Модуль m; 3. Ширина венца b; 4.Высота зуба h; 5. Диаметры зубчатого колеса: делительный d=mz; вершин зубьев d_a; впадин d_f ; сновной d_b; произвольный d_y; 6. Окружной шаг: делительный p=πm; по произвольной окружности P_y; Окружная толщина зуба S, S_a; окружная толщина впадины e; 7. Угловой шаг τ=360˚/z; угловая толщина зуба 2 ψ; 8. Угол профиля зуба на делительной окружности α ; 9. Эвольветные углы: inv α_y ; inv α_a;10. Радиус кривизны перехода профиля ρ_f.

Рис.8-86. Элементы и основные параметры эвольвентного прямозубого колеса.

Из (1) следует, что радиус делительной окружности

; (3)

модуль по ГОСТу определяется

(5)

à

(6)

по основной окружности

a _y = 0 à p_b = p cos 20 o (7)

2. Виды зубчатых колес.

где Δ – коэффициент изменения толщины зуба .

В зависимости от знака коэффициента Δ различают виды зубчатых колес:

1. Δ = 0 s = e = p/2 нулевое зубчатое колесо;

2. Δ > 0 s > e положительное зубчатое колесо;

3. Δ отрицательное зубчатое колесо.

4. Эвольвентная зубчатая передача и ее свойства (рис. 11-86).

ym — воспринимаемое смещение; C — радиальный зазор;

Р — полюс зацепления; r_w1, r_w2— радиусы начальных окружностей;

φ_α1 — угол торцевого перекрытия зубчатого колеса.

Рис.11-86. Элементы и основные параметры эвольвентной зубчатой передачи

Эвольвентную зубчатую передачу составляют, как минимум, из 2-х зубчатых колес, при этом в рассмотрение вводится две начальные окружности радиусами r_w1 и r_w2 .

Меньшее зубчатое колесо в обычной понижающей зубчатой передаче называется шестерня .

Вместо производящей прямой здесь вводится в рассмотрение линия зацепления N₁N₂ , которая одновременно касается 2-х основных окружностей r_b1 и r_b2 .

Линия зацепления является геометрическим местом точек контакта сопряженных эвольвентных профилей. В точке В₁ пара эвольвент, которые в данный момент времени контактируют в точке К , вошли в зацепление. В точке В₂ эта же пара эвольвент из зацепления выходят.

На линии зацепления N₁N₂ все взаимодействующие эвольвенты при зацеплении касаются друг друга. Вне участка N₁N₂ эвольвенты пересекаются, и если такое случится, то произойдет заклинивание зубчатого колеса (9-86).

Рис.9-86. Интерференция эвольвет при внешнем зацеплении

а) интерференция эвольвет

Для передачи, составленной из нулевых зубчатых колес a _w =20 o

Для передачи, составленной из положительных з. к. a _w >20 o

Для передачи, составленной из отрицательных з. к. a _w o

c=c * . m — радиальный зазор , величина стандартная, необходим для нормального обеспечения смазки.

c * — коэффициент радиального зазора , по ГОСТ c * =0.25 (c * =0.35).

Расстояние между делительными окружностями у . m – это воспринимаемое смещение.

у – коэффициент воспринимаемого смещения , он имеет знак, и в зависимости от знака различают:

1. у=0 у . m=0 – нулевая зубчатая передача;

2. у>0 у . m>0 – положительная зубчатая передача;

3. у . m – отрицательная зубчатая передача;

Свойства эвольвентного зацепления .

1. Эвольвентное зацепление молочувствительно к погрешностям изготовления, т.е. при отклонении межосевого расстояния от номинала передаточное отношение зубчатой передачи не изменится.

2. Линия зацепления N₁N₂ является общей нормалью к сопряженным эвольвентным профилям.

3. Контакт эвольвент осуществляется только на линии зацепления.

Эвольвента окружности, её свойства и уравнение

Эвольвента – это траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по окружности.

Образование эвольвенты можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.

Свойства эвольвенты

1) Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2) Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, т. е. геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, ρ_А = AC. В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен нулю, ρ_A0 = 0.

4) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью, ρ_A = C₀C.

5) Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6) Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

Уравнение эвольвенты

Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 3.3. Положение произвольной точки A_y эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиус-вектора OA₀ (или OC₀): длиной радиус-вектора R_y и углом θ_y. Радиус-вектор R_y определим из прямоугольного треугольника OA_yC_y:

Для определения полярного угла θ_y сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу α_y катет A_yC_y в ∆OA_yC_y:

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно θ_y, получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 3.3 угол α_y называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, т. е. inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент α_y изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.

Элементы зубчатого колеса

Здесь рассматриваются те элементы колеса, которые относятся к его ободу, где располагаются зубья (рис. 3.4).

Шаг колеса p – это расстояние по делительной окружности между одноимёнными профилями двух соседних зубьев, p = π·m. Шаг включает два параметра – толщину зуба s и ширину впадины e. Если s = e, то имеем колесо с равноделённым шагом, в противном случае имеем колесо с неравноделённым шагом.

Делительная окружность (её радиус , в зацеплении двух колёс имеет индекс номера колеса):

– делит зуб на головку и ножку;

– модуль m на этой окружности имеет стандартное значение;

– радиус окружности имеет величину r = 0,5m ;

– в точке на делительной окружности профильный угол эвольвенты α_y = 20º и обозначается буквой α без индекса.

Основная окружность является базовой для образования эвольвенты (от неё начинается эвольвентная часть зуба). Радиус этой окружности получается из рассмотрения прямоугольного треугольника с углом при вершине O, равным α, и одним из катетов, равным _b, и гипотенузой, равной : _b = ·cos α.

Окружность вершин является габаритной окружностью колеса, её радиус определяется формулой

,

где – высота головки зуба, причём . Множитель перед модулем называется коэффициентом высоты головки зуба и равен по величине 1, т. е. .

Диаметр окружности вершин является диаметром заготовки для изготовления зубчатого колеса.

Окружность впадин ограничивает зуб у основания, её радиус равен

,

где – высота ножки зуба, определяемая равенством , второе слагаемое в скобках называется коэффициентом радиального зазора и имеет величину .

Контур зуба от основной окружности до окружности вершин очерчен эвольвентой, которая сопрягается с окружностью впадин переходной кривой (эквидистантой удлинённой эвольвенты).