Физическая величина с описывается уравнением

Применение размерности для проверки правильности решения физических задач

Разделы: Физика

Цели:

• шире использовать полученные теоретические знания по физике;
• вооружить учащихся большим набором способов решения задач.

1. Понятие размерности

Для начала упорядочим некоторые понятия, с которыми мы имели дело раньше и с теми, которые встретятся нам в будущем. К таким физическим понятиям относятся: наименование, название физической величины, в выбранной системе единиц, размерность, обозначение и определяющее уравнение.
Разберём это на некоторых примерах взятых из раздела «Механика» и знакомых нам. Для краткости сведём всё это в таблицу.

Наименование

S

S = a 3

кв. метр

L 2

V

V = а 3

куб. метр

L 3

V

V = S/t

м/с; м с –1

метр в сек.

L T –1

а

а =

м/с 2 ; м с –2

метр в секунду
за секунду

L T –2

кг/м 3 ; кг м –3

кг на куб. метр

M L –3

Это простые и часто встречающиеся понятия, причём название физической величины вытекает из определяющего её уравнения. Но ряд физических величин имеют «клички». Название величины не следует прямо, как прежде, из определяющего уравнения.

Наименование величины – сила. Название единицы измерения – Ньютон. Вспомним материал 7-го класса. Что такое Ньютон? Это такая сила, которая за 1 секунду изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 метр в секунду. Примером одной из сил является вес тела. Мы знаем, что вес тела равен Р = mg, где m – масса тела , а g – ускорение свободного падения.
Из физики 8-го класса мы знаем, что ускорение измеряется в м/с 2 . Значит, если речь идёт о весе тела Р, то он равен произведению массы тела на ускорение. Отсюда можно сделать вывод, что и любая другая сила F равна произведению массы тела на полученное в результате действия силы ускорение, т.е. F = ma.

Обратим внимание на то, что, если масса тела равна 1 кг и полученное ускорение равно 1 м/с 2 , то и сила будет равна единице силы, то есть 1-му Ньютону. Тогда размерность Ньютона будет
[ F ] = кг = кг м /с 2 = M L T –2 . Заметим, что определяющим уравнением будет уравнение F = ma. Обратите внимание, что название единицы силы не кг м/с 2 , а Ньютон – «кличка». Просто громоздкое наименование единицы заменили на «Ньютон» в честь знаменитого английского учёного Ньютона. Таких имён «кличек» которые носят единицы измерения физических величин много. В механике это Джоуль, Герц, Ватт.
Каждой такой единице присуща ей размерность, которая показывает, из каких основных единиц системы СИ «приготовлена», «сделана» такая единица, в какой степени входят в состав этой величины основные единицы и где они находятся в числителе или в знаменателе.
Что такое определяющее уравнение? Это уравнение, которое следует из определения физической величины.

1. Скорость – это физическая величина равная отношению пути, пройденного телом, ко времени за которое этот путь пройден. Отсюда следует определяющее уравнение V = S/t.
2. Работа – это физическая величина равная произведению силы, приложенной к телу на путь, который прошло тело под действием этой силы. Отсюда следует определяющее уравнение: A = F S.
До введения интернациональной системы единиц (СИ), существовал несколько систем единиц.
Так в одной из них основными единицами были: единица массы – грамм; единица длины – сантиметр; единица времени – секунда. Эта система единиц называлась СГС.
Были и другие системы единиц. Но масса есть масса в любой системе. Будь она в кг, или в г, или в мг. Поэтому, независимо от выбранной системы единиц, принято размерность выражать в символах. Масса – М. Длина – L. Время – Т.

В таблице выше соответствующая колонка называется просто размерность.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить размерность Джоуля. Определяющее уравнение A = F S
2. Определить размерность Ватта. Определяющее уравнение N = A / t
3. Определить размерность Герца. Определяющее уравнение = 1 / Т
4. Определить размерность Паскаля. Определяющее уравнение р = F/S
5. Определить размерность момента силы. Определяющее уравнение М = F L.

2. Проверка правильности решения задач по размерности

«Видкиль воно взялось и на щоб воно сдалось» Украинская пословица.

Откуда взялась размерность мы рассмотрели. Рассмотрим где, и как она может быть применена и её особенности.
Рассмотрим решение нескольких задач:
1. Определить расстояние между Землёй и Солнцем, если луч света, двигаясь со скоростью 3 х 108 м/с, проходит это расстояние примерно за 8,5 минут?
2. Какое расстояние по прямой может пройти ракета за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением 20 м/с 2 ?
3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, пошел на обгон и в течение 10 секунд двигался с ускорением 2 м/с 2 . Какой путь прошел автомобиль за это время?
4. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, перед поворотом в течение 10 секунд двигался равнозамедленно с ускорением – 2 м/с 2 . Какой путь прошел автомобиль за это время?

Проанализируем решение этих задач.

1. Что общего было в этих задачах? (Определялся путь S)
2. В чём различие в этих задачах? (В каждой задаче описывается различное движение, а значит, применяются различные уравнения для определения пути)

То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины. В № 1 через V и t. В № 2 через а и t. В № 3 и № 4 через V_о, a, t.
Эти величины имеют различные размерности, а в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность – метр.
Произведём, не используя модулей этих величин, предлагаемые действия только с размерностями.

1. S = V t = 2. S = . 3.4. S = V0t ± = ± =L±L= L

Отсюда следует закономерность: В правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
Эту закономерность можно применить для проверки правильности решения задач.
Допустим, задачу №3 решили с ошибкой (она очень часто встречается), записав
уравнение так S = V_о + at 2 /2 , тогда S = 15 + 2 х 10 2 /2 = 65 (м). Так как правильный ответ неизвестен, то неясно, как проверить правильность решения, и найти причину ошибки.
То ли ошибка в вычислениях, то ли в преобразованиях, то ли в неправильном написании правильно выбранного уравнения?
Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки.
Как это сделать? Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения. (использовать, указанную выше, закономерность )

Отсюда следует, L =/= 1 + Т. Задача решена неверно. Где ошибка? В правой части уравнение представляет двучлен. Одна его часть имеет размерность L, а другая L/T. Как из этого выражения L/T получить L? Нужно умножить его на Т. Тогда получим размерность первого члена L. Первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L, то есть L + L = L. Левая и правая части будут иметь одинаковую размерность. Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V_о, а V_о t.
Теперь, предположим, решающий допустил другую ошибку. В уравнении S = V_оt +at 2 /2 вместо знака «+» поставил знак «–». Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку? Решение задачи № 4 говорит о том, что задача решена правильно. L = L – L = L, но модуль величины другой.
Отсюда следует второй вывод: метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
Решим несколько задач по кинематике и сделаем проверку их правильности решения, применив метод размерности.

Задача № 1.

За время равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

Сделаем проверку решения методом размерности.
Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача №2.

Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?

Задача № 3. Тело, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд движения прошло путь 100 м , а за 10 сек. – 300 м. Определить начальную скорость движения тела.

Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку? Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу.
L T–1 = Следовательно, задача решена верно.
Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи.

V0 = (м/с)

Задача №4. Во сколько раз скорость пули при вылете её из ствола винтовки больше скорости этой пули при прохождении ею 1/3 ствола?

Практическая работа № 1 Физические величины. Применение теории размерностей

Практическая работа № 1

Физические величины. Применение теории размерностей

Цель работы: научить студентов пользоваться международной системой физических единиц и приобрести практические навыки применения теории размерностей.

Характер выполнения работы: каждый студент выполняет работу индивидуально.

Общепринятые или установленные законодательным путём характеристики (меры) различных свойств, общих в качественном отношении для многих физических объектов (физических систем, их состояний и происходящих в них процессов), но в количественном отношении индивидуальных для каждого из них, называются физическими величинами.

Таким образом, под термином «физическая величина» понимают свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Количественным выражением этого свойства в объекте является размер физической величины, а числовой оценкой её размера – значение физической величины. Физическая величина, которой по определению присвоено числовое значение, равное единице, называют единицей физической величины.

В любой системе единиц существует лишь одна основная единица данной физической величины.

Международная система единиц (СИ) была принята в 1960г. на XI генеральной конференции по мерам и весам. В нашей стране данная система введена в действие с 1 января 1982г., в соответствии с ГОСТ 8.417 – 81 «ГСИ. Единицы физических величин».

В настоящее время она характеризуется как когерентная система единиц, состоящая из семи основных, двух дополнительных и ряда производных единиц, число которых не ограничено.

Основные и дополнительные единицы СИ приведены в табл. 1.

Производные единицы Международной системы единиц образуются из основных и дополнительных единиц СИ на основании законов, устанавливающих связь между физическими величинами, или уравнений по которым определяют физическую величину.

Единицы могут быть дольными и кратными от единиц СИ.

Кратной единицей называют единицу, которая в целое число раз больше системной или внесистемной единицы.

Дольной единицей называют единицу, которая в целое число раз меньше системной или внесистемной единицы.

Единицы физических величин СИ

Основные

Сила электрического тока

радиан

Все приставки пишутся слитно с наименованием основной единицы, к которой они присоединяются (килограмм, миллиметр). Присоединение двух и более приставок не допускается.

Для образования наименьших кратных и дольных единиц физических величин используют приставки изложенные в табл. 2.

Качественной характеристикой измеряемых величин является их размерность. Она отражает её связь с основными величинами и зависит от выбора последних.

Размерность обозначается символом dim, происходящим от слова dimension, которое в зависимости от контекста может переводится как размер, и как размерность.

Размерность основных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами. Для длины, массы, времени, например dim l = L; dim m = M; dim t = T.

Множители и приставки для образования десятичных

кратных и дольных единиц и их наименований

Множитель

от какого слова

из какого языка

шесть раз по 103

пять раз по 103

При определении размерности производных величин руководствуются следующими правилами:

1. Размерность левой и правой части не могут не совпадать так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства, объединяя левые и правые части уравнений, отсюда можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативна, т. е. состоит из одного единственного действия – умножения.

2.1. Размерность произведения нескольких величин равна произведению их размерностей. Так, если зависимость между значениями величин Q, A, B, C имеет вид Q = A B C, то

dim Q = dim A dim B dim C

2.2. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, Q = A/B, то

dim Q = dim A/dim B

2.3. Размерность любой величины, возведённой в некоторую степень, равна её размерности в той же степени, так, если

dim Q = dim A = dimn A

Например, если скорость определять по формуле V = l/t, то

dim V = dim l/dim t = L/T = LT-1

Если сила по второму закону Ньютона F = m a, где a = V/t – ускорение тела, то

dim F = dim m dim a = ML/T2 = LMT-2

Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физической величины за размерность основных физических величин с помощью степенного одночлена dim Q = Lб Mв Tг, где L, M, T, … — размерности соответствующих основных физических величин; б, в, г, … — показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным целым или дробным числом, нулём. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Теория размерностей повсеместно применяется для оперативной проверки правильности сложных формул. Если размерности правой и левой частей уравнений не совпадают, т. е. не выполняется правило 1, то в выводе формулы, следует искать ошибку.

Порядок выполнения работы

В начале занятия студенты должны охарактеризовать общие правила конструирования систем единиц. Далее следует ознакомиться с основными и производными единицами системы СИ, с правилами написания обозначений единиц:

— обозначения единиц ставят после их числовых значений и помещают в строку с ними;

— в обозначениях единиц точку и знак сокращения не ставят;

— в буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления должна применяться только одна черта: косая или прямая. При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе помещают в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе заключают в скобки, например, Вт/(м2·К). Допускается вместо знака черты применять обозначения единиц в виде произведений единиц, возведённых в степени ; Вт·м-2 ·К-1.

Затем студенты должны ознакомиться с принципом образования наименьших кратных и дольных единиц.

В конце занятия следует выполнить ряд заданий, представленных преподавателем по применению теории размерностей, ответить на вопросы, касающиеся данной темы. Оформить отчёт.

Для проверки качества усвоения материала по теории размерностей рекомендуется выполнить следующие задания.

По определяющим уравнениям выразить размерности физических величин:

ускорение a = V/t;

плотность с = m·V;

По размерности физических величин определить основные формулы и обозначить единицы измерений:

удельный вес L3M-1;

динамическая вязкость L-1MT-1;

поверхностное натяжение MT-2;

магнитная проводимость L2MT-2I-2;

удельное электрическое сопротивление L3MT-2I-2;

1.Каковы правила конструирования систем единиц?

2.Назовите основные и дополнительные единицы системы СИ?

3.Как образуются кратные и дольные единицы Международной системы единиц?

4.Что называют единицей физической величины?

5.Принципы образования производных единиц Международной системы?

6.Что такое физическая величина?

7.Что такое размер физической величины?

8.Какие единицы являются дольными, кратными от единиц СИ?

9.Что такое системные, внесистемные единицы?

10.Какие существуют правила написания обозначения единиц?

ГОСТ 8.417.-81. ГСИ. Единицы физических величин.

2. Коротков , стандартизация и сертификация [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , — Электрон. текстовые данные.— Томск: Томский политехнический университет, 2015.— 187 c.

Уравнение МКТ идеального газа — основные понятия, формулы и определение с примерами

Содержание:

Фазовые состояния вещества:

В МКТ различают три фазовых (агрегатных) состояния вещества: жидкое, кристаллическое, газообразное (существует и четвертое состояние — плазма, и оно самое распространенное во Вселенной, ведь именно в состоянии плазмы находится вещество в звездах). Изменение фазового состояния называют фазовым переходом. Рассмотрим разные фазовые состояния вещества и выясним особенности движения и взаимодействия молекул вещества в разных состояниях.

Слово «газ» происходит от греческого слова chaos («хаос»). Молекулы газов расположены беспорядочно и на расстояниях, которые в десятки раз больше размеров самих молекул. На таких расстояниях молекулы практически не взаимодействуют друг с другом. Непрерывно сталкиваясь, молекулы газов разлетаются во все стороны, пока не встретят какое-либо препятствие, например стенки сосуда. Именно поэтому газы не имеют формы и занимают весь предоставленный объем. Большими расстояниями между молекулами объясняется и тот факт, что газы легко сжимаются.	Молекулы жидкости в целом расположены хаотично, однако в расположении ближайших молекул сохраняется определенный (ближний) порядок. Среднее расстояние между молекулами примерно равно размерам молекул, и межмолекулярные силы удерживают их около положения равновесия. Каждая молекула жидкости некоторое время (порядка	В веществе, находящемся в твердом кристаллическом состоянии, молекулы расположены в определенном порядке (образуют кристаллическую решетку) на расстояниях, примерно равных размерам самих молекул, поэтому силы межмолекулярного взаимодействия удерживают их около положения равновесия. В отличие от жидкостей, перескакивания молекул в твердых телах происходят очень редко — каждая молекула сохраняет положение равновесия достаточно долго, а ее движение сводится к колебаниям около этого положения. Поэтому твердые тела сохраняют и объем, и форму; как и жидкость, их очень трудно сжать.

Молекулы некоторых твердых тел в целом расположены беспорядочно. Такое состояние вещества называют аморфным. Вещества в аморфном состоянии напоминают очень вязкие жидкости. Так, если положить в сосуд кусочки смолы (аморфное вещество), со временем смола сольется и примет форму сосуда.

В отличие от кристаллических, аморфные вещества не имеют определенной температуры плавления, а переходят в жидкое состояние постепенно размягчаясь. Аморфное состояние веществ неустойчиво — постепенно происходит кристаллизация. Так, стекло имеет аморфную структуру, но со временем в нем образуются помутнения — кристаллики кварца. Сахар — это молекулярный кристалл. Если его расплавить и охладить, получим леденец — аморфное состояние сахара. Но через некоторое время в леденце начнут расти кристаллики сахара. Именно по этой причине засахаривается варенье.

• Молекулы, атомы, ионы находятся в непрерывном хаотическом движении. Именно движением частиц вещества можно объяснить такие явления, как броуновское движение (видимое в микроскоп хаотическое перемещение малых макрочастиц, взвешенных в жидкости или газе) и диффузия (взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга).
• Частицы вещества взаимодействуют друг с другом. Основная причина межмолекулярного взаимодействия — электрическое притяжение и отталкивание заряженных частиц, образующих атом. На расстояниях, которые больше размеров молекул, молекулы притягиваются друг к другу; на расстояниях, которые незначительно меньше размера молекул, — отталкиваются.
• Вещество может находиться в твердом, жидком и газообразном фазовых (агрегатных) состояниях в зависимости от того, как расположены, как двигаются и как взаимодействуют его частицы.

Основное уравнение МКТ идеального газа

Каждое макроскопическое тело состоит из огромного количества молекул. МКТ рассматривает строение и свойства макроскопических тел, а также процессы, происходящие в этих телах, с точки зрения их молекулярной структуры. Поведение макроскопических тел описывается рядом физических величин — микроскопическими и макроскопическими параметрами. Выясним, что это за параметры и как они связаны.

Микроскопические и макроскопические параметры

Рассмотрим систему, состоящую из очень большого количества атомов или молекул. Такой системой, например, может быть какой-либо газ. В любой момент времени каждая микрочастица газа обладает энергией, движется с некоторой скоростью, имеет массу.

Физические величины, характеризующие свойства и поведение отдельных микрочастиц вещества, называют микроскопическими параметрами.

Некоторые микроскопические параметры могут изменяться без внешнего воздействия на систему. Например, скорости движения молекул газа непрерывно изменяются в результате их столкновений друг с другом.

В то же время газ данной массы занимает некоторый объем, создает давление, имеет температуру. Значения этих физических величин определяются совокупностью множества молекул — например, мы не можем говорить о давлении, температуре или плотности одной молекулы.

Физические величины, характеризующие свойства и поведение макроскопических тел без учета их молекулярного строения, называют макроскопическими параметрами.

Макроскопические параметры могут изменяться только за счет внешних воздействий на систему или за счет теплообмена. Так, чтобы увеличить давление газа, газ нужно нагреть (передать определенное количество теплоты) или сжать (то есть совершить работу).

Какой газ называют идеальным

Количественные закономерности, связывающие макроскопические и микроскопические параметры тел, достаточно сложны. Рассмотрим самый простой случай — достаточно разреженные газы (такими, например, являются обычные газы при нормальных условиях). В разреженных газах расстояние между молекулами во много раз превышает размеры самих молекул, поэтому эти молекулы можно считать материальными точками, а их взаимодействием, за исключением моментов соударения, можно пренебречь. Кроме того, свойства разреженных газов практически не зависят от их молекулярного состава, а столкновения молекул такого газа приближаются к упругим. Таким образом, вместо реальных газов можно рассматривать их физическую модель — идеальный газ.

Идеальный газ — это физическая модель газа, молекулы которого принимают за материальные точки, не взаимодействующие друг с другом на расстоянии и упруго взаимодействующие в моменты столкновений.

Основное уравнение МКТ идеального газа

Начнем с такого микроскопического параметра, как скорость движения молекул. Обратим внимание на то, что бессмысленно рассматривать движение каждой отдельной молекулы и устанавливать скорость ее движения в данный момент времени, да это и невозможно: число молекул огромно, и за секунду каждая молекула изменяет скорость своего движения миллиарды раз. Поэтому физики используют средние значения скоростей молекул. Важнейшим в МКТ является понятие средний квадрат скорости:

где N — число молекул; — скорости отдельных молекул.

Квадратный корень из среднего квадрата скорости называют средней квадратичной скоростью движения молекул ():

Понятно, что средний квадрат скорости (а следовательно, и среднюю квадратичную скорость) невозможно определить с помощью прямых измерений. Однако эта величина связана с определенными макроскопическими (измеряемыми) параметрами газа, например с давлением.

Напомним, что давление газа обусловлено ударами его молекул (рис. 28.1). Находясь в непрерывном хаотическом движении, молекулы газа сталкиваются со стенками сосуда и поверхностью любого тела в газе, действуя на них с некоторой силой. Суммарная сила воздействия частиц на единицу площади поверхности и есть давление газа: . Нетрудно догадаться: чем быстрее движутся молекулы газа и чем больше масса этих молекул, тем сильнее будут их удары и тем большее давление создает газ.

Уравнение зависимости давления p идеального газа от массы его молекул и среднего квадрата скорости их движения — это основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Здесь n — концентрация молекул газа — физическая величина, равная числу молекул в единице объема газа:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа (кинетическая энергия поступательного движения, в среднем приходящаяся на одну молекулу) равна: . Поэтому основное уравнение МКТ идеального газа можно записать и так:

Пример решения задачи

Определите плотность идеального газа, находящегося под давлением Па, если средняя квадратичная скорость движения его молекул 500 м/с.

Решение:

В задаче нужно найти макроскопический параметр — плотность газа. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением МКТ идеального газа:

Поскольку ρ = , а m=N (масса газа равна произведению числа молекул газа на массу одной молекулы), то концентрация молекул газа. Заменив в формуле (1) выражение n на ρ, получим:

Отсюда (Формулу (2) следует запомнить!)

Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Анализ результата. Плотности газов при нормальных условиях колеблются от 0,09 до 1,5 кг/м3, то есть получен реальный результат.

Ответ: ρ = 1, 2 кг/м3.

• Физические величины, характеризующие свойства и поведение отдельных микрочастиц вещества, называют микроскопическими параметрами. Физические величины, характеризующие свойства и поведение макроскопических тел без учета их молекулярного строения, называют макроскопическими параметрами.
• Идеальный газ — это физическая модель газа, молекулы которого принимают за материальные точки, не взаимодействующие друг с другом на расстоянии и упруго взаимодействующие в момент столкновения.
• Основное уравнение МКТ идеального газа связывает макроскопический параметр (давление) с микроскопическими параметрами (массой и средним квадратом скорости движения молекул):. Это уравнение можно записать в виде: .

• Уравнение состояния идеального газа
• Температура в физике
• Парообразование и конденсация
• Тепловое равновесие в физике
• Движение тел под воздействием нескольких сил
• Абсолютно упругие и неупругие столкновения тел
• Механизмы, работающие на основе правила моментов
• Идеальный газ в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.