Физические уравнения за 9 класс

краткий курс физика 9 класс
методическая разработка (физика, 9 класс) по теме

Физика 9 класс краткий курс, основные понятия, формулы. Помощь ученикам для изучения физики в 9 классе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

для учащихся 9 класса

Выполнила: Коткова Надежда Анатольевна, учитель физики МБОУ «СОШ № 9»

Модель – упрощённое представление реального объекта.

Материальная точка — тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Условия: 1. небольшие размеры тела по сравнению с расстоянием; 2. поступательное движение тела.

Система отсчёта – 1. оси координат; 2.тело отсчёта; 3. способ отсчёта времени.

Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, находясь внутри которой нельзя определить, движется она или нет.

Модели механических колебаний:

Колебательная система – несколько взаимосвязанных тел, благодаря которым могут совершаться механические колебания.

Математический маятник – шарик на нитке. В колебательную систему входят: шарик, нитка, опора, Земля.

Пружинный маятник – груз на пружине. В колебательную систему входят: груз, пружина, опора, Земля.

Постоянный полосовой магнит – тело в форме параллелепипеда, обладающее магнитным полем. Полюса магнита окрашены: северный полюс N — синим цветом, южный полюс S – красным цветом.

Постоянный дуговой магнит – тело в форме согнутого подковообразно параллелепипеда, обладающее магнитным полем. Полюса магнита окрашены: северный полюс N — синим цветом, южный полюс S – красным цветом.

Модели атомной физики

Модель атома Резерфорда (планетарная) – 1. ядро, состоящее из протонов и нейтронов, расположенное в центре атома; 2. электронные оболочки, на которых находятся движущиеся вокруг ядра электроны. В нейтральном атоме число протонов и электронов одинаково.

Траектория – линия, вдоль которой движется тело. Может быть прямой и кривой.

Вектор – направленный отрезок. У него есть: 1. точка приложения, 2. длина; 3. направление. Виды векторов: свободные и связанные.

Радиус-вектор – вектор, соединяющий движущуюся точку с центром координат.

Искусственный спутник Земли – тело, перемещающее в пространстве вокруг Земли с первой космической скоростью.

Ракета-носитель – устройство для вывода на орбиту космического корабля. Использует реактивное движение, отталкиваясь от вырывающихся под большим давлением из сопла продуктов сгорания топлива.

Электромагнитное поле — вид материи, неразрывно связанной с электрическим зарядом. Если заряд покоится относительно наблюдателя, то проявляется как электрическое поле, если заряд движется – как магнитное поле.

Силовая линия магнитного поля – линия, касательная к векторам индукции магнитного поля. Изображает графически магнитное поле. Направлена от северного магнитного полюса к южному.

Изотопы – элементы, имеющие одинаковый порядковый номер в таблице Менделеева, но разную атомную массу. Находятся в одной клетке таблицы Менделеева. Не отличаются друг от друга химическими свойствами, но отличаются по физическим свойствам.

Нуклоны – частицы, входящие в состав ядра атома – протоны и нейтроны.

Ядерный реактор – установка для получения энергии при управляемой ядерной реакции.

Античастица – элементарная частица, обладающая противоположными по сравнению с частицей электрическим зарядом и направлением вращения вокруг своей оси.

План характеристики физической величины

1. Название, обозначение
2. Определение
3. Формула
4. Единицы измерения
5. Вектор или скаляр
6. Если вектор, изобразить графически

План характеристики физического явления

1. Когда, кем и как открыто
2. В чём заключается
3. Условия протекания
4. Законы
5. Примеры проявления в природе
6. Использование в быту и технике

План характеристики физического закона

1. Кем, когда и как открыт
2. Формулировка
3. Математическая запись
4. Границы применения
5. Связь с другими законами
6. Примеры

План характеристики физической теории

1. Название
2. Авторы теории
3. Модели
4. Круг рассматриваемых явлений
5. Связь с другими теориями
6. Следствия
7. Применение

Физические величины в курсе 9 класса

Проекция положения точки в пространстве на ось координат.

Вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения.

Перемещение в единицу времени.

Изменение скорости в единицу времени по величине.

Ускорение свободного падения

Изменение скорости тела за каждую секунду при свободном падении

Угол, описываемый радиус-вектором во время вращательного движения тела.

Угловой путь, пройденный телом за единицу времени

Изменение скорости в единицу времени по направлению.

Первая космическая скорость

Скорость, необходимая телу, чтобы стать искусственным спутником Земли

Произведение массы и скорости тела

Функция параметров состояния механической системы.

Функция массы и скорости тела

Потенциальная энергия поднятого над землёй тела

Энергия, равная работе силы тяжести по подъему тела на эту высоту.

Потенциальная энергия деформированного тела

Функция жесткости и деформации тела.

Максимальное отклонение от положения равновесия.

Время одного полного оборота (колебания).

Число оборотов (колебаний) за единицу времени.

Число колебаний за 2π (6,28) секунд.

Путь, пройденный волной за период.

Скорость распространения звуковой волны

Характеристика звука, зависящая от частоты колебаний источника звука

Характеристика звука, зависящая от амплитуды колебаний источника звука

Индукция магнитного поля

Сила, действующая в магнитном поле на 1м длины проводника, если по нему течёт ток силой 1А.

Число силовых линий, проходящих через данную площадку.

Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме

Разность между суммой масс входящих в ядро нуклонов и массой ядра изотопа

Энергия взаимодействия элементарных частиц в ядре, необходимая для создания ядра и выделяющаяся при его распаде.

Вектор или скаляр

x = x 0 + υ 0 t + at 2 /2

S = υ 0 t + at 2 /2;

S = (υ 2 — υ 0 2 )/2а

l = υ 0 t + at 2 /2

вектор вдоль или против υ

g = 9,8 м/с 2 – для Земли;

в задачах g = 10 м/с 2

вектор вертикально вниз

вектор вдоль оси вращения

a ц = υ 2 /r; a ц = ω υ; a ц = ω 2 r

вектор по радиусу к центру

вектор по касательной к траектории

вектор вдоль скорости

υ зв = 340 м/с в воздухе

вектор от полюса N к полюсу S

с = 3∙ !0 8 м/с – для вакуума

вектор вдоль движения

ΔМ = Zm p + (A-Z) m n — M я

а.е.м.(атомная единица массы)

Запись физических величин

Для записи физической величины можно использовать стандартный вид числа :

а · 10ⁿ и в · 10 m

Умножение чисел : а · в ·10 n+m

Деление чисел : (а/в) · 10 n-m

Сложение и вычитание чисел : привести значение степени числа 10 к одинаковому показателю. У суммы или разности показатель степени не меняется.

Возведение числа в степень : (а·10 ⁿ) m = a m ·10 n ·m

Помимо стандартного вида числа можно использовать приставки.

Физические явления в курсе 9 класса

В чём заключается

Изменение положения тела в пространстве относительно других тел

Движение, при котором все точки тела перемещаются одинаково.

Движение по прямой траектории.

Движение по кривой траектории.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. (Движение с постоянной скоростью).

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения.

Движение, при котором за равные промежутки времени скорость тела увеличивается на одинаковые значения. (Движение с постоянным ускорением).

Движение, при котором за равные промежутки времени скорость тела уменьшается на одинаковые значения. (Движение с постоянным отрицательным ускорением).

Равноускоренное движение вниз без начальной скорости. (Падение тела в вакууме).

Движение, при котором все точки тела перемещаются по окружности. (Частный случай колебательного движения).

Движение, происходящее благодаря отталкиванию тел или частей одного тела друг от друга.

Периодически повторяющееся движение.

Колебания, которые происходят под действием внутренних сил колебательной системы

Периодические изменения характеристик электрического поля и тока.

Колебания, которые происходят под действием внешних для колебательной системы сил.

Колебания в среде, обладающей трением

Колебания в среде без трения

Резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой колебательной системы

Колебания, распространяющиеся в пространстве.

Механические колебания, воспринимаемые человеческим ухом. Частота колебаний от 17 до 17000 Гц.

Механическая волна, воспринимаемая человеческим ухом

Явление, при котором звуковая волна, попадая на препятствие, возвращается в первоначальную среду распространения

Звуковое явление, возникающее в результате отражения звука

Резкое возрастание громкости звука при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой колебаний источника звука.

Явление сложения нескольких звуковых волн, в результате которого в разных точках пространства громкость звучания различна.

Явление возникновения электрического тока под действием переменного магнитного поля.

Переменный электрический ток

Электрический ток, у которого периодически изменяются сила тока, напряжение, направление движения заряженных частиц.

Переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве.

Электромагнитные волны, воспринимаемые человеческим глазом. (частота колебаний от 4∙10 14 до 7,5∙10 14 Гц)

Сложение нескольких световых волн, в результате которого в каждой точке пространства устанавливается своя интенсивность света.

Отклонение света от прямолинейного направления распространения. Огибание светом препятствий, соизмеримых с длиной световой волны.

Самопроизвольный распад атомного ядра с испусканием α, β, γ- излучения

Цепная ядерная реакция

Процесс распада ядер, при котором выделяющиеся при распаде ядер первого поколения нейтроны становятся причиной распада ядер последующего поколения. Сопровождается выделением энергии.

Слияние атомных ядер при очень высоких температурах. Сопровождается выделением энергии.

Законы и закономерности в курсе 9 класса

1 закон Ньютона

Если на тело не действует сила, или действие всех сил уравновешено, то оно движется по инерции или покоится в инерциальной системе отсчёта.

2 закон Ньютона

Если на тело действует сила, оно движется с ускорением в инерциальной системе отсчёта.

3 закон Ньютона

Сила действия равна силе противодействия.

Закон всемирного тяготения

Сила гравитационного притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами взаимодействующих тел.

F G = Gm 1 m 2 /r 2

Связь угловой и линейной скорости

Линейная скорость равна произведению угловой скорости и радиуса траектории вращения точки.

Закон сохранения импульса

Сумма импульсов тел замкнутой системы не изменяется

Закон сохранения энергии в колебательном процессе

При незатухающих колебаниях кинетическая и потенциальная энергии могут превращаться друг в друга, при этом полная механическая энергия колебательной системы не

Если вращать правый винт так, чтобы его поступательное движение совпадало с направлением тока в проводнике, то вращательное движение рукоятки винта укажет направление силовой линии магнитного поля, созданного током.

Правило левой руки

Если левую руку расположить так, чтобы силовые линии магнитного поля вошли в ладонь, четыре пальца направить вдоль тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей в магнитном поле на проводник с током.

Закон электромагнит-ной индукции

Сила индукционного тока прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока и направлена против изменения магнитного потока.

Положение изотопа в таблице Менделеева при α – распаде смещается на две клетки вперёд, при β-распаде на одну клетку назад.

Лабораторная работа – экспериментальное исследование объекта или явления.

План оформления лабораторной работы

1. Название
2. Цель
3. Оборудование
4. Схема установки
5. Ход работы
6. Таблица результатов
7. Вычисления
8. Расчёт погрешностей
9. Вывод

Расчёт погрешностей в лабораторной работе

А – измеряемая величина
Δ А – абсолютная погрешность измерения

Δ А = Δ Аи + Δ Ао,

где Δ Аи – погрешность измерительного прибора – в простейшем подсчёте равна половине цены деления шкалы (в точном подсчёте равна классу точности прибора умноженному на предел измерения и делённому на100)

Δ Ао – погрешность измерения равна половине цены деления шкалы прибора

ε = Δ А/А – относительная погрешность измерения

Погрешности косвенных измерений

Δ А= (В Δ С+С Δ В)/С

Алгоритмы решения задач

Кинематика поступательного движения

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Определить материальную точку. Выбрать систему отсчёта.
3. Построить чертёж, на котором указать:

1. оси координат;
2. начальное и конечное положение точки, её траекторию;
3. перемещение, скорость, ускорение точки.

1. Выбрать уравнения для

координаты: x = x 0 + υ 0 t + at 2 /2;

перемещения: S= х-х 0 ; S = υ 0 t + at 2 /2; S = (υ 2 — υ 0 2 )/2а;

скорости: υ = υ 0 + at;

ускорения: a = (υ — υ 0 )/t;

в зависимости от величин, указанных в условии задачи. Определить характер движения. Если а=0, уравнения изменить подстановкой а=0.

1. Записать уравнения в проекции на ось х.
2. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных.
3. Решить систему уравнений.
4. Проанализировать и записать ответ.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Определить материальную точку. Выбрать систему отсчёта.
3. Построить чертёж, на котором указать:

1. оси координат;

1. начальное и конечное положение точки, её траекторию;
2. начальную скорость, угол бросания, скорости точки вдоль осей, высоту подъёма, ускорение точки.

1. Рассмотреть движение точки относительно каждой оси:

ось ох — движение равномерное;

S x = υ x t; υ x = υ 0 cosα;

ось оу — движение равнозамедленное вверх и равноуско-ренное вниз; так как траектория – парабола, её ветви симметричны и можно рассматривать только движение вниз из максимальной точки подъёма.

h = gt 2 /2; h = υ у 2 /2g; υ y = gt; υ у = υ 0 sinα;

1. Записать уравнения в проекции на оси.
2. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных. Можно использовать теорему Пифагора:

υ 0 = √ υ х 2 + υ y 2 ;

1. Решить систему уравнений.
2. Проанализировать и записать ответ

Кинематика вращательного движения

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Выбрать уравнения в зависимости от величин, указанных в условии задачи.

φ= ωt; ω= 2π ν; ω= 2π/Т; υ=ω r; a ц = υ 2 /r; a ц = ω υ; a ц = ω 2 r;

T= t/n; T = 1/ ν; ν = n/t ; ν=1/T

1. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных.
2. Решить систему уравнений.
3. Проанализировать и записать ответ.

Динамика поступательного и вращательного движения

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Определить материальную точку. Выбрать систему отсчёта.
3. Построить чертёж, на котором указать:

1. все действующие силы;
2. равнодействующую или ускорение тела;
3. оси координат.

1. Определить характер движения, выбрать закон Ньютона: F = 0 или F = ma.
2. Записать уравнение для равнодействующей силы в векторной форме.
3. Взять проекции всех сил на оси координат. Составить уравнения.
4. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных.
5. Решить систему уравнений.
6. Проанализировать и записать ответ

Динамика поступательного движения

F тр F тяги а ц

Динамика вращательного движения

Трамвай на повороте, велотрек

радиус r радиус r

Автомобиль на повороте

Закон сохранения импульса

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Указать входящие в систему тела. Определить момент и характер (упругое, неупругое) взаимодействия тел.
3. Выбрать систему отсчёта.
4. Записать сумму импульсов системы тел до и после взаимодействия в векторной форме.

∑p до взаимодействия = р 1 ; ∑р после взаимодействия = р 2 ;

5. Записать разность этих сумм. Δр = р 1 — р 2 ;

1. Приравнять её нулю, если выполняется закон сохранения импульса (взаимодействие происходит практически мгновенно). Δр = 0.
2. В противном случае, приравнять разность сумм импульсов тел до и после взаимодействия импульсу силы. Δр = FΔt.
3. Взять проекции импульсов на оси координат. Составить уравнения.
4. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных.
5. Решить систему уравнений.
6. Проанализировать и записать ответ

Закон сохранения энергии

1. Записать и проанализировать условия. Определиться с известными и неизвестными величинами. Привести единицы измерения величин к одной системе.
2. Выбрать систему отсчёта.
3. Указать входящие в систему тела, начальное и конечное состояние системы.
4. Определить механическую энергию системы в начальном состоянии – Е 1 . При наличии потенциальной энергии поднятого над землёй тела выбрать её нулевой уровень.
5. Определить механическую энергию системы в конечном состоянии – Е 2 .
6. Найти изменение механической энергии ΔЕ = Е 1 -Е 2 .
7. Если выполняется закон сохранения энергии, ΔЕ=0. в противном случае ΔЕ =А.

Примечание: закон сохранения энергии не выполняется при неупругом взаимодействии.

1. Число уравнений должно соответствовать числу неизвестных. Если уравнений недостаточно, можно дополнительно использовать закон сохранения импульса.
2. Решить систему уравнений.
3. Проанализировать и записать ответ.

Уравнения ядерных реакций

Искусственная радиоактивность вызывается бомбардировкой атомов элементарными частицами. В результате из ядра вылетает другая частица и происходит превращение одного химического элемента в другой.

При записи элементов используется их обозначение из таблицы Менделеева. Порядковый номер, равный заряду ядра или числу протонов в ядре записывается перед элементом внизу, атомная масса, равная числу нуклонов в ядре, записывается перед элементом вверху.

1 1 р или 1 1 Н – протон; 0 1 n – нейтрон; -1 0 e – электрон; 4 2 He – альфа-частица (ядро атома гелия).

При уравнивании ядерной реакции используются законы сохранения электрического заряда и массы.

Пример: 25 55 Mn + 1 1 р → 26 56 Fe + 0 1 n.

Во время естественной радиоактивности из ядра атома могут вылетать альфа-частицы, электроны, гамма-кванты. При этом происходит превращение одного химического элемента в другой. Новый элемент определяют в таблице Менделеева по порядковому номеру Z. Для записи реакции используют правило смещения:

Z A X → ( Z – 2) (A – 4) Y – для α-распада;

Z A X→ ( Z + 1) A Y – для β-распада.

Пример: 88 226 Ra (α)→ 86 222 Rn; 92 238 U (β)→ 93 238 Np.

Алгоритм расчёта энергии связи атомных ядер

1. Определить количество протонов и нейтронов в ядре изотопа.
2. Найти сумму масс входящих в ядро частиц (в атомных единицах массы), предварительно умножив массу одной частицы на их количество.

Масса протона m p = 1,00728 а.е.м.

Масса нейтрона m п = 1,00866 а.е.м.

1. Определить по таблице «Относительная масса некоторых изотопов» массу ядра данного изотопа.

Вычесть из суммы масс нуклонов массу ядра. Эта разность называется дефектом масс ΔМ.

ΔМ = Z m p + (A-Z) m n – M я

1. Рассчитать энергию связи по формуле: Е св =ΔМс 2 , где с 2 =931,5МэВ/а.е.м. Ответ получится в мегаэлектрон-вольтах. Для перевода значения энергии связи в джоули, нужно умножить ответ на заряд электрона е=1,6 ·10 -19 Кл.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

«Nach den Sommerferien» (Kleiner Wiederholungskurs) «После каникул» (краткий курс повторения)

Настоящий урок является обобщающим уроком, завершающим вводный повторительный курс. Образовательная технология – ролевая игра. Его целесообразно провести на 4 – 5 уроке в виде телемоста “Wir mac.

Краткий курс лекций по биологии

Предназначен для подготовки к зачету, экзамену по дисциплине «Биология».

Краткий курс английского языка по теме «Налоги и налогообложение» для студентов 1 курса, обучающихся по специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Основной целью обучения студентов английскому языку в неязыковом образовательном учреждении является овладение ими навыками практического владения этим языком, что предполагает формирование умения сам.

Краткий курс английского языка по теме «Налоги и налогообложение» для студентов 2 курса, обучающихся по специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Основной целью обучения студентов английскому языку в неязыковом колледже является овладение ими навыками практического владения этим языком, что предполагает формирование умения самостоятельно читать.

Краткий курс по информатике 8-9 класс

Эта работа поможет быстро вспомнить программу по информатике.

Программа дистанционного курса «Краткий курс физики»для детей с ОВЗ , 7 класс

Программа дистанционного курса предназначена для учащихся 7 классов. Программа рассчитана на учащихся коррекционных школ и занимающихся на дому. Учащимся предлагается дистанцион.

Физические уравнения за 9 класс

В пособии «Физика 9 класс. Все формулы и определения» представлено 45 формул :

Физика 9 класс. Все формулы и определения в разделе «КИНЕМАТИКА»

I. Равномерное прямолинейное движение

1. Скорость
2. Проекция скорости на координатную ось
3. Перемещение
4. Проекция перемещения на координатную ось

II. Равноускоренное прямолинейное движение

5. Средняя скорость при неравномерном прямолинейном движении
6. Ускорение
7. Скорость
8. Перемещение
9. Координата тела
10. Ускорение свободного падения

III. Равномерное движение по окружности

11. Угловая скорость
12. Частота обращения
13. Период обращения
14. Линейная скорость
15. Центростремительное ускорение

Физика 9 класс. Все формулы и определения в разделе «ДИНАМИКА»

IV Законы Ньютона

16. Первый закон Ньютона
17. Второй закон Ньютона
18. Третий закон Ньютона

V Силы в природе

19. Закон Гука
20. Закон всемирного тяготения
21. Гравитационная постоянная
22. Сила тяжести
23. Ускорение свободного падения
24. Вес покоящихся и движущихся тел.

VI. Движение тела под действием силы тяжести

25. Движение тела под углом к горизонту.
26. Горизонтально брошенное тело.
27. Скорость искусственного спутника Земли.

VII. Силы трения

28. Трение покоя.
29. Трение скольжения.
30. Коэффициент трения.
31. Движение тела под действием силы трения.

VIII. Движение тела под действием нескольких сил

32. Условие равновесия тела (как материальной точки)
33. Движение тела по наклонной плоскости.
34. Движение связанных тел через неподвижный блок.

IX. Законы сохранения в механике

36. Импульс тела
37. Импульс силы
38. Закон сохранения импульса
39. Механическая работа силы
40. Теорема о кинетической энергии
41. Потенциальная энергия поднятого тела
42. Работа силы тяжести
43. Потенциальная энергия деформированного тела
44. Закон сохранения полной механической энергии

X. Движение жидкостей и газов по трубам

45. Закон Бернулли

Дополнительные материалы

Девять самых необходимых (самых востребованных) формул по физике в 9 классе.

Таблицы физических величин

Вы смотрели «Физика 9 класс. Все формулы». Смотрите также справочные материалы по физике за другие классы:

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.