Физические задачи приводящие к уравнениям гиперболического типа

Основные физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Волновое уравнение. Уравнение колебаний струны

Уравнения 2-го порядка с частными производными. Классификация. Приведение к каноническому виду.

Уравнения 2-го порядка с частными производными имеют вид

Уравнение называется линейным относительно производных, если оно имеет вид:

Если a_ij≠ a_ij(x.y), то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Канонический вид – вид при котором остаются только смешанные(. ) производные. В зависимости от знака выражения a₁₂ 2­ -a₁₁a₂₂ имеют место следующие канонические формы:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
Уравнения математической физики

Глава I. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Задачи к главе I

Глава II. Уравнения гиперболического типа

1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. 3. Энергия колебания струны. 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. 5. Поперечные колебания мембраны. 6. Уравнения гидродинамики и акустики. 7. Граничные и начальные условия. 8. Редукция общей задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. 10. Теорема единственности. Задачи.

1. Формула Даламбера. 2. Физическая интерпретация. 3. Примеры. 4. Неоднородное уравнение. Устойчивость решении. 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. 7. Задачи для ограниченного отрезка. 8. Дисперсия волн. 9. Интегральное уравнение колебаний. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Задачи.

1. Уравнение свободных колебаний струны. 2. Интерпретация решения. 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих воли. 4. Неоднородные уравнения. 5. Общая первая краевая задача. 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. 7. Задачи без начальных условий. 8. Сосредоточенная Сила. 9. Общая схема метода разделения переменных. Задачи.

1. Постановка задачи. 2. Метод последовательных приближений дли задачи Гурса. Задачи.

1. Сопряженные дифференциальные операторы. 2. Интегральная форма решения. 3. Физическая интерпретации функции Римана. 4. Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи к главе II

Приложения к главе II

1. Постановка задачи. 2. Собственные колебания нагруженной струны. 3. Струна с грузом на конце. 4. Поправки для собственных значений.

1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. 2. Ударные волны. Условия динамической совместности. 3. Слабые разрывы.

1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. 2. Асимптотическое решение.

Глава III. Уравнения параболического типа

1. Линейная задача о распространении тепла. 2. Уравнение диффузии. 3. Распространение тепла в пространстве. 4. Постановка краевых задач. 5. Принцип максимального значения. 6. Теорема единственности. 7. Теорема единственности для бесконечной прямой.

1. Однородная краевая задача. 2. Функция источника. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. 5. Общая первая краевая задача. Задачи.

1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области. 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой.

Задачи к главе III

Приложения к главе III

1. Функция источника для бесконечной прямой. 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.

1. Определение d -функции. 2. Разложение d -фикции в ряд Фурье. 3. Применение d -функции к построению функции источника.

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач. 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля. 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. 6. Преобразование обратных радиусов-векторов.

1. Формулы Грина. Интегральное представление решения. 2. Некоторые основные свойства гармонических функций. 3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи. 4. Задачи с разрывными граничными условиями. 5. Изолированные особые точки. 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности. 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач. 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности.

1. Первая краевая задача для круга. 2. Интеграл Пуассона. 3. Случай разрывных граничных значений.

1. Функция источника для уравнения D u=0 и ее основные свойства. 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы. 3. Функция источника для круга. 4. Функция источника для полупространства.

1. Объемный потенциал. 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал. Несобственные интегралы. 4. Первые производные объемного потенциала. 5. Вторые производные объемного потенциала. 6. Поверхностные потенциалы. 7. Поверхности и кривые Ляпунова. 8. Разрыв потенциала двойного слоя. 9. Свойства потенциала простого слоя. 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач. 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам. Задачи к главе IV

Приложения к главе IV

1. Единственность решения. 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции. 3. Решение бигармонического уравнения для круга.

Глава V. Распространение волн в пространстве

1. Уравнение колебаний в пространстве. 2. Метод усреднения. 3. Формула Пуассона. 4. Метод спуска. 5. Физическая интерпретация. 6. Метод отражения.

1. Вывод интегральной формулы. 2. Следствия из интегральной формулы.

1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны. 2. Колебания прямоугольной мембраны. 3. Колебания круглой мембраны. Задачи к главе V

Приложения к главе V

1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия. 2. Потенциалы электромагнитного поля. 3. Электромагнитное поле осциллятора.

Глава VI. Распространение тепла в пространстве

1. Функция температурного влияния. 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве.

1. Схема метода разделения переменных. 2. Остывание круглого цилиндра. 3. Определение критических размеров.

1. Формула Грина дли уравнения теплопроводности и функция источника. 2. Решение краевой задачи. 3. Функция источника для отрезка.

1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. 2. Решение краевых задач. Задачи к главе VI

Приложения к главе VI

Глава VII. Уравнения эллиптического типа (продолжение)

1. Установившиеся колебания. 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях. 3. Диффузия в движущейся среде. 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения D v + cv=0.

1. Функции влияния точечных источников. 2. Интегральное представление решения. 3. Потенциалы.

1. Уравнение D v + cv =-f в неограниченном пространстве. 2. Принцип предельного поглощения. 3. Принцип предельной амплитуды. 4. Условия излучения.

1. Постановка задачи. 2. Единственность решения задачи дифракции. 3. Дифракция на сфере. Задачи к главе VII

Приложения к главе VII

1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора. 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе.

Дополнение I. Метод конечных разностей

1. Сетки и сеточные функции. 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. 3. Разностная задача. 4. Устойчивость.

1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами. 2. Погрешность аппроксимации. 3. Энергетическое тождество. 4. Устойчивость. 5. Сходимость и точность. 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. 7. Метод баланса. Консервативные схемы. 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. 9. Трехслойные схемы. 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки. 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений.

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. 2. Принцип максимума. 3. Оценка решения неоднородного уравнения. 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Дополнение II. Специальные функции

1. Введение. 2. Общее уравнение теории специальных функций. 3. Поведение решений в окрестности х=а, если k(а)=0. 4. Постановка краевых задач.

Часть I. Цилиндрические функции

1. Степенные ряды. 2. Рекуррентные формулы. 3. Функции полуцелого порядка. 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций.

1. Функции Ханкеля. 2. Функции Ханкеля и Неймана. 3. Функции мнимого аргумента. 4. Функция K 0 (х).

1. Контурные интегралы. 2. функции Ханкеля. 3. Некоторые свойства гамма-функции. 4. Интегральное представление функции Бесселя. 5. Интегральное представление K _n (х). 6, Асимптотические формулы для цилиндрических функций.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Часть II. Сферические функции

1. Производящая функция и полиномы Лежандра. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Лежандра. 4. Ортогональность полиномов Лежандра. 5. Норма полиномов Лежандра. 6. Нули полиномов Лежандра. 7. Ограниченность полиномов Лежандра.

1. Присоединенные функции. 2. Норма присоединенных функций. 3. Замкнутость системы присоединенных функций.

1. Гармонические полиномы. 2. Сферические функции. 3. Ортогональность системы сферических функции. 4. Полнота системы сферических функций. 5. Разложение по сферическим функциям.

1. Задача Дирихле для сферы. 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. 3. Поляризация шара в однородном поле. 4. Собственные колебания сферы. 5. Внешняя краевая задача для сферы.

Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева — Эрмита. 4. Норма полиномов Н_n(x). 5. Функции Чебышева — Эрмита.

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева —Лагерра. 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева—Лагерра. 5. Обобщенные полиномы Чебышева —Лагерра.

1. Уравнение Шредингера. 2. Гармонический осциллятор. 3. Ротатор. 4. Движение электрона в кулоновом поле.

1.1 Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

Делись добром 😉

Похожие главы из других работ:

Задачи

1. Для заданного ряда наблюдений фактических расходов в створе проектируемой ГЭС выбрать расчетные гидрографы маловодного и средневодного лет при заданной величине обеспеченности стока.

2.1 Исследование устойчивости движения по уравнениям первого приближения

Рассмотрим систему (1.12), представляющую собой уравнения возмущенного движения механической системы, и исследуем её на устойчивость по первому приближению. Запишем уравнения первого приближения, для этого разложим правые части системы (1.

1.1 Основные оптические эффекты, приводящие к волноводному распространению электромагнитной волны

Основным свойством оптического волновода является способность каналировать электромагнитную энергию оптического диапазона. В лучевом приближении это свойство волновода иллюстрирует рис.

Глава 1. Уравнения гиперболического типа

1.3 Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала — функционал (2). Таким образом, получаем следующую вариационную задачу: Определить функции x(t) и u(t).

3. Задачи

1. Объем газовой смеси состоящей из 2кмоль кислорода, 6кмоль азота, 4кмоль воздуха равен 120м3. Определить среднюю молярную массу, массу и парциальные объемы газовой смеси.

2.2 РАСЧЕТ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ ПО УЗЛОВЫМ УРАВНЕНИЯМ

Найдем матрицу задающих токов, по известным нагрузкам в узлах сети: кА Найдем падение напряжения в узлах схемы относительно БУ: Где [Yу-1] — обратная матрица узловых проводимостей.

2.3 РАСЧЕТ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ ПО КОНТУРНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Контурные уравнения в матричной форме записываются так: Обозначим матрицу через К. Эта матрица имеет следующий вид: Вычислим левую часть уравнения, обозначив его через L: Решим получившуюся систему, получим матрицу [Ik]: [Iв] = [IК ].

3. РАСЧЕТ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ ПО НЕЛИНЕЙНЫМ УЗЛОВЫМ УРАВНЕНИЯМ ПРИ ЗАДАНИИ НАГРУЗОК В МОЩНОСТЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

Итерационный процесс будем вести до тех пор, пока не выполнится условие: |U(k+1) — U(k)| Проект водно-химического комплекса ТЭЦ-360 МВт

2.1 Задачи ВХР

Основной задачей ВХР каждой ТЭС является обеспечение работы теплосилового оборудования без повреждений и снижения экономичности, которые могут быть вызваны следующими причинами: — образование отложений на поверхностях нагрева котлов.

2.1. Задачи ВХР

Основной задачей ВХР проектируемой КЭС является обеспечение работы теплосилового оборудования (основного и вспомогательного) без повреждений и снижения экономичности.

Задачи

1. Для заданного ряда наблюдений фактических расходов в створе проектируемой ГЭС выбрать расчетные гидрографы маловодного и средневодного лет при заданной величине обеспеченности стока.

Задачи

Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью v0 = 10 м/с и постоянным ускорением а = — 5 м/с2. Определить, во сколько раз путь ДS, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль ее перемещения Дr спустя t = 4 с.

6. Задачи

Задача 1. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны: 1 = 0cos(tx), 2 = 0cos(ty),где вектор 0 параллелен оси Z. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости х = у. Решение: Рис.

5. Определение месторасположения цеховой подстанции, её типа, типа трансформаторов, их количества и мощность на основе технико-экономического расчёта

На подстанциях всех напряжений, как правило, применяется не более двух трансформаторов по соображениям технической и экономической целесообразности. 1;2 трансформаторные подстанции применяются в тех случаях.