Физический смысл системы дифференциальных уравнений

Классическая механика: о диффурах «на пальцах»

Введение

В этой статье я продолжаю тему цифровой обработки сигналов. В ней я постараюсь простым языком рассказать о концепции игровой механики (физики) с использованием подхода на основе дифференциальных уравнений. В будущем я собираюсь оценить действительно ли реализация такого подхода приведет к резкому увеличению вычислительной нагрузки. В рамках этой статьи не получится — слишком большой объем. В этой я собираюсь описать назначение коэффициентов, входящих в математическую модель динамического объекта, описать их физический смысл, т.е. их влияние на поведение динамического объекта.
Начнем пожалуй…

Физический смысл

В своей статье про Фильтр Калмана я описал что такое уравнения вида «вход-выход», передаточная функция и операторная форма записи дифференциальных уравнений (см. раздел «Основные понятия» в [2]). Примером части математической модели динамического объекта в операторной форме записи может служить следующее уравнение:
(1)
Это распространенная упрощенная модель динамических систем. Опережая напишу, что модель тела в движке «Farseer» использует урезанный аналог представленной выше модели (динамического звена второго порядка). Ниже представлено описание принятых в ней обозначений.

• а0, а1, а2 — коэффициенты инерции, демпфирования и жесткости, соответственно.
• b0, b1 — коэффициенты входного воздействия.
• s — оператор Лапласса (d/dt).
• α(s), β(s) — выходная и входная переменные, как функции оператора Лапласса.

Представленное уравнение описывает динамическую систему типа «один вход — один выход» (SISO). Ее можно использовать для описания динамики объекта по одной из его степеней свободы. Как Вам, возможно, известно, у свободного тела есть шесть степеней свободы — три поступательные (линейное движение вдоль трех осей системы координат (СК) ) и три вращательные (повороты вокруг осей СК). Таким образом, полная модель физического тела будет описываться шестью такими уравнениями (или четырьмя для 2D случая). Вы сразу можете сказать, что уже это свидетельствует о слишком высокой сложности такого подхода. Но на самом деле в Farseer, к примеру, класс тела (Body) содержит и линейные координаты тела (по сути это пара α(s) по OX и OY), и линейные скорости (пара s*α(s) по OX и OY) и параметры ориентации и угловой скорости. Эти параметры обсчитываются раздельно для каждой из осей, т.е. количество уравнений такое же — два уравнения по оси OX (линейное и угловое движение) и два для оси OY. Разница лишь в форме уравнений.
Алгоритм в движке Farseer — приближенный и упрощенный, но позволяет работать с варьируемыми квантами времени. В функцию обсчета параметров движения (Island.Solve(ref TimeStep step, ref Vector2 gravity)) передается время, прошедшее после последнего обсчета параметров. Это позволяет при недостаточной производительности компьютера держать скорость течения игрового времени примерно постоянным в ущерб плавности и реалистичности движения игровых объектов.
При построении дискретной модели на основе диференциальных уравнений мы четко завязываемся на фиксированный квант времени. Уравнения интегрируются для изначально заданной частоты дискретезации, и если с момента последнего обсчета по какой-то причине прошло времени больше, чем заданный квант (в англоязычной литературе его называют «time sample»), то мы либо должны произвести обсчет несколько раз, либо получим замедление движения объекта. Последнее я как раз и наблюдал в игре «Command Cortex» на слабой машине. Движения акторов были плавными но медленными (акторы, управляемые человеком, получают преимущество). Таким образом, нельзя говорить об исключительном преимуществе одного из этих подходов.
Теперь о том, за что отвечают коэффициенты представленного выше уравнения. Это уравнение описывает движение физического тела относительно положения равновесия при α(s) = 0. Это еще одна из причин кажущегося неудобства применения такой модели в игровой механике. При отсутствии приложенных внешних сил данная модель рано или поздно возвратит (при условии устойчивости модели) тело в положение равновесия. Представьте игровой мир, наполненный шариками, которые все время стремятся в начало координат (например, в левый верхний угол экрана). К такому поведению приводит наличие коэффициента жесткости (см. а2 выше). Представьте, что тело соединено с началом координат пружиной. Пока на тело действуют силы, пружина растянута, но стоит убрать внешнее воздействие и тело устремится к нулю. Тела в движке Farseer таким поведением не обладают. Если мы зададим коэффициент a2 равным нулю, то и в данном случае тела не будут стремиться к началу координат (см. выше я писал, что модели в Farseer по сути урезанные варианты этой модели). Ну и зачем этот коэффициент тогда нужен, спросите Вы. Если раскрыть скобки в левой части уравнения (1) и вместо слагаемого
a2*α(s)
напишем
a2*(α(s) — α0)
то через α0 мы получим возможность задать положение, к которому игровой объект будет стремиться. Величина коэффициента а2 отвечает за то, насколько быстро тело переместится в заданное положение равновесия (чем больше значение, тем выше жесткость пружины). Как такое реализовывается в Farseer я пока не выяснил, но думаю придется создать дополнительный источник воздействия.
Теперь коэффициент a1. Это коэффициент демпфирования. Чем больше значение этого коэффициента, тем быстрее гасится скорость (линейная или угловая). Аналогия из жизни — вязкие жидкости, такие как масло, мед, эпоксидная смола. Эти жидкости очень вязкие (имеют большое значение коэффициента демпфирования). Чем выше скорость движения тела в них, тем выше сопротивление этому движения. Если медленно двигать в них ложку, например, то преодолеть сопротивление большого труда не составит, а вот если ударить с размаху, то удар будет жестким.
Величина коэффициента а0 характеризует инерцию объекта. При описании линейного движения в качестве коэффициента а0 используется масса. Чем выше его значение, тем медленнее тело набирает скорость при приложении к нему внешних сил.
Теперь о коэффициентах в правой части уравнения (1). Тут нужно заметить, что данная модель расширенная на случай, когда входное воздействие определяется не только самим значением внешней силы, но и ее изменением. Для описания динамики игровых объектов это, возможно, будет излишним. Однако в промышленных системах управление встречаются и такие модели. Каков же их физический смысл? Коэффициент b1 это по сути коэффициент передачи внешней силы вовнутрь объекта. Обычно он равен еденице, т.е. сила передается как есть.
Коэффициент b0 интересен. Он играет роль форсирующего коэффициента. Представьте очень инерционный объект, к которому прикладывают силу, плавно нарастающую со временем. Если скорость нарастания и конечная величина силы будут малы, то объект очень медленно набирать скорость. Но если силу сделать большой, то после достижения внешней силой заданного значения объект не остановится в каком-то положении, а будет колебаться под действием инерции. Форсирование — это воздействие, пропорциональное скорости нарастания внешней силы. Если мы выберем его большим, то даже при малой скорости нарастания внешней силы наш объект будет достаточно быстро набирать скорость, а когда внешняя сила достигнет заданного значения, форсирование отключится. Вот такой вот хитрый этот «b0».

Динамика в картинках

Чтобы наглядно показать влияние коэффициентов дифф. уравнения на поведение динамического объекта решил построить графики переходного процесса при ступенчатом (step response) и импульсном (impulse response) входных воздействиях. Всего представлено 6 групп графиков (по одной группе для каждого коэффициента). Графики построены в пакете Octave (v. 3.4) с установленным пакетом «Signal Processing».
Итак, в качестве исходной возьмем модель вида:
=========================================
>>> w = tf([1 1],[1 1 1])

Transfer function «w» from input «u1» to output…

y1: (s + 1)/(s^2 + s + 1)

Continuous-time model.
=========================================


Код «w = tf([1 1],[1 1 1])» в символьном виде имеет вид:
>>> w = tf([b0 b1],[a0 a1 a2])
На скриншотах внизу-справа — примерное время стабилизации (коридором стабильности считаем ± 5% от заданной величины).

Попробуем поиграться с коэффициентом жесткости a2.
>>> w1 = 0.1*tf([1 1],[1 1 0.1])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 0.1)

>>> w2 = 10*tf([1 1],[1 1 10])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 10)
Примечание: пришлось подшаманить с коэффициентами усиления, чтобы результирующий коэффициент усиления был равен единице.


Что видно на графиках? Слева-направо представлены графики для w, w1 и w2, соответственно. Графики w1 более плавные и медленнее достигают установившегося значения. Графики w2 имеют более колебательный характер, но быстрее достигают установившегося значения. Вывод: жестче пружина — больше колебаний, но короче переходный процесс.

Попробуем поиграться с демпфированием (а1).
>>> w1 = tf([1 1],[1 0.25 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 0.25s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[1 2 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 2s + 1)


Сразу вывод: больше вязкость — быстрее затухают колебания.

Попробуем поиграться с инерцией (а0).
>>> w1 = tf([1 1],[0.1 1 1])
y1: (s + 1)/(0.1s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[2 1 1])
y1: (s + 1)/(2s^2 + s + 1)


Вывод: меньше масса чугуняки — меньше болтанки и короче переходный процесс.

Перейдем к правой части и поиграемся с b1.
>>> w1 = 10*tf([1 0.1],[1 1 1])
y1: (10 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = 0.25*tf([1 4],[1 1 1])
y1: (0.25 s + 1)/(s^2 + s + 1)


Вроде бы разница еле заметна, если смотреть на графики Step Response. Но на графиках Impulse Response хорошо виден эффект этого коэффициента. Если он равен единице, то график импульсного переходного процесса начинается с единицы (на самом деле он выходит из нуля, но не суть важно — второе значение в графике еденица). График w1 «начинается» со значения 10 (обратная величина от 0.1), а график w2 — начинается со значения 0.25 (обратное к 4). Таким образом, коэффициент b1 можно «обозвать» коэффициентом эффективности управления (входного воздействия).

И напоследок вкусненькое — игры с коэффициентом b0. Это хитрый коэффициент, потому и сравнение будет не таким как было выше. Чтобы показать его эффект придется варьровать несколько коэффициентов.
>>> w1 = tf([6 1],[1 1 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([6 1],[1 3 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + 3 s + 1)


Чем отличаются друг от друга w1 и w2? У w2 в три раза больше коэффициент демпфирования. В результате получаем интересные выводы. Графики w1 и w2 раньше пересекают уровень установившегося значения чем дефолтный график. Однако график w1 сохраняет форму дефолтного с его колебательностью, а график w2 за счет увеличенного демпфирования более сглаженный. Таким образом, играясь с форсированием и демпфированием мы можем заставить даже чугунный утюг порхать по рингу как бабочка без колебаний туда-сюда.

На правах PS

В данной статье я рассматривал лишь положительные значения коэффициентов. Их положительность — необходимое условие устойчивости мат. модели. Однако можно попробовать поиграться и с отрицательными значениями. Неустойчивой системой также можно управлять. Вспомните о самолетах пятого поколения (например, наш Беркут). Обратная стреловидность крыла — это неустойчивый планер, но зато высокая маневренность. Автоматика способна скорректировать эту неустойчивость и при этом, когда нужно, закладывать крутые виражи.
Если получится, состряпаю игрушку, с которой можно будет наглядно увидеть все эти эффекты.

Системы дифференциальных уравнений

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями.

Для этого необходимо располагать, вообще говоря, таким же числом уравнений. Если каждое из этих уравнений является дифференциальным, то есть имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений.

1. Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причём в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени.

Линейная система называется нормальной, если она разрешена относительно всех производных

(1)

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Равенства при называются начальными условиями системы дифференциальных уравнений.

Часто начальные условия записывают в виде

Общим решением (интегралом) системы дифференциальных уравнений называется совокупность «n» функций от независимой переменной x и «n» произвольных постоянных C1 , C2 , …,Cn:

(2)

которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.

Чтобы получить частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям , надо из уравнений (2) определить соответствующие начальным условиям значения постоянных C10 , C20 , …,Cn0 .

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения .

Записывается задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений следующим образом

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (1), т. е. функции , (i=1,2,…,n) непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеет в ней непрерывные частные производные .

Тогда каковы бы ни были значения , принадлежащие области D, существует единственное решение системы (1) , удовлетворяющее начальным условиям

.

2. Решение нормальной системы методом исключения.

Для решения нормальной системы дифференциальных уравнений используется метод исключения неизвестных или метод Коши.

Пусть дана нормальная система

Дифференцируем по х первое уравнение системы

Заменяя производные их выражениями из системы уравнений (1), будем иметь

Дифференцируем полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдём

Продолжая далее таким же образом, получим уравнение

Итак, получили систему

(2)

Из первых п-1 уравнений определим y2 , y3 , … , yn , выразив их через

и

(3)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (2), получим уравнения п-го порядка для определения y1 :

(4)

Решив это уравнение, найдём y1

(5)

Дифференцируя последнее выражение п-1 раз, найдём производные

как функции от . Подставляя эти функции в уравнения (4), определим y2 , y3 , … , yn .

Итак, получили общее решение системы (1)

(6)

Чтобы найти частное решение системы (1) удовлетворяющее начальным условиям при

надо найти из уравнения (6) соответствующие значения произвольных постоянных С1 , С2 , … , Сn .

Найти общее решение системы уравнений:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

получаем решение системы:

3. Преобразование дифференциального уравнения порядка п к нормальной системе Коши.

Всякое уравнение п-го порядка

можно привести к системе уравнений первого порядка, если принять

за новые неизвестные функции.

С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Например, отыскание векторных линий поля требует реше­ния системы дифференциальных уравнений. Решение задач динамики криволинейного движения при­водит к системе трех дифференциальных уравнений, в которых неиз­вестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной — время. Позже вы узнаете, что решение задач электротехники для двух электрических цепей, нахо­дящихся в электромагнитной связи, потребует решения системы двух дифференциальных уравнений. Количество подобных примеров легко можно увеличить.

Дифференциальные уравнения физических систем

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику физической системы, получают­ся на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени при­меним к механическим, электрическим, гидравлическим и термодинамическим системам. Рассмотрим крутящуюся систему пружина масса, изображенную на рис. 2.1, к которой приложен момент TJJ). Предположим также, что упругий элемент (пружина) обладает пренебрежимо малой массой по сравнению с диском. Допустим, что нам необходимо изме­рить момент Ts(t), передаваемый массе т. Поскольку согласно допущению пружина не об­ладает массой, то сумма действующих на нее моментов должна равняться нулю, т. е.

откуда имеем Ts (t) = Ти (/). Мы видим, что внешний момент Ta(t), приложенный к концу пружины, передается сквозь этот упругий элемент. По этой причине мы будем называть момент сквозной переменной. Аналогичным образом, разность угловых скоростей кон­цов упругого элемента равна

Эта разность характеризует угловую скорость одного конца упругого элемента относите­льно другого, поэтому мы будем называть ее относительной переменной. Подобные рас­суждения можно сделать и в отношении большинства известных физических переменных (таких как сила, ток, объем, поток и т. п.). В табл. 2.1 приведены сводные данные о сквоз­ных и относительных переменных динамических систем. Информацию относительно Международной системы единиц СИ, применяемой ко многим переменным в этом разде — Л. ле, можно найти на Web-сайте MCS (Modem Control Systems). Например, темпера-

тура в системе СИ измеряется в градусах Кельвина, а длина — в метрах. На этом же Web-сайте приведена таблица соответствий между английской системой единиц и системой СИ. Дифференциальные уравнения линейных динамических элементов с сосре­доточенными параметрами приведены в табл. 2.2. Заметим, что эти уравнения являются идеализированным описанием динамики элементов, т. е. представляют собой всего лишь аппроксимацию их реального поведения (например, когда элемент с распределенными па­раметрами аппроксимируется линейной моделью с сосредоточенными параметрами).

(а) Крутящаяся система пружина-масса;

(б) Упругий элемент

Сквозные переменные: F— сила, Т — момент, / — ток, Q — объемный расход жидкости, q — тепловой поток.

Относительные переменные: v — поступательная скорость, ш — угловая скорость, и — напряжение, Р — давление, Т— температура.

Индуктивные накопители: L — индуктивность, l/k — обратный коэффициент жесткости, 1 — инертность жидкости.

Емкостные накопители: С — емкость, М—масса, J—момент инерции, С/ —жидкост­ная емкость, С, — тепловая емкость.

Рассеиватели энергии: R — сопротивление, b — вязкое трение, Л— гидравлическое со­противление, R, — тепловое сопротивление.

Таблица 2.1. Сквозные и относительные переменные физических систем