Физика дифференциальные уравнения колебаний и их решение

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Интегрированный урок «Приложение дифференциальных уравнений к колебательным системам»

Место урока в программе:

физика: повторение видов колебаний и актуализация знаний перед изучением темы «Электромагнитные колебания»;
математика: обзорный урок «Сложение гармонических колебаний» в разделе «Дифференциальные уравнения».

Урок предназначен для 11-х классов с углубленным изучением физики и математики.

Цели:

Обучающие:

совершенствовать навыки решения экспериментальных задач;
закрепить знания по теме «Механические колебания», дать математическое описание гармонических колебаний;
повторить и обобщить материал по теме «Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами»;
описать гармонические колебания с помощью векторной диаграммы;
изучить сложение гармонических колебаний в некоторых частных случаях.

Воспитательные:

воспитание внимательности, аккуратности, трудолюбия;
привитие навыков работы в группе, уважительного отношения к мнению товарищей.

Развивающие:

развивать коммуникативные способности;
развивать умение соотносить личностную самооценку с оценкой своей работы товарищами и реальной оценкой;
развивать умение оценивать работу других и выставлять аргументированную отметку;
развивать креативность мышления.

Тип урока:

комбинированный с интеграцией математики и физики:
физика: повторение и обобщение по теме «Механические колебания», решение экспериментальной задачи;
математика: повторение гармонических колебаний, приложение дифференциальных уравнений к решению физических задач, изучение нового материала.

Оборудование: ПК, интерактивная доска, мультимедийный проектор, система интерактивного голосования PRS, цифровая лаборатория по физике «Архимед», набор пружин, набор грузов, измерительные инструменты.

Структура урока

Организационный момент — 2мин.
Актуализация знаний — 20мин.
Решение экспериментальной задачи — 20мин.
Эксперимент — 5мин.
Изучение нового материала — 15мин.
Эксперимент — 5мин.
Изучение нового материала — 10мин.
Домашнее задание — 2мин.
Итоги — 4 мин.
Обзор — 5мин.

Резерв времени — 2 мин.

Урок рассчитан на 90 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добиться внимания, сформулировать цели и задачи урока.

2. Актуализация знаний.

Рождённый пустыней,
Колеблется звук,
Колеблется синий
На нитке паук.
Колеблется воздух,
Прозрачен и чист,
В сияющих звёздах
Колеблется лист,

— так видит «Утро» Н. Заболоцкий. «Мир, в котором мы живём, удивительно склонен к колебаниям: Колеблются даже атомы, из которых мы состоим».

— Продолжите фразу: «Колеблется даже :» Ожидаемый ответ: сердце, голосовые связки :

— Какие колебания изображены на доске (слайд 2 Приложения 1)? Ожидаемый ответ: механические.

— Есть ли среди этих колебаний «лишние»? Ожидаемый ответ: электрические и типа «волны», т.к. неизвестен источник появления этих колебаний.

— Назовите виды механических колебаний и приведите примеры (слайд 3 Приложения 1).

Выполняется тест с помощью интерактивной системы голосования PRS (Приложение 2). За правильное решение вопроса можно получить 1 балл. Следовательно, максимальное количество баллов, которое может набрать пара, 8. В течение 30 секунд учащиеся выбирают ответ и нажимают на пульте кнопки от 1 до 5. В конце тестирования на экран выводится результат. Учащиеся вписывают количество правильных ответов в таблицу сопроводительного листа (Приложение 3).

Вопросы теста и правильные ответы приведены в Приложении 2.

3. Решение экспериментальной задачи.

Учащиеся разбиваются на 4 группы для решения экспериментальной задачи. Время работы в группах 20 мин.

Приборы и материалы: пружина, 2 груза массой по 100 г, секундомер и сантиметровая лента.

Постановка задачи:

Определить силу упругости, возникающую при деформации пружины.
Определить жесткость пружины.
Определить период колебаний пружинного маятника.
Определить частоту собственных колебаний системы.
Выдвинуть гипотезу о зависимости периода колебаний пружины от массы груза и жесткости пружины.
Ответить на предложенные вопросы в сопроводительном листе и записать результаты эксперимента в этот лист (Приложение 3).

По окончании эксперимента представитель каждой группы анализирует полученные результаты и заносит их в таблицу на доске (слайд 4 Приложения 1).

Полученные группами результаты комментируются учителем, оценивается их точность. Затем учащимся дается время оценить работу каждого члена группы, выставить отметку в таблице сопроводительного листа (Приложение 3) и обосновать ее.

4. Эксперимент.

Выбираем пружину наименьшей жесткости и с использованием цифровой лаборатории «Архимед», датчиков силы и расстояния, получаем график гармонического колебания.

— Выскажите гипотезу о законе, по которому осуществляются гармонические колебания.

5. Изучение нового материала.

Учащиеся работают в тетрадях параллельно с обсуждением нового материала. Слайд 5 Приложения 1.

Опишем движение тела функцией x(t), выражающей его отклонение от положения равновесия в момент времени t. В начальный момент времени тело находилось в положении равновесия, примем это положение за начало отсчета. Выведем тело из положения равновесия оттянув пружину вниз. Тело начинает двигаться под действием силы упругости, стремящейся вывести его из положения равновесия. По закону Гука

где k — коэффициент упругости пружины, x — отклонение от положения равновесия.

С другой стороны, согласно второго закона Ньютона,

где m — масса тела, a — ускорение.

Вопрос к аудитории: дайте математическую интерпретацию ускорения. Ожидаемый ответ: ускорение — это вторая производная от перемещения по времени.

Приравнивая силы, получим дифференциальное уравнение , — уравнение гармонического колебания.

Вопрос к аудитории: дайте физическую интерпретацию частного . Ожидаемый ответ: это частное является квадратом частоты колебания.

С учетом последнего уравнение гармонического колебания примет вид , а его общим решением является функция , c₁,c₂ — const.

При изучении гармонических колебаний с точки зрения физики движение тела рассматривалось как движение по косинусоиде. Нет ли здесь противоречия с математической моделью? Ожидаемый ответ: нет, так как с помощью тригонометрических формул можно свести это уравнение к уравнению, содержащему только одну из тригонометрических функций (синус или косинус).

Приведем полученное решение дифференциального уравнения к требуемому виду и дадим физическую интерпретацию коэффициентов полученной функции.

Воспользуемся формулой , где , . Тогда или ,

где — амплитуда колебания, j ₀ — начальная фаза.

Исходя из экспериментальных данных х(0)=А, поэтому , следовательно .

Амплитуда и частота определены вами экспериментально. Запишите уравнение движения колеблющегося тела в проведенном вами эксперименте в сопроводительный лист и тетрадь.

Если бы перед нами стояла задача отыскания коэффициентов , то для ее решения пришлось бы находить решение системы уравнений

Так как , то с₁=0, с₂=А.

Переход к слайду 6 Приложения 1.

Если в начальный момент времени грузу была сообщена начальная скорость V₀, то уравнение гармонического колебания имеет вид:

где , причем знак зависит от направления начальной скорости.

В реальных условиях любая колебательная система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими.

Скорость затухания зависит от величины сил трения. Частота свободных затухающих колебаний зависит от скорости затухания: чем больше сила трения, тем ниже частота (это заметно при достаточно большой силе трения).

График затухающего колебания приведен на рисунке 6.

Работа в группах.

Опишите гармонические колебания вашей пружины с помощью уравнений изменения координаты и силы от времени. Ответ занесите в таблицу сопроводительного листа (Приложение 3) и таблицу на доске (слайд 7 Приложения 1).

6. Эксперимент.

Выбираем пружину наибольшей жесткости и с использованием цифровой лаборатории «Архимед», датчиков силы и расстояния, получаем колебания в разных направлениях и проводим анализ получившихся графиков.

7. Изучение нового материала.

Мы уже убедились, что тело колеблется по закону гармонических колебаний. Почему при проведении опыта получен график, отличающийся от графика функции, описывающей гармоническое колебание? Ожидаемый ответ: происходит наложение нескольких гармонических колебаний, осуществляющихся в разных направлениях.

В последнем опыте колебание происходило одновременно в нескольких направлениях. В этом случае гармонические колебания накладываются друг на друга, для получения уравнения движения тела его колебания по разным направлениям приходится складывать. Наиболее часто рассматривают сложение двух колебаний в следующих ситуациях:

Сложение двух колебаний

— одного направления:

одинаковой частотой и разными амплитудами,
с одинаковыми амплитудами с разными частотами,
с разными амплитудами и частотами;

Рассмотрим движение материальной точки против часовой стрелки по окружности радиуса А с центром в начале координат (слайд 9 Приложения 1). Тогда координаты точки в любой момент времени выражаются через угол поворота j по формулам

Угол поворота j в том случае, когда в начальный момент времени t=0 точка М находилась на оси Ох, равен

j =w t=.

Если в начальный момент времени тело не находится в точке А(а;0), то необходимо добавить начальный угол j ₀ (начальная фаза), т.е.

где — фаза колебания.

Таким образом, проекции точки М на оси Ох и Оу совершают гармонические колебания, имеющие одинаковые направления и частоты. Поэтому гармоническое колебание проекции точки М на оси Ох можно интерпретировать как колебание проекции вектора , равномерно вращающегося вокруг начала координат, на ось Ох. Эта проекция называется векторной диаграммой гармонического колебания с амплитудой А, частотой w и начальной фазой j ₀.

Сложение колебаний одинаковых частот

Рассмотрим сумму двух колебаний, заданных уравнениями (слайд 10 Приложения 1)

с одинаковой частотой и разными амплитудами.

Сумму колебаний можно рассматривать как сумму векторов . Так как векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью, то весь параллелограмм вращается как жесткая фигура, тогда его диагональ вращается с той же угловой скоростью, следовательно, абсцисса точки М совершает гармонические колебания, причем по теореме косинусов из треугольника ОММ₁

поэтому — уравнение суммы двух гармонических колебаний с одинаковой частотой.

Следующий слайд 11 Приложения 1.

1. Колебания находятся в фазе: j ₀₂=j ₀₁. В этом случае колебания взаимно усиливаются

2. Колебания находятся в противофазе: j ₀₂ — j ₀₁=+ p . Колебания частично гасят друг друга:

Если амплитуды равны, то колебания гасятся полностью.

Сложение колебаний разных частот

Если частоты колебаний разные, то результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. В этом случае результирующее колебание не является гармоническим.

Если амплитуды складываемых колебаний и начальные фазы равны, т.е. , то уравнение суммы этих колебаний имеет вид

Период такого колебания вычисляется по формуле .

С точки зрения физики такая кривая называется виброграмма, а явление вибрация.

8. Домашнее задание.

Найти сумму гармонических колебаний , . Рассчитать по данным уравнениям период, частоту, амплитуду и построить графики (слайд 13 Приложения 1).

9. Итоги урока

Работа в группах.

Учащиеся оценивают работу товарищей при изучении нового материала по математике, выставляют оценки в таблицу сопроводительного листа (Приложение 3), затем учитель подводит итоги и выставляет отметки.

Учащиеся формулируют теоретические и экспериментальные задачи, решенные на уроках, и основные результаты. Ответ учащихся комментируется учителем.

10. Обзор.

Этот урок был проведен в рамках РМО по теме «Использование информационных технологий на уроках физики и математики» и получил положительную оценку со стороны преподавателей района.

Замечание. При подготовке презентации в ряде случаев использовались рисунки и анимации, найденные на различных сайтах. К сожалению, ссылки на настоящий момент не сохранились.

Физика дифференциальные уравнения колебаний и их решение

Физика

В данной методической разработке колебания и волны – чрезвычайно обширная область физических явлений. Колебания (в механических и электромагнитных системах), волны (упругие и электромагнитные) — это учебный материал, который необходим для изучения специальных технических дисциплин в электротехническом ВУЗе.

Изучение колебаний начинается с изучения механических колебаний в различных механических колебательных системах. Использование электромеханических аналогий позволяет изучать электромагнитные колебания с точки зрения общих признаков колебаний, объединяя поведение механических и электромагнитных систем. Затем рассматриваются колебания связанных систем. Методически правильно и удобно начать изучение колебательных процессов с довольно простых систем с небольшим числом степеней свободы, а затем перейти к системам с бесконечно большим числом степеней свободы, какими являются волны.

Волны на воде, сейсмические, звуковые, световые, радиоволны – это далеко не все волновые процессы в природе. Главная цель данной разработки – ознакомление студентов с основными идеями, общими для всех волновых явлений, т.е. и для электромагнитных, и для упругих волн.

Некоторые вопросы прикладного характера или вопросы, связанные с уточнением применяемого математического аппарата, вынесены в приложения.

В конце работы приведен список литературных источников, из которых 2 — учебники, рекомендованные для ВУЗов, 5 – дополнительная литература по разделу “Колебания и волны”, 8 – справочники, 13 – методические разработки кафедры.

1. Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом . Математически это записывается так:
.

2. В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

— механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

— электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

— электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

3. Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

4. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой .

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями .

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями .

5. Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
уравнение колебаний;
амплитуда;
частота или период колебаний;
фаза;
начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

Глава 1. СОБСТВЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

§1.1. Механические гармонические колебания.

1. В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник : маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l 0 . Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести . Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника . Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

Знак минус означает, что направление силы F упр. и направление смещения х противоположны. F упр. — сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы ( чем больше смещение, тем больше F упр. ).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями .

Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

2. Дифференциальное уравнение , соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона m a = F .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
,
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина , обозначим ее , получим

3. Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими .

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. .
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде .

4. В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

5. Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде .

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:

Величина Аω 0 называется амплитудой скорости . Амплитуда – величина положительная (по определению).

Величина Аω 0 2 – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

6. Так как собственные колебания в идеальной системе происходят без внешних воздействий, то колебательная система является замкнутой и для нее выполняется закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия пружинного маятника равна:

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой силы, равна:

Кинетическая энергия пружинного маятника равна

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна

Частота изменений кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии .

Графики физических величин в зависимости от времени представлены на Рисунке 1.2 в пределах двух периодов колебаний (начальная фаза взята равной нулю α = 0).

Рисунок 1.2 – Графики смещения (х), скорости (v), ускорения (а) в зависимости от времени t

§1.2. Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.

Решения дифференциального уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для данной конкретной колебательной системы можно сделать, если задать ее поведение в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения равновесия равно х 0 , а начальная скорость v 0 . Гармоническое колебание описывается уравнением .

При t = 0 имеем два уравнения:

Возведя в квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение для начальной фазы:

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий колебательной системы.

§1.3. Свободные гармонические колебания в LC-контуре.

1. Электромагнитный контур состоит из плоского конденсатора емкостью С и катушки индуктивности (соленоида) с индуктивностью L. Такой контур называется идеальным контуром с распределенными параметрами . Конденсатор зарядили, на одной пластине заряд +q, на другой (–q). Рассмотрим процессы в LC – контуре за время T, называемое периодом колебаний.

Момент времени t = 0. Конденсатор заряжен, ключ “К” разомкнут, ток в контуре не идет:
I = 0, ,

Ключ замкнут, по цепи идет ток разрядки до тех пор, пока не выровняются потенциалы обкладок конденсатора. При

Когда конденсатор разрядится, ток разрядки прекратится. Магнитное поле в катушке индуктивности, не поддерживаемое током, начнет уменьшаться. Уменьшение магнитного поля вызовет уменьшение магнитного потока сквозь площадь катушки, возникнет ЭДС индукции. По цепи контура пойдет индукционный ток того же направления, что и ток разрядки (правило Ленца). Это приведет к перезарядке конденсатора. При

Направление тока разрядки в контуре изменится. Ток разрядки будет идти по цепи до выравнивания потенциалов на обкладках конденсатора.

При t = T система вернется в исходное положение.

В рассмотренном LC – контуре происходит превращение энергии из одного вида в другой и обратно, полная энергия контура — величина постоянная .

Периодические изменения вектора напряженности Е электрического поля и вектора магнитной индукции В магнитного поля в закрытом колебательном LC – контуре называется электромагнитными колебаниями .

2. Используем 2-й закон Кирхгофа для получения дифференциального уравнения электромагнитных колебаний.

Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжений на всех его участках равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (2-ой закон Кирхгофа).

Падение напряжения на обкладках конденсатора в LC – контуре равно

где q – величина заряда на обкладках, С – емкость конденсатора. ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, определяется формулой: (закон Фарадея для самоиндукции).

Второй закон Кирхгофа для LC – контура имеет вид:

По определению сила тока равна первой производной по времени от заряда , тогда .

Преобразуем уравнение 2-ого закона Кирхгофа, получим

Обозначим , получим окончательно уравнение вида:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решениями которого являются уравнения:

И дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний, и его решения подобны тем, которые получены для механической системы (пружинного маятника).

Величины, входящие в уравнения электромагнитных колебаний, имеют следующий смысл:

q 0 – амплитуда заряда – максимальный заряд конденсатора;

q – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени (t = 0).

Циклической частотой периодических колебаний в LC – контуре является величина .

Период колебаний равен ( формула Томсона ).

Определим зависимость силы тока, ЭДС и энергии колебаний от времени в LC – контуре. Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора возьмем в виде:

Сила тока в контуре определяется соотношением:

Величину называют амплитудой силы тока.

Уравнение для ЭДС имеет вид:

Величина – амплитуда ЭДС .

Электрическая и магнитная энергия изменяется согласно уравнениям:

Полная энергия колебаний в LC — контуре не зависит от времени (закон сохранения энергии).

Графики зависимостей от времени t физических величин, характеризующих электромагнитных колебаний в LC – контуре, аналогичны графикам для механических колебаний (см. Рисунок 1.2).

Если заряд на обкладках изменяется по закону , т.е. начальная фаза α = 0, то его график такой же как график смещения.

Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд конденсатора, только амплитуда напряжения будет другой .

Изменение силы тока аналогично изменению скорости тела при механических незатухающих колебаниях. W эл. изменяется как W пот. , а W магн. — как W кин. .

§1.4. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

Решение многих вопросов в теории колебаний значительно упрощается, если использовать графический метод изображения гармонических колебаний в виде векторов на плоскости. Такое изображение называется векторной диаграммой колебаний (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Векторная диаграмма гармонического колебаний .

Последовательность построения векторной диаграммы колебания, заданного уравнением , такова:

Выберем на плоскости ось Х, на ней возьмем точку О – начало координат.
Под углом α, равном начальной фазе колебаний, к оси Х, из точки О откладываем вектор, равный по длине амплитуде А колебаний.
Вектор А равномерно вращаем вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний.

Тогда в любой момент времени угол вектора А с осью Х равен . Соответственно проекция конца вектора А на ось Х будет совершать колебания по закону , а сама проекция вектора А в любой момент времени будет равна смещению х колеблющейся точки от положения равновесия. Если начальная фаза колебаний , то в начальный момент времени вектор А откладываем из точки О вдоль направления оси Х.

Глава 2. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

§2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления.

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А 1 (t) и А 2 (t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А (t) может быть найдена по теореме косинусов:

Фаза результирующего колебания задается формулой:

Если частоты складываемых колебаний ω 1 и ω 2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А (t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x 1 и x 2 называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени:

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А 1 и А 2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то , т.е. результирующая амплитуда будет минимальной . Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе . При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной . В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе , т.е. были синфазны . Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами .

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω 1 , и ω 2 . Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k 1 и k 2 .

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы , а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

Результирующее колебание описывается уравнением:

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω 1 или ω 2 ). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями . Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х рез. при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ б , называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

Величина — период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Складываемые колебания имеют вид:

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

Рисунок 2.3.а

Рисунок 2.3 б

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω 0 , амплитуда определяется соотношением:

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

(знак “плюс” – случай а, знак “минус” – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным .

в) Если (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны и (Рисунок 2.4 ).

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний .

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами .

Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны , но , , где a и b – целые числа.

Периоды колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно равны и . Отношение периодов .

Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.

Глава 3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

§3.1. Механические затухающие колебания.

Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник :

Упругая сила . , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

m a = F упр. + F сопр.

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:

В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных.

Частота затухающих колебаний :

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний :

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

Амплитуда затухающих колебаний :

, для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.

Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.

Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

§3.2. Электромагнитные затухающие колебания.

Электромагнитные затухающие колебания возникают в э лектромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

— на активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;

— на конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.

ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: (закон Фарадея).

Подставим значения U R , U C , в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:

Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:

Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:

Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:

Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:

Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:

Период затухающих электромагнитных колебаний:

Возьмем уравнение для заряда в виде , тогда уравнение для напряжения на обкладках конденсатора можно записать так
.

Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе .

Ток в контуре меняется со временем. Уравнение для силы тока в контуре можно получить, используя соотношение и векторную диаграмму.

Окончательное уравнение для силы тока таково:

где — начальная фаза.

Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.

Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля

и энергии магнитного поля

Полная энергия в любой момент времени:

где W 0 – полная энергия контура в момент времени t=0 .

§3.3. Характеристики затухающих колебаний.

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ — физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность электромагнитной системы LCR – контура при малом затухании колебаний равна , а добротность пружинного маятника — .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшает-ся, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так: , откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

Для LCR – контура условие позволяет вычислить критическое сопротивление контура , при котором колебания потеряют свою периодичность:

Глава 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными .

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

§4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя ( вынуждающая ) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 – сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0 ) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен .

График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2. Электромагнитные вынужденные колебания .

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, — это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции ( ). Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

где U C , U R – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.

Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, — ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:

Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:

Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений , ) примет вид:

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе. Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью , поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы. Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника:

φ 0 — сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

§4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Учитывая значение , , , получим формулы для φ 0 и А ампл. механической системы:

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми .

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):

5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:

где — амплитуда силы тока, ψ 0 – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ 0 находятся по формулам:

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:

Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:

Подставим выражения в дифференциальное уравнение:

Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:

Решением уравнения являются функции , .

Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:

Хотя Международная система единиц рекомендуется для всех областей науки и техники, в акустике широкое применение сохранила система СГС. Ниже мы приводим важнейшие акустические величины в СИ и даем их связь с системой СГС.

Таблица 2 -Объективные характеристики механических волновых процессов.

Величина и ее обозначение

Уравнение для определения единицы измерения

Единица измерения

Сокращенное обозначение

Частота

Звуковое давление р

ньютон на квадратный метр

(паскаль)

Плотность звуковой энергии

джоуль на кубический метр

Поток звуковой энергии (звуковая мощность)

Интенсивность звука I

Ватт на квадратный метр

В таблице 3 приведены некоторые акустические единицы системы СГС и их связь с единицами СИ.

Величина

Единица измерения и ее связь с единицами СИ

Звуковое давление

Плотность звуковой энергии

Звуковая мощность

Интенсивность звука

Для характеристики величин, определяющих восприятие звука, существенными являются не столько абсолютные значения интенсивности звука и звукового давления, сколько их отношение к некоторым пороговым значениям. Поэтому вводятся понятие относительных уровней интенсивности и звукового давления.

Для того, чтобы звуковая волна воспринималась на слух, необходимо, чтобы ее интенсивность превышала бы минимальную величину , называемую порогом слышимости. Величина различная для разных частот. Для частоты порог слышимости составляет величину порядка . Опытом установлено, что на каждой частоте есть верхняя граница силы звука , при превышении которого у человека возникают болевые ощущения. Величина называется порогом болевого ощущения.

Уровень интенсивности (уровень силы звука) равен десятичному логарифму отношения интенсивности звука при данной частоте к интенсивности звука при той же частоте на пороге слышимости:

Уровень громкости равен десятичному логарифму отношения интенсивности звука при данной частоте к интенсивности звука при частоте 1000 Гц на пороге слышимости:

Единицей измерения уровня интенсивности является бел (Б): . Одна десятая часть бела называется децибел (дБ): 0,1Б = 1дБ. Формула для определения уровня интенсивности в децибелах примет вид:

Если записать формулу для уровня громкости в виде , то единицей измерения в СИ при таком определении величины является, единица, имеющая название фон . При частоте 1000 Гц шкала фонов и децибел совпадают, для других частот они различны.

Уровень звукового давления равен произведению 20 на логарифм отношения звукового давления при данной частоте к звуковому давлению на пороге слышимости. Единицей измерения в данном случае является децибел.

Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1980, т 1, с.307.
Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1981 т 2, с.295.
Яворский Б.М., Детлаф. Физика. – М.: Дрофа, 1998, с.795.
Ф.Крауфорд. Берклиевский курс. Волны. – М.: Наука, 1974,с.527.
Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1964, с.666.
Александров Н.В., Яшкин А.Я. Механика. – М.: Просвещение, 1978, с.416.
Советский энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1985.
Физический энциклопедический словарь. –М.: Советская энциклопедия, 1984.
Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. – М.: Наука, 1977, с.335.
Математическое введение в курс физики (часть 1). Под редакцией Пинегиной Т.Ю. – Новосибирск: Издательство СибГУТИ, 1998, с.72.
Лисейкина Т.А., Пинегина Т.Ю., Серебрякова Т.К., Хайновская В.В. Методические указания по курсу физики для студентов заочников. – Новосибирск: Издательство НЭИС, 1992, с.57.
Лисейкина Т.А., Пинегина Т.Ю.. Методические указания к решению задач по курсу физики средней школы (часть 2). – Новосибирск: Изд-во СибГУТИ, 1998, с.45.
Сборник индивидуальных заданий по физике (часть 2). Под редакцией Серебряковой Т.К. – Новосибирск: Изд-во СибГУТИ (в печати).
Физика в задачах, вопросах и ответах (часть 1). – Новосибирск: Издательство НЭИС, 1991, с.112.
Физика в задачах, вопросах и ответах (часть 2). – Новосибирск: Издательство НЭИС, 1992, с.89.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/521390

http://s1921687209.narod.ru/2sem/course129/koleb/koleb.htm