Физика как решать задачи с уравнением

Решение задач на теплообмен с использованием уравнения теплового баланса (методические рекомендации)

Разделы: Физика

Пособие рекомендовано учащимся, желающим получить практические навыки в решении задач на теплообмен, и может быть полезным для учителей и абитуриентов.

При соприкосновении тел, имеющих разные температуры, между этими телами происходит теплообмен. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, это объясняется так: молекулы более нагретого тела имеют большую кинетическую энергию, чем молекулы тела, менее нагретого. При “столкновениях” молекул соприкасающихся тел происходит процесс выравнивания их средних кинетических энергий. Молекулы более нагретого тела теряют часть своей кинетической энергии, при этом нагретое тело будет остывать. Кинетическая энергия молекул холодного тела возрастает, поэтому температура этого тела будет увеличиваться. В конечном итоге кинетические энергии молекул обоих тел сравняются, и температуры тел станут одинаковыми. На этом теплообмен прекращается.

Энергию, которую тело получает или отдаёт в процессе теплообмена, называют количеством теплоты (Q).

Количество теплоты, как и все другие виды энергии, измеряется в системе СИ в Джоулях: [Q] = Дж. (Здесь и в дальнейшем единицы измеряются в системе СИ.)

Нагревание или охлаждение

При нагревании или охлаждении тела количество теплоты, поглощаемое или выделяемое им, рассчитывается по формуле:

(t₂ – t₁) – разность температур тела,° С (или К);

с – удельная теплоёмкость вещества, из которого состоит тело,

Удельная теплоёмкость вещества – это количество теплоты, которое нужно сообщить одному килограмму данного вещества, чтобы увеличить его температуру на 1° С (или это количество теплоты, которое выделяет один килограмм данного вещества, остывая на 1° С).

Значения удельных теплоемкостей других веществ можно найти в справочниках, а также в школьном учебнике или задачнике.

При нагревании тела его внутренняя энергия увеличивается. Это требует притока энергии к телу от других тел. Значит, оно поглощает некоторое количество теплоты, принимая его от других тел, участвующих в теплообмене.

При охлаждении тела его внутренняя энергия уменьшается. Поэтому остывающее тело отдаёт кому-либо некоторое количество теплоты.

Обычно конечную температуру, установившуюся в результате теплообмена, обозначают греческой буквой (тэта).

В формуле (1) произведение cm для каждого конкретного тела есть величина постоянная. Её называют теплоёмкостью тела и обозначают С:

Размерность теплоемкости: Теплоемкость тела показывает, сколько энергии нужно подвести к данному телу, чтобы нагреть его на 1° С (или сколько энергии выделяет это тело, остывая на 1° С).

Теплообмен между телами, имеющими одинаковые температуры, не происходит, даже если контактируют вещества, находящиеся в разных агрегатных состояниях. Например, при температуре плавления (0° С) лёд и вода могут находиться бесконечно долго, при этом количество льда и количество воды останутся неизменными. Аналогично ведут себя пар и жидкость, находящиеся при температуре кипения. Теплообмен между ними не происходит.

Плавление или кристаллизация

Если при нагревании тела его температура достигнет температуры плавления, то начинает происходить процесс перехода этого вещества из твердого состояния в жидкое. При этом идут изменения в расположении и характере взаимодействия молекул. Температура при плавлении не изменяется. Это означает, что средние кинетические энергии молекул жидкости и твердого тела при температуре плавления одинаковы. Однако внутренняя энергия тела при плавлении возрастает за счет увеличения энергии взаимодействия молекул. Количество теплоты, поглощаемое телом при плавлении, рассчитывается по формуле

(3)

где m – масса тела, кг;

– удельная теплота плавления,

При кристаллизации, наоборот, внутренняя энергия тела уменьшается на величину и эта теплота данным телом выделяется. Она поглощается другими телами, участвующими в теплообмене.

Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму данного вещества, взятого при температуре плавления, чтобы полностью превратить его при этой температуре в жидкость (или сколько энергии выделяет 1 кг жидкости, взятой при температуре кристаллизации, если вся она при этой температуре полностью превратится в твёрдое тело).

Удельную теплоту плавления любого вещества можно найти в справочниках. Для льда же

Температура плавления у каждого вещества своя. Её также можно найти в справочниках. Важно подчеркнуть, что температура плавления вещества равна температуре кристаллизации этого же вещества. У льда t_пл = 0° С.

Кипение или конденсация

При достижении жидкостью температуры кипения начинает происходить другой фазовый переход – кипение, при котором расстояния между молекулами значительно увеличиваются, а силы взаимодействия молекул уменьшаются. Вся подводимая к жидкости теплота идет на разрыв связей между молекулами. При конденсации пара в жидкость, наоборот, расстояния между молекулами значительно сокращаются, а силы взаимодействия молекул увеличиваются. Для кипения жидкости энергию к жидкости нужно подводить, при конденсации пара энергия выделяется. Количество теплоты, поглощаемое при кипении или выделяемое при конденсации, рассчитывается по формуле:

где m – масса тела, кг; L – удельная теплота парообразования,

Удельная теплота парообразования показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму жидкости, взятой при температуре кипения, чтобы при этой температуре полностью превратить её в пар (для конденсации: сколько энергии выделяет один килограмм пара, взятого при температуре конденсации, полностью превращаясь в жидкость).

При одинаковом давлении температура кипения и температура конденсации одного и того же вещества одинаковы.

Температуры кипения и удельные теплоты парообразования также можно найти в справочниках. Для воды же они соответственно равны: рис. 9 (при нормальном атмосферном давлении).

Уравнение теплового баланса

Тела, участвующие в теплообмене, представляют собой термодинамическую систему. Термодинамическая система называется теплоизолированной, если она не получает энергию извне и не отдаёт её; теплообмен происходит только между телами, входящими в эту систему. Для любой теплоизолированной системы тел справедливо следующее утверждение: количество теплоты, отданное одними телами, равно количеству теплоты, принимаемому другими телами.

Это утверждение описывает частный случай закона сохранения и превращения энергии в применении к процессу теплообмена. А формула (5) является одним из видов уравнения теплового баланса.

При решении задач с помощью данного вида уравнения теплового баланса в формуле (1) в качестве t₂ следует брать большую температуру, а в качестве t₁ – меньшую. Тогда разность (t₂ – t₁) будет положительна и всё произведение cm(t₂–t₁) также будет положительным. Все теплоты, отданные и полученные, будут положительными.

Уравнение теплового баланса можно записать и в таком виде:

где n – количество тел системы.

Алгебраическая сумма всех количеств теплоты (поглощенных и выделенных) в теплоизолированной системе равна нулю.

Q₁, Q₂, …, Q_n – это теплоты, поглощаемые или выделяемые участниками теплообмена. Очевидно, что в этом случае какие-то теплоты должны быть положительны, а какие-то – отрицательны. При записи уравнения теплового баланса в виде (6) всегда t₂ – конечная температура, а t₁ – начальная.

Если тело нагревается, то разность (t₂ – t₁) положительна и все произведение cm(t₂ – t₁) положительно. То есть Q > 0 тогда, когда теплота к данному телу подводится.

А если t₂ 0; если тело выделяет энергию (кристаллизация, конденсация), то Q

	Проведём анализ: Вода и калориметр находились в тепловом равновесии, поэтому они имели одинаковую температуру: t1 = t2 = 20° С. При опускании в воду с температурой 20° С свинцового тела с температурой 90° С между водой и свинцом будет происходить теплообмен. Свинец будет остывать, а вода — нагреваться. В этом же процессе участвует и калориметр, который, как и вода, будет тоже нагреваться.
	Изменение температур тел с течением времени удобно изображать на графике зависимости t(t ). Отрезок АВ соответствует графику изменения температуры свинцового тела. Стрелка, идущая от него, показывает, что, остывая, свинец выделяет энергию Q3.
Два параллельных отрезка СВ соответствуют графикам изменения температур калориметра и воды. Стрелки, идущие к ним, показывают, что для нагревания калориметра и воды требуется энергия Q1 и Q2, которую они поглощают.
Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (5):

Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (6):

Ответ: Вода нагреется до 24° С.

Предлагаю читателю самостоятельно сделать проверку размерности.

Физика как решать задачи с уравнением

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. составить уравнение движения тела.

Проекцию вектора скорости определяем по графику, выбрав любой удобный для рассмотрения отрезок времени.
Здесь удобно взять t=4c

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Подставляем в нее найденный коэффициент V_x (не забываем о минусе!).
Начальная координата тела (X_о) соответствует началу графика, тогда X_о=3

Составляем описание движения тела:

Желательно сделать чертеж, это поможет не ошибиться!
Не забываем, что все физические величины имеют единицы измерения, их необходимо указывать!

Тело движется прямолинейно и равномерно из начальной точки X_о=3м со скоростью 0,75 м/с противоположно направлению оси X.

Задача на определение места и времени встречи двух движущихся тел (при прямолинейном равномерном движении)

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1. уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1. на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Для проверки полученных графическим способом ответов можно решить систему уравнений из двух заданных
уравнений движения:

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!

Задачи на составление описания движения тела и построение графиков движения по заданному уравнению прямолинейного равномерного движения

Задача 1

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Заданное уравнение сравниваем с формулой и определяем коэффициенты.
Не забываем делать чертеж, чтобы еще раз обратить внимание на направление вектора скорости.

Задача 2

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 3

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 4

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Тело находится в состоянии покоя в точке с координатой X=4м (состояние покоя — это частный случай движения, когда скорость тела равна нулю).

Задача 5

Дано:
начальная координата движущейся точки xo=-3 м
проекция вектора скорости Vx=-2 м/с

Найти:
1. записать уравнение движения
2. построить график движения
3. показать на чертеже векторы скорости и перемещения
4. найти координату точки через 10 секунд после начала движения

«Решение физических задач с помощью линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Интегрированный урок по математике и физике

учителя математики высшей категории СШ № 8

Хриенко Елены Ивановны

в 7 классе по теме:

«Решение физических задач с помощью

Цель: использование линейных уравнений для решения задач на движение.

— повторить взаимосвязь таких физических величин, как скорость, время, путь;

— повторить единицы измерения этих величин (основные и производные);

— закрепить навыки решения физических задач с данными величинами;

— научить решать задачи на движение с помощью линейных уравнений;

— развитие умений: обобщать, сравнивать, анализировать;

— развитие познавательного интереса к предметам;

— развитие внимания, памяти, речи;

— развивать умение слушать других;

— организовать свою деятельность в ходе самостоятельной работы в группах.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, раздаточный материал.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, дорогие гости и ребята. Я рада видеть ваши лица и ваши улыбки.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Друг на друга посмотрели

И тихонько дружно сели.

I. Вводная часть:

Сегодня на уроке мы будем работать группами. Перед вами лежит лист самооценивания. Выберите капитана команды и подпишите лист самооценивания.

На доске написаны слова: МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА

Прежде чем перейти к теме нашего урока, проверим домашнее задание.

Ребята, при выполнении домашнего задания, у вас были сложности? … Тогда, давайте проверим, как вы выполнили домашнее задание. (к доске выходят 2 ученика, решают уравнения из №138 (а,г)).

2. Актуализация знаний.

Работа с классом.

1. Какое уравнение называется линейным?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида

где а, в – некоторые числа, х – переменная.

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

3. Что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Сверьте решение и в лист самооценивания за каждое правильно решенное уравнение поставьте 1 балл в графу «Д/з».

Как вы думаете, где используются линейные уравнения? (При решении задач)

На доске записаны два слова: физика и математика. Они написаны здесь не случайно. Сегодня на уроке мы убедимся, что две науки: математика и физика тесно связаны друг с другом и им друг без друга, нельзя существовать.

Ребята давайте вместе с вами определим тему нашего урока, разгадав ребус.

Да, ребята, тема нашего урока «Решение физических задач с помощью линейных уравнений».

Поэтому эпиграфом к уроку я выбрала высказывание М.В.Ломоносова:

«Математика — царица всех наук, но служанка физики. »

Итак, откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.

Цель нашего урока — научиться решать задачи физического содержания на взаимосвязь физических величин S, V , t с помощью линейных уравнений.

Для этого нам необходимо повторить формулы для вычисления скорости, пути, времени.

2.Скорость 2. S : V

Занесите в лист самооценивания в графу «Формулы» за каждый правильный ответ 1 балл.

Каждая физическая величина имеет свою единицу измерения.

(Сообщение о системе СИ)

4. Первичное усвоение новых знаний.

Теперь переходим к решению задач.

В лесу мимо пня, на котором сидел серый волк из мультфильма «Ну, погоди!» в 20.00 пробежал заяц со скоростью 50 км\ч. Через некоторое время в 20.06 серый волк пустился в погоню со скоростью 65 м/ч. Сколько времени понадобится волку, чтобы догнать зайца?

Учитель: При обсуждении решения задачи заполним таблицу

65 х

50(х+0,1)

Беседа с классом

1. Что можно сказать о скорости волка и зайца? (Они известны: у волка — 65 км/ч, у зайца – 50 км/ч) Запишите в таблицу.(Работа с 1 группой)

2. Что можно сказать о времени движения волка и зайца? (Оно разное)

— Кто был в пути дольше — волк или заяц? (Заяц)

— На сколько дольше? (На 6 мин)

— Можно ли правильно решить задачу в различных единицах измерения времени? (Нет, 6 мин необходимо перевести в часы)

Ученик работает у доски (капитан 2 группы)

6 мин = 6/60 ч= 1/10 ч=0,1 ч

— Какое время возьмём за х? (Наименьшее — время движения волка)

-Тогда какое время был в пути заяц? (На 0,1 ч больше, т.е. (х+ 0,1) ч)

Запишите в таблицу. (Работа со 2 группой)

3. Поговорим о пути.

Для того чтобы найти путь примените формулу S = V * t

Волк пробежал 65х км, заяц- 50(х+0,1) км. Запишите в таблицу.

Что можно сказать о пути волка и зайца? (Они прошли одинаковый путь). (Работа с 3 группой)

Ребята, а теперь давайте составим описание задачи. Пусть х ч – время движения Волка, тогда время движения Зайца – (х+0,1) ч. Используя формулу S = V * t , найдем путь, пройденный Волком – 65х км, а путь, пройденный Зайцем – 50(х+0,1) км. Зная, что эти расстояния одинаковые, составим и решим уравнение. (С обратной стороны доски работает ученик, (капитан 1 группы) а остальные решают уравнение самостоятельно) Выделены ключевые слова.

х= 5/15 ч= 1/3 =1/3*60 мин = 20 мин

Сверьте ответ с ответом на доске и занесите в оценочный лист 2 балла за правильно решенное уравнение в графу «Задача 1»

Сформулируйте основные этапы решения задач с помощью линейных уравнений. Сравните этапы с учебником стр. 32 (Учебник)

Встанем, глубоко вздохнем.

Руки в стороны, вперед,

Влево, вправо – поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили!

Перейдем к рассмотрению решения задач на движение по течению и против течения.

Предлагаю посмотреть видеоролик (10 мин)

По ходу просмотра видеоролика сделайте запись в тетради по плану:

1. Заполнить таблицу.

2. Описание к составлению уравнения.

3. Решить уравнение (самостоятельно).

4.За правильно решенное уравнение внесите 2 балла в оценочный лист в графу «Задача 2».

С обратной стороны доски капитан 3 команды решает уравнение.

Составить уравнение к задаче часто бывает сложнее, чем её решить. Итак, выполним следующее упражнение. Вам предстоит выбрать к задаче правильный ответ из 4 предложенных. (Работа в группах, ученики выбирают правильный ответ).

5. Первичное закрепление.

Лодка плыла 4 часа по реке против течения, за это время она проплыла 30 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

2. 4х* 3=30 4. 30-4*(х+3) =0

За правильно выбранный ответ поставьте 2 балла в оценочный лист в «Задача 3»

Капитаны команд выходят для жеребьёвки и выбирают конверт с задачей.

Составить уравнение группой, а решить – самостоятельно.

Каждая из групп получила задачу на нахождение одной из величин ( V , S , t ). Выполняете самостоятельно работу в тетрадях. Время выполнения 10 минут.

В 12 часов из города выехал мотоциклист со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 100км/ч. Сколько времени понадобилось автомобилю, чтобы догнать мотоциклиста?

За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Лодка может проплыть расстояние между двумя пристанями А и Б за 4 часа по течению и за 8 часов против течения реки. Найдите расстояние между пристанями, если скорость течения 2 км/ч.

По истечению времени учащиеся сдают тетради.

Время истекло, закройте тетради, возьмите лист самооценки и внесите в колонку «Устные ответы» за каждый правильный устный ответ 1 балл и подсчитайте общее количество баллов и согласно критериям оценивания, которые вы видите на экране, поставьте оценку. Лист самооценивания сдаёте вместе с тетрадями.

А теперь давайте вспомним, задачи какого типа мы решали на уроке?

Мы определили, какая взаимосвязь существует между такими физическими величинами, как скорость, время, путь;

повторили единицы измерения этих величин (основные и производные); закрепили навыки решения физических задач с данными величинами; научились решать задачи физического содержания с помощью линейных уравнений.

Выучить параграф 3 пункт 8, решить задачу №155.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил их и задал каждому один и тот же вопрос «Что ты делал целый день?». Первый ответил, что целый день возил эти проклятые камни. Второй сказал: «Добросовестно выполнял свою работу», а третий: «Строил храм».

Ребята, вот и я задаю каждому из вас тот же вопрос: «Что ты делал целый урок?».

Кто из вас считает, что таскал тяжелые камни — поднимите желтые треугольники, добросовестно работал – зеленые, строил храм знаний – красные.

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились ,

И знания точно уж вам пригодились.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 416 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.01.2021
• 117
• 0

• 27.01.2021
• 110
• 1

• 27.01.2021
• 282
• 4

• 27.01.2021
• 171
• 19

• 27.01.2021
• 194
• 13

• 27.01.2021
• 65
• 1

• 27.01.2021
• 62
• 1

• 27.01.2021
• 4769
• 82

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.01.2021 244
• DOCX 80.9 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хриекно Елена Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 279
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки