Физико математическая модель системы виды уравнений их назначение

Тема 1.1. Основы моделирования. Виды моделей.

Оглавление | Назад| Далее | Глоссарий понятий

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Мы под «моделью» будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель — результат отображения одной структуры на другую. Отобразив физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическуюмодель системы, или математическую модель физической системы.

Пример 1.1.1

Рассматривая физическую систему: тело массой m, скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F, Ньютон получил соотношение F = mа. Это физико-математическая модель системы, или математическая модель физической системы. При

описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы:

1. поверхность идеальна (т. е. коэффициент трения равен нулю);

2. тело находится в вакууме (т. е. сопротивление воздуха равно нулю);

3. масса тела неизменна;

4. тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.

Пример 1.1.2

Физиологическая система — система кровообращения человека — подчиняется некоторым законам термодинамики. Описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Информация — это абстракция.
Модель — это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.
Моделирование — тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

· Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

· Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.

· Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

· Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;

· Теоретическая — на основе математических описаний;

· Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

1. построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

2. исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

3. использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование

— это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.
В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

— процесс построения, изучения и применения моделей.

Т.е. можно сказать, что

— это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Пример 1.1.3

Закон Ньютона F = am — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой . Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример 1.1.4

Модель S = gt z /2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s»(t)m(t).

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример 1.1.5

Если рассматривать только t — 0, 1, 2, . 10 (с), то модель S₁ = gt 2 /2, или числовая последовательность S₀ = 0, S = g/2, S₂ = 2g, S₃ = 9g/2, . S₁₀= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Пример 1.1.6

Модель S = gt 2 /2, 0 2 /2, 0 2 /2, 0 — операция вывода, Z — множество значений (смысловых) прилагательных. Языковая модель М словообразования: := + . При b_i = pыб, S_i = н получаем по этой модели: р_i — рыбный, z_i — приготовленный из рыбы.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Глобус — натурная географическая модель земного шара.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

1. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

2. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно эта модель используется при изображении окружности на экране компьютера.

3. Прямая линия является моделью числовой оси.

4. Параллелограммом часто изображается плоскость.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т. д. являются одинаковыми с точки зрения самого описания, хотя процессы различны.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей — имитационном, стохастическом и т. д.
Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных — системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель — это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель — это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

· конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

· упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

· приблизительность — действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;

· адекватность моделируемой системе — модель должна успешно описывать моделируемую систему;

· наглядность, обозримость основных свойств и отношений;

· доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

· информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

· сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

· полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

· устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;

· замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

Модель должна строиться так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели.

Построенные модели необходимо исследовать и решить. Но прежде введем некоторые понятия.

Операция

— всякое мероприятие (система действий), объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т.е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Всякий определенный набор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Иногда в результате исследования можно указать одно единственное строго оптимальное решение, но гораздо чаще выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан выбор.

Параметры, совокупность которых образует решение, называется элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, различные признаки и т.д.

Задача № 1. План снабжения предприятий

Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями путями сообщения (железнодорожными, водными, автомобильными, воздушными) со своими тарифами.
Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

В данной задаче, если составляется план перевозок однородных грузов из пунктов отправления А₁, А₂ , . А_m в пункты назначения B₁, B₂, . B_n, то элементами решения будут числа, показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-ого пункта отправления А_i в j-ий пункт назначения B_j. Совокупность чиселx₁₁, x₁₂, . x_1n, . x_m1, x_m2, . x_mnобразует решение.

Задача № 2. Строительство зрительного зала

В здании, имеющем форму полуэллипсоида нужно разместить зал в форме прямоугольного параллепипеда, соответствующие грани которого перпендикулярны осям ээлипсоида.
Требуются определить размеры зала, чтобы его вместимость (объем) был максимальный.

Дата добавления: 2017-02-20 ; просмотров: 3125 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Физико математическая модель системы виды уравнений их назначение

Это система уравнений, написанная на языке программирования Python с использованием математического сервиса на платформе Factory5.

2. Как используется в моделях физика, а как математика?

Физические модели основываются на имитационном моделировании физических процессов в разных режимах работы оборудования. Они описываются в виде ряда уравнений динамики, которые определяют отношения состояния оборудования в заданный момент времени, текущие и будущие условия эксплуатации. Также, можно определять взаимосвязь между входными параметрами, передаточными функциями и выходными параметрами.
Проще говоря, чтобы работать с оборудованием, нужно понимать физический закон. А физический закон пишется на языке математики.

3. Зачем нужны модели?

Физико-математические модели исследуют поток получаемых данных на отклонения и таким образом ищут аномалии, еще не известные инженеру и не описанные в экспертных правилах. Цель разработки предиктивной модели — спрогнозировать поведения объекта, где предиктором может быть диагностический параметр, например, health index, который отслеживается на пересечение рассчитанного порога.

4. Какие есть виды моделей?

В зависимости от решаемой задачи мы используем подходящие модели машинного обучения. Чаще всего линейную регрессию и статистические методы. Если эти модели не способны решить задачу, прибегаем к нейронным сетям.

5. Почему они разные?

Разные модели решают разные задачи. Например, одна модель может работать с маленьким количеством данных, а другая — с большим. Иногда нужно обеспечить интерпретируемость результатов, и это тоже может повлиять на выбор способа моделирования.

Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Методы описания и анализа технологических систем и процессов

Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Математическое моделирование — это процесс создания модели и оперирование ею с целью получения необходимых сведений о реальном или проектируемом технологическом объекте. Альтер­нативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделировании есть ряд преимуществ: меньше сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоемкость, возможность выполнения экспери­ментов на критических и закритических режимах, которые приве­ли бы к разрушению реального объекта, и лр.

Математическая модель (ММ) — это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д) и связей между ними, отражающих важнейшие для инженера-технолога свойства моделируемого технологического объекта.

Моделирование большинства технологических объектов мож­но выполнять на микро-, макро- и мегауровних, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте. Мате­матической моделью технологического объекта на микроуровие является обычно система дифференциальных уравнений с задан­ными краевыми условиями, но точное решение подобных систем удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая за­дача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели для численных исследований.

Математической моделью технологического объекта на макро­уровне является также, как правило, система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, построенными на основе сочетания компонентных уравнений отдельных элементов. ТП с топологическими уравнениями, вид которых определяется связями между элементами. Для сложных технологических объ­ектов с большим числом элементов приходится переходить на мегауровень.

На мегауровне моделируют в основном две категории техно­логических объектов: объекты, являющиеся предметом исследования теории динамических систем, и объекты, являющие­ся предметом теории массового обслуживания, в том чис­ле и других соответствующих стохастических методов. Для первой категории объектов возможно использование детерминированного или стохастического математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов, как правило, используют стохастиче­ские методы событийного моделирования.

Проверка адекватности ММ осуществляется сравнением конт­рольных результатов с экспериментом, при несовпадении требу­ется уточнить модель.

Принципиальным при моделировании любых технологических объектов является упрощенное отражение в модели их важней­ших для данного исследования свойств; модель воспроизводит объект в определенном ограниченном диапазоне условий и требований; различные модели могут описывать различные стороны объекта

Фундаментальным для моделирования сложных объектов яв­ляется известное положение кибернетики, состоящее в том, что при сложности объекта выше некоторого уровня его адекватная (полная) модель не может быть сделана более простой.

Место и роль ММ технологических систем наиболее отчетливо выявляются при системном подходе, когда ТС рассматривается как некоторая подсистема более обширной системы проектирования производства, сбыта и эксплуатации ЭС. Развитие техники отражается, в частности, в более детальном математическом моделировании ТС и процессов, и вместе с тем диалектическая противоречивость такой тенденции заключается в том, что к моменту, когда математическое описание системы близится к завер­шению, сама система близка к моральному старению. В наибольшей степени это относится к такой бурно развивающейся области техники, как радиоэлектроника. Так что достигнутые успехи в области синтеза ММ относятся в какой-то мере к нашему прош­лому опыту. Означает ли это, что наибольший интерес представляют исследования лишь в области построения моделей новых ТС? Разумеется, нет. Совершенствование уже известных ММ имеет огромное значение, оно позволяет непрерывно обновлять арсенал средств оптимизации, в весьма компактной форме обоб­щать полученные результаты, без чего немыслимо создание все более совершенного математического обеспечении для автомати­зированных систем проектирования, систем производства ЭС и управления ими

Из сказанного следует, что ни одна ТС не имеет исчерпываю­щего математического описания. Вместе с тем любая ТС, удов­летворяющая требованиям оптимальности, должна иметь несколько ММ на различных этапах своего существования. На первом этапе, когда она существует лишь как идея у разработчиков, тре­буется наиболее простая и грубая модель, которая позволяет решать вопрос осуществимости ТС. Здесь, как правило, исполь­зуются аддитивные ограничительные неравенства, учитывающие суммарное время ТП, ресурсы производителя, реальные объемы и сроки поставки исходных компонентов при сравнительно прос­той функции качества (зачастую линейной). Очевидно, использо­вание таких моделей эффективно на самой ранней стадии разра­ботки ТС. Здесь преследуется цель убедиться, что исходные данные на ее проектирование принципиально реализуемы. Сами ис­ходные данные при этом могут варьироваться в широких преде­лах и задаются, как правило, в виде некоторых интервалов изме­нения.

Наиболее содержательный в смысле использования ММ этап проектирования. На этом этапе вначале тщательно исследуются физико-химические закономерности, лежащие в основе технологии данного вида ЭС. Их математическое описание основывается обычно на дифференциальных уравнениях математической физи­ки, теории цепей, термодинамики, кинетики химических взаимо­действий и т. д. Для обобщения результатов экспериментальных исследований широко привлекаются методы теории планирова­ния эксперимента. Результатом такого всестороннего анализа ТП являются соотношения, полученные в результате решения диф­ференциальных уравнений, аппроксимации экспериментальных данных и с требуемой точностью описывающие отдельные компо­ненты ТП.

Таким образом, стадия анализа ТП позволяет построить от­дельные элементы ММ ТС. Существенное отличие от моделей, используемых при оценке осуществимости ТС, состоит в исчерпы­вающей детализации описания, когда выявляются не просто ин­тервалы изменения интересующих величии, а существующие функциональные и вероятностные связи между ними Разумеется, это описание должно при необходимости содержать наряду с де­терминированной частью также часть, учитывающую случайную природу происходящих процессов.

Построенные элементы ММ ТС используются в се структур­ном синтезе. Структурный синтез имеет целью выявить состав и связь подсистем разрабатываемой системы, выполняющих от­дельные функции или группу близких по характеру протекающих процессов функций. Это наиболее творческая и вместе с тем наи­более трудная, неалгоритмизируемая стадия разработки ТС, требующая диалогового взаимодействия разработчиков с ЭВМ. На­значение ММ на этой стадии состоит в обеспечении большого объема проверочных расчетов различных вариантов системы с целью генерирования некоторого множества жизнеспособных технических решений. Структурный синтез завершается построе­нием модели функционирования каждого варианта ТС, связыва­ющей воедино все вышеупомянутые модели ее элементов. С этого момента начинается стадия параметрического синтеза, характе­ризующаяся жесткой стратегией получения единственного квазиоптимального варианта ТС. На основе модели функционирования строится модель точности ТП, использующаяся для исследования его чувствительности к изменениям входных параметров, устойчи­вости к внешним факторам. Именно на этом этапе выявляются связи параметров системы с критериями качества, т. е. с величи­нами, однозначно связанными с качеством системы. Эти связи в совокупности образуют оптимизационную модель системы. Вви­ду сложности современных систем, их многопараметричности, многокритериальности задача оптимизации имеет не единствен­ное решение.

Неоднозначность решения не может быть устранена путем внутреннего, более детального анализа системы. Необходим внешний анализ системы, т. е. она должна рассматриваться как подсистема более сложной системы и упомянутые выше критерии оптимизации ранжируются по степени их влияния на критерии оптимальности последней. Это позволяет построить некоторый результирующий показатель качества ТС, который в принципе определит единственное решение задачи оптимизации. Поскольку возможности объективного выбора результирующего критерия ограничены как временем, отпущенным на проектирование, так и нашими знаниями свойств систем более высшего иерархическо­го уровня, то такой выбор неизбежно на каком-то этапе стано­вится субъективным, и именно в этом смысле мы используем тер­мин «квазиоптимальный», говоря о единственном решении зада­чи параметрического синтеза. Модель оптимизации позволяет до­статочно полно спроектировать ТС. Теперь можно говорить о мо­делях оптимального распределения ТС между пользователями, учитывающих затраты на транспортирование, установку данной системы и ввод ее в действие. Модели такого типа в настоящее время достаточно полно и детально разработаны. Это хорошо изученные транспортные задачи, задача о назначениях и т. д. Однако и здесь могут потребоваться более точные и специфичные модели для исследования возможности использования системы в конкретном месте к в конкретное время.

В связи с широким внедрением микропроцессорной техники, микроЭВМ, ЭВМ для управления ТП появляется необходимость широкого использования моделей управления. Это ММ, лежащие в основе алгоритмов управления данной ТС. Такая модель строится на основе модели функционирования системы и предполага­ет расчленение ТП на последовательно-параллельные ветви с пространственно-временным разделением функций каждой из них и соответствующим точным согласованием во времени. На­значение такой модели заключается в том, что она позволяет рационально распределить средства управления внутри ТС. Мо­дель управления позволяет, кроме того, выявить аварийные ре­жимы функционирования ТС и предусмотреть своевременное автоматическое выключение ее при необходимости. Потребности разработки моделей управления выходят далеко за рамки тради­ционной теории оптимального управления, предполагающей воз­можность описания ТП системой обыкновенных дифференциаль­ных уравнений и получение оптимального решения в достаточно узком смысле. Совершенно не разработаны, например, вопросы применения дискретных управляющих воздействий, что характер­но для цифровых средств управления. Следует ожидать, по-види­мому, что применение вычислительной техники в управлении ТП будет стимулировать разработку нового класса ММ управления. Уместно упомянуть и об эксплуатационных моделях ТС. Это преж­де всего модель надежности ТС, анализ которой позволяет регла­ментировать время ее работы, графики ремонтов и профилактиче­ских мероприятий, учитывать естественные деградационные про­цессы. Следует также упомянуть модель морального старения ТС. Прогноз морального старения может быть осуществлен на основе модели, полученной методом дисперсных оценок.

Общее рассмотрение вопросов проектирования ТС с позиций системного подхода выявляет, таким образом, необходимость ис­пользования при описании, анализе и синтезе ТС весьма широкого круга ММ различного назначения.

3.2. Математическое моделирование элементов технологических процессов-операций

Построение адекватных моделей технологических операции (ТО) является основой описания ТС, предпосылкой для создания АСУ ТП, гибких автоматизированных производственных систем (ГАПС) и выполняется в процессе предпроектного обследования действующих производств. Для осуществления ТО необходимо обеспечить своевременное наличие на соответствующем рабочем месте комплектующих изделий, материалов, энергии, технологи­ческого оснащения и управляющих воздействий. Так, при произ­водстве микроэлектронных приборов и ИС совокупность физико-химических процессов внутри технологической установки состоит в преобразования входных потоков энергии и вещества. Для обеспечения требуемых физико-химических превращений на гра­нице и в объеме твердой фазы и выходных параметров изделий необходимо этими потоками управлять (рис. 3.1,а).

При анализе и синтезе ТП и систем с целью выбора их опти­мальных параметров для получения надлежащего количества и эффективности в центре внимания находятся управляющие воз­действия. При этом считают, что материальные и энергетические потоки, как иготовность средств технологического оснащения, а также квалифицированная деятельность персонала являются необходимым, всегда выполнимым условием. Это приводит к ки­бернетическому представлению отдельной операции в виде неко­торого нормально функционирующего «черного ящика» (рис 3.1,б); при этом внутреннее содержание, схема этого «чер­ного ящика» не рассматриваются, основное внимание обращается на входную и выходную информацию о существенных факторах.

а)	б)
Рис.3.1. Физическая (а) и кибернетическая (б) модели технологической операции

В соответствии с этим ММ операции должна в количественной форме отражать реальные взаимосвязи между входными и вы­ходными характеристиками изделия, геометрическими параметра­ми заготовок, электрофизическими характеристиками исходных материалов, параметрами комплектующих изделий, режимами технологического оборудования, параметрами инструмента и др. Полнота и детальность математического описания реальных воздействий, состояний оборудования и выходных параметром изде­лия зависят от типа и уровня рассматриваемой технологической задачи. В простейшем случае может оказаться вполне достаточ­ным использовать алгебраические соотношения между числовыми значениями нескольких параметров, а в наиболее сложных — привлекать последние достижения новейших разделов математики..

Среди применяемых моделей наиболее общей является описа­ние состояния объекта моделирования (в данном случае опера­ции) конечномерным вектором определенных функциональных или числовых компонентов, называемых выходом системы или вектором отклика. Всякая ТО определяет вектор отклика в зави­симости от воздействующих факторов, поэтому её математиче­ская модель должна содержать как математическое описание этих факторов, так и математическое описание соответствующих взаимосвязей между откликом и воздействующими факторами. В общем случае воздействие, как и отклик, описывается конечно­мерными векторами определенных функциональных или число­вых компонентов, а реализуемые при выполнении ТО взаимосвязи между воздействием и откликом — соответствующими функциями. Напомним, что если каждому значению переменной хиз некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной , говорят, что задана функция Y=f(x);если каждой функции f(x)из некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной Z, говорят, что задан функционал ; если каждой функции f(x) из некоторого множества поставлена в соответствие также функция Z(t),говорят, что задан оператор .Последние зачастую представляются системами интегро-дифференциальных уравнений (обыкно­венными в частных производных), соответствующих функцио­налов или функций передачи, алгебраических соотношений и т. п. При математическом моделировании ТО, в частности, входя­щих в ГАПС, реальные воздействия делят на три группы факто­ров. Первая группа составляет -мерный вектор входных управляемых параметров — функций времени и прост­ранственных координат , т.е. таких, которые можно измерять и целенаправленно изменять их распределение во времени и в ра­бочем объеме, поддерживая при этом заданный технологический режим. Часто вектор называют вектором управления или про­сто вектором факторов, область его возможных значений — множеством допустимых управлений или факторным пространством, а его составляющие — управлениями или факторами.

Вторая группа образует -мерный вектор контролируемых, но неуправляемых функций , характеризующих состояние исходных факторов (например, чистота материалов, поступающих на операцию формирования тонких пленок) и операции в целом. Они не поддаются целенаправленному изменению в пределах данной операции.

Третья группа составляет -мерный вектор неконтролируе­мых функций , а следовательно, и неуправляемых пара­метров операции. Сюда относятся параметры, оказывающие не детерминированные возмущающие воздействия на ТО.

Таким образом, построить ММ технологической операции означает определить математические соотношения между всеми указанными векторами

или предпочтительно в явном виде

.

Общие математические соотношения, связывающие простран­ственно-временные описания всех участвующих в ТО явлений, оказываются излишне сложными, что затрудняет их практическое использование. Поэтому на современном этапе развития матема­тической теории технологии чаще всего прибегают к упрощенно­му моделированию, выбирая сложность модели из практических соображений. Построение простой ММ, достаточно точно описы­вающей ТО как элемент сложного комплекса, в большой степени зависит от опыта разработчика. Основой работы, особенно на первых порах, может явиться овладение типовыми ММ. Рассмот­рим последовательность упрощенных описаний ТО.

Всякая ТО протекает во времени и в пространстве, поэтому как характеризующие ее состояние параметры , так и характе­ризующие различные воздействия внешней среды параметры , , , как уже отмечалось ранее, должны отражать изменчивость соответствующих величин, как при изменении времени , так и при разных значениях пространственных координат :

(3.1)

Если для поставленной технологической задачи существенна зависимость параметров ТО и от времени, и от пространственных координат, приходим к наиболее сложной динамической модели с распределенными параметрами. При этом в каждый фиксиро­ванный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется значениями параметров в бесконечном числе точек пространства, а сами эти параметры подчиняются системам нели­нейных интегро-дифференциальных уравнений в частных произ­водных. Иногда модели с распределенными параметрами удается приближенно свести к моделям с сосредоточенными параметра­ми. Это можно сделать, например, путем дискретизации функций (3.1) по аргументу , что приведет к замене каждой из этих функции набором функций времени с фиксированными простран­ственными координатами :

, ,

, .

При этом могут потеряться определенные свойства, характерные для этих объектов. Поэтому желательно провести полный анализ операции как системы с распределенными параметрами и только при численных расчетах проводить упрощение [29].

Если пространственное распределение параметров постоянно или для рассматриваемой задачи несущественно, то важно учитывать изменчивость во времени как внешних воздействий, так и описываемого «черного ящика». Например, в гибких ТП приходим к динамической модели с сосредоточенными параметрами. При этом в каждый фиксированный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется конечным числом парамет­ров, подчиняющихся в общем случае системам нелинейных и интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Аналогично тому, как производится дискретизация непрерыв­ных пространственных координат в случае систем с распреде­ленными параметрами, при описании динамических систем с не­прерывным временем возможно упрощение модели путем перехо­да к дискретному времени , . Разностные уравнения, опре­деляющие значения переменных в дискретные моменты времени, выводятся из соответствующих уравнений, представляющих эти переменные в непрерывном времени.

Если режимы оборудования после наладки при проведении операции неизменны, в частности отсутствует подналадка, а внеш­ние воздействия изменчивы во времени, получим стационарную систему уравнений, т. е. с постоянными коэффициентами.

Например, операция химического травления, которая широко используется в технологии ЭС как при производстве ПП, так и при производстве ИС. Ре­жимы оборудования в этой операции — температура травления, тип травителя, размеры ванны или реактора, а также толщина и материал травящейся пленки — выбираются заранее и остаются неизменными в процессе операции. Однако ско­рость травления, которая в значительной степени определяет конечный результат (удаление материала, минимальное искажение размеров, селективность действия травителей и др.), меняется вследствие изменения во времени таких воздействий, как концентрация частиц травителя у поверхности твердой фазы, изменения тем­пературы поверхности из-за выделения тепла при реакции, различной кинетики травления по глубине материала. Если рассматривать операцию травления как процесс, происходящий именно на поверхности твердой фазы, то все эти пере­менные воздействия можно считать внешними.

С некоторыми ограничениями и допущениями операция травления Si+Cl₂=SiCl₂ в реакторе непрерывного действия, представленная в общем виде как A₁+A₂=B, описывается системой уравнений с постоянными коэффициентами

;

;

,

где переменные состояния операции являются функциями изменяюще­гося во времени содержания в травителе на выходе реактора веществ А₁, А₂, В:

; ; ;

переменные управления и представляют функции веществ A₁ и А₂ на входе реактора:

; ;

возмущающее воздействие v является функцией количества моделей, распадаю­щихся и появляющихся в единицу времени: .

Если в ТО существенные факторы во времени не изменяются
или их изменение для рассматриваемой задачи несущественно,
приходим к стационарной статической модели. При этом состояние объекта и внешней среды для любого момента времени описывается конечным числом параметров, связанных между собой алгебраическими уравнениями. Например, при операции вырубки деталей штампом усилие вырубки , где — сопротивление материала срезу; L —длина контура; d — толщина листа.

Для ТО, у которой параметры изменяются во время ее выпол­нения, в частности при наличии подналадки технологического оборудования или оснастки, это будут нестационарные уравнения, т. е. с коэффициентами, плавно или скачкообразно изменяющи­мися во времени.

Примером является ТО получения тонких пленок методом термовакуумного испарения. При испарении уменьшается масса материала на испарителе, что ведет к увеличению сопротивления испарителя, а, следовательно, к снижению тока. Чтобы не изме­нялась скорость испарения, в процессе операции производится регулировка тока так, чтобы его значение оставалось неизменным. Эта операция описывается системой дифференциальных уравне­ний с коэффициентами, зависящими от времени и от других тех­нологических и физических параметров процесса испарения.

Дополняя отмеченные ранее распределенность параметров и нестационарность, укажем, что нелинейность уравнений отражает зависимость модели от значений учитываемых параметров, нали­чие интегралов в уравнениях отражает влияние на ТО эффектов накопления вещества или энергии, наличие производных — влия­ние значений скоростей и ускорений учитываемых параметров.

Как мы уже отмечали, обоснованное исключение из модели одной или нескольких особенностей, т. е. пренебрежение при по­строении ММ теми или иными реальными свойствами ТО, являет­ся способом получения приближенного математического описания ТО.

Из многообразия приближенных ММ реальных объектов в технических науках особое место занимают линейные модели. Ли­нейной называется модель, обладающая так называемым свойст­вом аддитивности по воздействию, т. е. реакция на сумму воздей­ствий равна сумме реакций этой модели на каждое слагаемое. Линейные модели описываются линейными уравнениями.

Все рассмотренные ранее системы соответствующих уравнений с достаточной для каждого случая полнотой описывают реальные ТО. В пределах одинаковой полноты описания однотипные ММ различных ТО будут отличаться порядком уравнений и значения­ми соответствующих коэффициентов в этих уравнениях, поэтому для сравнения различных ТО достаточно сравнивать упорядочен­ные последовательности коэффициентов. Более того, каждая ММ с исчерпывающей полнотой описывается упорядоченным набором коэффициентов соответствующих уравнений при заданных началь­ных условиях. Такое представление свойств ММ не единственно, а во многих задачах анализа и синтеза соответствующих ТО ши­роко используются более удобные формы их описания.

Во многих случаях наглядно представление свойств ТО на ос­нове решения соответствующих уравнений при вполне определен­ных типовых воздействиях на моделируемый объект. Другими словами, удобно сравнивать различные моделируемые объекты по величине и характеру их реакции на «пробное» — типовое по фор­ме и стандартное по величине — воздействие. Особенно это целе­сообразно при анализе и синтезе стационарных линейных дина­мических объектов. Если в качестве пробного воздействия ис­пользовать одиночный скачок величины входного воздействия, то изменение выходного параметра различных ТО будет различным, ТО можно сравнивать по таким реакциям на одинаковые воздей­ствия.

Реакция анализируемого объекта на единичный скачок носит специальное название — переходная характеристика объекта. Пе­реходная характеристика ТО может быть вычислена, если при решении описывающей ее системы уравнений подставить в виде компонента внешнего воздействия единичный скачок.

Другим часто используемым «пробным» воздействием является кратковременное ударное воздействие, математической идеализа­цией которого является дельта-функция. Реакция анализируемого объекта на дельта-функцию называется его импульсной переход­ной характеристикой.

Если в качестве «пробного» использовать гармоническое коле­бание внешнего воздействия единичной амплитуды, то реакция стационарного линейного объекта также является гармоническим колебанием той же частоты, а изменения амплитуды и фазы этого колебания зависят от свойств этого объекта.

Функции, описывающие зависимость амплитуды и фазы выходного колебания от частоты синусоидального выход­ного колебания единичной амплитуды, называется соответствен­но амплитудно- и фазочастотной характеристиками данного объекта; вместе они определяют комплексную функцию частоты , называемую передаточной функцией данного объекта.

Поскольку все названные характеристики, начиная с упорядо­ченного набора коэффициентов, однозначно характеризуют ста­ционарные линейные объекты, они взаимосвязаны известными преобразованиями [30]. Аналогичные характеристики будут вве­дены в последующих разделах и для ТО, отличающихся нестаци­онарностью, нелинейностью и другими признаками, хотя наиболее широко используется математическая идеализация реальных объ­ектов, представляющая их линейными динамическими системами.