Форма самосопряженная линейного дифференциального уравнения

Форма самосопряженная линейного дифференциального уравнения

4.11.2. Краевые задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид

В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

Основные типы краевых условий, задаваемых на концах промежутка (изменения независимой переменной x ), на котором решается задача, имеют вид:

— условие первого рода

— условие второго рода

— условие третьего рода

На левой и правой границах промежутка могут быть заданы условия одного и того же или разного рода.

Если коэффициенты уравнения и правая часть — непрерывные функции, то краевая задача имеет единственное решение.

Дифференциальное уравнение вида (28) может быть преобразовано в уравнение в так называемой самосопряженной форме:

Для этого умножим обе части уравнения (28) на функцию . С учетом того, что

после умножения уравнение (28) можно записать в виде , т.е. в виде (29), где

4.11.3. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

на интервале с краевыми условиями первого рода:

Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне ( u(x) — температура в точке , — коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если — кусочно-непрерывные функции.

Введем на отрезке равномерную сетку

и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (30)-(31) в прогоночном виде

где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .

Решение системы уравнений (32), (рассматриваемой вместе с граничными условиями) имеющей трехдиагональную матрицу коэффициентов, может быть найдено методом прогонки. Ранее этот метод описан в связи с построением кубического интерполяционного сплайна.
Формулы метода прогонки также приводятся ниже при рассмотрении вопроса о сходимости разностной схемы.

Выражения для коэффициентов разностной схемы должны обеспечивать аппроксимацию дифференциального уравнения разностной схемой с определенным порядком ее погрешности. Для получения таких выражений запишем разностную схему (32) в виде

где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна ее запись с использованием безиндексных обозначений:

Найдем погрешность аппроксимации схемы (34):

Подставляя эти выражения в (35) и группируя члены относительно функии u и ее производных, запишем погрешность аппроксимации в виде:

Условием для того, чтобы схема (34) имела второй порядок аппроксимации, будет выполнение соотношений:

Например, эти условия выполняются при

4.11.4. Сходимость разностной схемы.

Обозначим погрешность разностной схемы в узлах сетки: .

Пользуясь линейностью оператора в уравнении (34) можно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме:

где — погрешность аппроксимации.

Выведем оценку для погрешности в узлах сетки. Из формул (36) следует, что

поэтому схема (33) в прогоночном виде (32) запишется следующим образом:

Значения — решение схемы (39) можно найти, используя метод прогонки. Запишем соотношение

с неизвестными коэффициентами . Подставив в (39) соотношение , получим

Таким образом, для получаем рекуррентные формулы:

С учетом того, что соотношение (40) принимает вид

откуда получаем, что . Теперь можно вычислить все значения , , , по формулам (41), а затем спуститься «вниз» по i от N до 1 и найти все значения по формуле (40).

С учетом сделанного выше предположения относительно коэффициентов дифференциального уравнения (30)

, из выражения для коэффициента с следует неравенство:

, с учетом которого из неравенства (42) получаем

Тем самым из (41) следует, что .

Поскольку известно, что , то по индукции мы получаем, во-первых, решение схемы (38) в виде рекуррентных формул (40), (41) и во-вторых, справедливость неравенства

На этом основании из формулы (40) можно получить неравенство:

из которого с учетом, что , получаем неравенство: . Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (41) для , умножив обе ее части на положительную величину :

Поскольку первый множитель справа — это коэффициент , величина которого меньше единицы, то, следовательно,

. На этом основании получаем:

с учетом, что . Наконец, поскольку , можно сделать вывод, что

Таким образом, для погрешности в узлах сетки &nbsp &nbsp можно записать неравенство

Так как , то переходя к нормам, получаем оценку погрешности решения

Такая оценка означает, что разностная схема (33) для краевой задачи (30)-(31) при указанных условиях на коэффициенты имеет второй порядок сходимости.

Прмечание. Здесь использована равномерная векторная норма

4.11.5. Краевые условия 2-го и 3-го рода.

Рассмотрим теперь уравнение (29) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода :

Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (33). Как показано в пункте 4.11.4, схема (33) имеет второй порядок аппроксимации.

Если для апроксимации условий (43) использовать простейшие односторонние двухточечные разностные производные, как в методе Эйлера, то краевые условия для разностной схемы запишутся в виде

Первое из этих условий позволяет, выражая y₀ и сравнивая это выражение с формулой вида (40) для решения y_i при i = 0, найти значения .
Второе из граничных условий вместе с формулой (40) при i = N позволяет определить значение y_N .

Однако использованные выше разностные производные имеют первый порядок погрешности аппроксимации. Чтобы краевые условия не снижали порядок аппроксции разностной схемы (33), необходимо воспользоваться односторонними разностными аппроксимациями производных, имеющими второй порядок по h.
Например, для этих целей подходит разностная производная

где, как обычно, . Действительно, по формулам Тейлора

Аналогично, разностная производная на правой границе имеет вид:

При использовании таких формул разностные аппроксимации краевых условий принимают вид:

В этом случае для разрешения трехточечной схемы (33) также может быть использован метод прогонки.
Уравнение

при i = 1 составляет с краевым условием систему

из которой можно исключить , при этом система преобразуется в уравнение

с некоторыми вполне определенными коэффициентами .

На правом конце отрезка получаем систему

из которой можно найти , а затем и все остальные (по рекуррентным формулам (40)).

Сопряженные и самосопряженные преобразования
(операторы) евклидова пространства

Свойства сопряженного преобразования (оператора)

1. Сопряженное преобразование (оператор) — линейное.

\forall \lambda\in \mathbb[/math] . Пусть [math](\boldsymbol)= (\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_n)[/math] — ортонормированный базис евклидова пространства [math]\mathbb[/math] . Тогда

2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования (в любом ортонормированном базисе) является транспонированной по отношению к матрице данного преобразования (в том же базисе).

Самосопряженные преобразования (операторы) евклидова пространства

Например, самосопряженными преобразованиями (операторами) являются нулевое преобразование [math]\mathcal[/math] и тождественное [math]\mathcal[/math] .

Свойства самосопряженного преобразования

1. Матрица [math]A[/math] самосопряженного преобразования в любом ортонормированием базисе является симметрической [math](A^T=A)[/math] , и наоборот, если в каком-либо ортонормированием базисе матрица преобразования симметрическая, то это преобразование самосопряженное.

2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования действительные.

В самом деле, предположим противное, а именно существование пары комплексных сопряженных корней [math]\lambda=\alpha\pm\beta i,

\beta\ne0[/math] . По теореме 9.4 преобразование имеет двумерное инвариантное подпространство с линейно независимыми образующими [math]\boldsymbol[/math] и [math]\boldsymbol[/math] , удовлетворяющими системе (9.19), которая следует из (9.7):

Найдем скалярные произведения:

Левые части равенств совпадают из-за самосопряженности преобразования [math]\mathcal[/math] . Значит, равны и правые части:

Отсюда [math]\beta\bigl( |\boldsymbol|^2+ |\boldsymbol|^2 \bigr)=0[/math] . Поскольку [math]\beta\ne 0[/math] , то [math]\boldsymbol= \boldsymbol= \boldsymbol[/math] , что противоречит линейной независимости векторов [math]\boldsymbol[/math] и [math]\boldsymbol[/math] .

3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям самосопряженного преобразования, ортогональны.

Отсюда [math]\bigl\langle \boldsymbol, \boldsymbol\bigr\rangle=0[/math] , так как [math]\lambda_1\ne \lambda_2[/math] . Значит, собственные векторы [math]\boldsymbol[/math] и [math]\boldsymbol[/math] ортогональны.

Это следует из свойства 3 сопряженных преобразований (см. выше).

где [math]\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования [math]\mathcal[/math] , повторенные в соответствии с их кратностью.

Диагональный вид (9.22) называется также каноническим видом самосопряженного преобразования (оператора) , а базис, в котором матрица имеет вид (9.22), — каноническим.

Положительные и неотрицательные преобразования евклидовых пространств

Отметим следующие свойства положительных и неотрицательных преобразований (операторов).

1. Из теоремы 9.10 следует, что для любой действительной симметрической матрицы [math]A[/math] существует диагональная матрица [math]\Lambda= \operatorname (\lambda_1,\ldots, \lambda_n)[/math] (с собственными числами матрицы [math]A[/math] на главной диагонали) и ортогональная матрица [math]S

(S^T=S^<-1>)[/math] , что [math]\Lambda=S^TAS[/math] .

2. Всякое обратимое самосопряженное преобразование (оператор) можно представить как композицию растяжений (с коэффициентами, равными собственным числам [math]\lambda_1,\ldots, \lambda_n[/math] ) вдоль взаимно перпендикулярных направлений (задаваемых ортонормированным базисом [math]\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_n[/math] из собственных векторов). Растяжение с отрицательным коэффициентом [math]\lambda_1 понимается как композиция зеркального отражения и растяжения с коэффициентом [math]|\lambda_1|[/math] .

3. Теорема 9.11 справедлива для любого линейного преобразования, если условие положительности самосопряженного преобразования заменить условием его неотрицательности.

4. Геометрический смысл теоремы 9.11 следующий: любое невырожденное линейное преобразование можно представить как композицию преобразований, каждое из которых есть либо простое отражение (относительно гиперплоскости), либо простой поворот (двумерной плоскости), либо растяжение вдоль взаимно перпендикулярных направлений.

Приведение самосопряженного преобразования (оператора) к диагональному виду

Нахождение диагонального вида матрицы самосопряженного преобразования ( первый этап ).

1. Составить характеристическое уравнение [math]\det(A-\lambda E)=0[/math] , найти его корни [math]\lambda_1,\ldots,\lambda_n[/math] и их алгебраические кратности [math]n_1,\ldots,n_k,

2. Составить искомую диагональную матрицу (9.22):

Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода от данного базиса [math](\boldsymbol)[/math] к каноническому базису [math](\boldsymbol)[/math] ( второй этап ).

3. Для корня [math]\lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти фундаментальную систему [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_[/math] решений однородной системы [math](A-\lambda_1 E)x=o[/math] . Столбцы [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_[/math] ортогонализировать и нормировать. Получим [math]n_1[/math] столбцов [math]s_1,\ldots,s_[/math] .

4. Записать полученные столбцы [math]s_1,\ldots,s_[/math] в первые [math]n_1[/math] столбцов матрицы [math]S[/math] .

Выполнить пункты 3, 4 для остальных собственных значений [math]\lambda_2,\ldots, \lambda_k[/math] , добавляя полученные столбцы в матрицу [math]S[/math] . В результате получим искомую матрицу перехода: [math](\boldsymbol)=(\boldsymbol)S[/math] .

Первый этап. Находим диагональный вид матрицы преобразования.

1. При решении примера 9.2 были найдены корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=0[/math] (кратности [math]n_1=2[/math] ) и [math]\lambda_2=3[/math] (кратности [math]n_2=1[/math] ).

2. Составляем искомую диагональную матрицу [math]\Lambda= \operatorname (0,0,3)[/math] . Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода к каноническому базису ( второй этап ).

3(1). Для собственного значения [math]\lambda_1=0[/math] в примере 9.2 была найдена фундаментальная система решений [math]\varphi_1= \begin1&0&-1 \end^T\!,[/math] [math]\varphi_2= \begin1&-1&0\end^T[/math] . Ортогонализируем их, используя метод Грама-Шмидта. Положим [math]\psi_1=\varphi_1= \begin1&0&-1\end^T,[/math] [math]\psi_2=\varphi_2-\alpha\psi_1[/math] . Коэффициент [math]\alpha[/math] выбираем из условия ортогональности [math]\bigl\langle \psi_1,\psi_2 \bigr\rangle=0:[/math]

Следовательно, [math]\alpha=\frac<1><2>[/math] и [math]\psi_2= \begin \dfrac<1><2>&-1& \dfrac<1> <2>\end^T[/math] . Нормируем столбцы [math]\Bigl( |\psi_1|=\sqrt<2>,

4(1). Полученные столбцы записываем в искомую матрицу (звездочкой обозначены неизвестные пока элементы матрицы):

3(2). Для собственного значения [math]\lambda_2=3[/math] фундаментальная система решений содержит одно решение [math]\varphi_3=\begin1&1&1 \end^T[/math] (см. пример 9.2). Нормируя этот столбец, получаем [math]s_3=\begin \dfrac<\sqrt<3>><3>& \dfrac<\sqrt<3>><3>& \dfrac<\sqrt<3>><3>\end^T[/math] .

4(2). Полученный столбец дописываем в матрицу, полученную в пункте 4(1),

Матрица перехода к каноническому базису найдена.

Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям — Камке Э.

Название: Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Автор: Камке Э.

«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890 — 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.
Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас.

Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).
Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.
Перевод на русский язык был заново сверен с шестым немецким изданием (1959 года); исправлены замеченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и дополнения, сделанные в тексте редактором и переводчиком, заключены в квадратные скобки. В конце книги под заголовком «Дополнения» помещены сокращенные переводы (выполненные Н. X. Розовым) тех нескольких журнальных статей, дополняющих справочную часть, которые автор упомянул в шестом немецком издании.

Оглавление
Предисловие к четвертому изданию
Некоторые обозначения
Принятые сокращения в библиографических указаниях

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
производной: у’ =f(x,y); основные понятия
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального
уравнения
1.2. Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
производной: у’ =f(x,y); методы решения
2.1. Метод ломаных
2.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа
2.3. Применение степенных рядов
2.4. Более общий случай разложения в ряд25
2.5. Разложение в ряд по параметру 27
2.6. Связь с уравнениями в частных производных27
2.7. Теоремы об оценках 28
2.8. Поведение решений при больших значениях х 30
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно32
производной: F(y’, у,х)=0
3.1. О решениях и методах решения 32
3.2. Регулярные и особые линейные элементы33
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34
порядка
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35
4.2. y’=f(ax+by+c) 35
4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35.
4.4. Асимптотическое поведение решений линейныхдифференциальных уравнений
4.5. Уравнение Бернулли y’+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним38
4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40
4.8. Специальное уравнение Риккати: у’+ау2=Ьха 40
4.9. Общее уравнение Риккати: y’=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Уравнение Абеля первого рода44
4.11. Уравнение Абеля второго рода47
4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49
4.13. Интегрирующий множитель 49
4.14. F(y’,y,x)=0, «интегрирование посредством дифференцирования» 50
4.15. (a) y=G(x, у’); (б) x=G(y, у’) 50
4.16. (a) G(y ‘,х)=0; (б) G(y \y)=Q 51
4.17. (a) y’=g(y); (6) x=g(y’) 51
4.18. Уравнения Клеро 52
4.19. Уравнение Лагранжа -Даламбера 52
4.20. F(x, ху’-у, у’)=0. Преобразование Лежандра53
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия54
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2. Существование и единственность решения 54
5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров56
5.5. Вопросы устойчивости57
§ 6. Методы решения 59
6.1. Метод ломаных59
6.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа59
6.3. Применение степенных рядов 60
6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
6.7. Теоремы об оценках 62
§ 7. Автономные системы 63
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2
7.3. Критерии для определения типа особой точки 66
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы70
8.1. Общие замечания70
8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения70
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной71
8.4. Теоремы об оценках 71
§ 9. Однородные линейные системы72
9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72
9.2. Теоремы существования и методы решения 74
9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений75
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений76
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений , 76
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения78
§10. Однородные линейные системы с особыми точками 79
10.1. Классификация особых точек 79
10.2. Слабо особые точки80
10.3. Сильно особые точки 82
§11. Поведение решений при больших значениях х 83
§12. Линейные системы, зависящие от параметра84
§13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86
13.1. Однородные системы 83
13.2. Системы более общего вида 87
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89
yin)=f(x,y,y\. y
§15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:90
F(x,y,y\. y(n))=0
15.1. Уравнения в полных дифференциалах90
15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90
15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,
§16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка92
16.1. Общие замечания92
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения92
16.3. Исключение производной (п-1)-го порядка94
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5. Поведение решений при больших значениях х94
§17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 95
17.1. Свойства решений и теоремы существования 95
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения96
17.3. 0 нулях решений 97
17.4. Фундаментальные решения 97
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полныхдифференциалах
§18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми101
точками
18.1. Классификация особых точек 101
18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая104
18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая108
18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107
18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9. Случай действительного переменного112
§19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 113
определенных интегралов
19.1. Общий принцип 113
19.2. Преобразование Лапласа 116
19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119
19.4. Преобразование Меллина 120
19.5. Преобразование Эйлера 121
19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123
§ 20. Поведение решений при больших значениях х 124
20.1. Полиномиальные коэффициенты124
20.2. Коэффициенты более общего вида 125
20.3. Непрерывные коэффициенты 125
20.4. Осцилляционные теоремы126
§21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от127
параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных129
уравнений п-то порядка
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными130
22.3. Уравнения Эйлера 132
22.4. Уравнение Лапласа132
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами133
22.6. Уравнение Похгаммера134
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 139
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139
23.2. Некоторые дополнительные замечания140
23.3. Теоремы о предельных значениях 141
23.4. Осцилляционная теорема 142
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго 142
порядка
24.1. Общие замечания142
24.2. Некоторые методы решения 143
24.3. Теоремы об оценках 144
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 145
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь 149
25.4. Общие замечания о нулях решений150
25.5. Нули решений на конечном интервале151
25.6. Поведение решений при х->inf 153
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное161
25.10. Метод ВБК 162
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого
порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка163
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 164
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных
уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 165
первого порядка
28.1. Метод ломаных165.
28.2. Метод добавочного полушага 166
28.3. Метод Рунге — Хейна — Кутта 167
28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений168
28.5. Метод Адамса 170
28.6. Дополнения к методу Адамса 172
§ 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений 174
высших порядков
29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176
29.3. Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка
29.4. Метод Адамса — Штермера для уравнения y»=f(x,y,y) 177
29.5. Метод Адамса — Штермера для уравнения y»=f(x,y) 178
29.6. Метод Блесса для уравнения y»=f(x,y,y) 179

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных
дифференциальных уравнений п-то порядка
§ 1. Общая теория краевых задач182
1.1. Обозначения и предварительные замечания 182
1.2. Условия разрешимости краевой задачи184
1.3. Сопряженная краевая задача 185
1.4. Самосопряженные краевые задачи 187
1.5. Функция Грина 188
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190
1.7. Обобщенная функция Грина 190
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения 193
£ШУ(У)+ЫХ)У = 1(Х)
2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант А(Х)
2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система
2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204
2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра211
2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
2.14. Применение к разложению по собственным функциям218
2.15. Дополнительные замечания219
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и222-
краевых задач
3.1. Приближенный метод Галеркина — Ритца222
3.2. Приближенный метод Граммеля224
3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина — Ритца
3.4. Метод последовательных приближений 226
3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей
3.6. Метод возмущений 230
3.7. Оценки для собственных значений 233
3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка задачи 238
4.2. Общие предварительные замечания 239
4.3. Нормальные задачи о собственных значениях 240
4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241
4.5. Разложение по собственным функциям 244
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида 247
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем
линейных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем 249
линейных дифференциальных уравнений
6.1. Обозначения и условия разрешимости 249
6.2. Сопряженная краевая задача 250
6.3. Матрица Грина252
6.4. Задачи о собственных значениях 252-
6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях 253
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений
низших порядков
§ 7. Задачи первого порядка256
7.1. Линейные задачи 256
7.2. Нелинейные задачи 257
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка257
8.1. Общие замечания 257
8.2. Функция Грина 258
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода259
8.4. Краевые условия при |х|->inf259
8.5. Отыскание периодических решений 260
8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261
9.1. Общие замечания 261
9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях 263
9.3. y’=F(x,)Cjz, z’=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны266
9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип269
9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственныхфункций
9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные271
9.7. Дополнительные условия более общего вида273
9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 277
§10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях 278
второго порядка
10.1. Краевые задачи для конечного интервала 278
10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала 281
10.3. Задачи о собственных значениях282
§11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего- 283
восьмого порядков
11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка283
11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284
11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка 287
11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка288

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания 290
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1-367. Дифференциальные , уравнения первой степени относительно У 294
368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно334
518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно354
545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида358
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-90. ау» + . 363
91-145. (ах+ЬУу» + . 385
146-221.x2 у» + . 396
222-250. (х2±а2)у»+. 410
251-303. (ах2 +Ьх+с)у» + . 419
304-341. (ах3 +. )у» + . 435
342-396. (ах4 +. )у» + . 442
397-410. (ах« +. )у» + . 449
411-445. Прочие дифференциальные уравнения 454
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких
порядков
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-72. ay»=F(x,y,y)485
73-103./(x);y»=F(x,;y,;y’) 497
104- 187./(х)ху’ЧР(х,;у,;у’)503
188-225. f(x,y)y»=F(x,y,y>) 514
226-249. Прочие дифференциальные уравнения 520
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более
высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания 530
1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с530
постоянными коэффициентами 19-25.
Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с534
переменными коэффициентами
26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше535
первого
44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений538
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1-17. Системы двух дифференциальных уравнений541
18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник) 547
Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович) 556
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и 568
построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
(И.Зборник)
Предметный указатель 571

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям — Камке Э. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 — pdf
Скачать файл № 2 — djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу