Формирование уравнений в начальной школе

Решение уравнений в начальных классах

Ключевые слова: математика

«Овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов» — из ФГОС НОО Предметные результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования.

Уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения, анализа и др.). Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие основ логического мышления, которая позволила бы детям строить умозаключения, приводить доказательства, высказывания, логически связанные между собой, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания. Математика именно тот предмет, где можно в большой степени это реализовывать.

В этой статье хочу рассмотреть уравнение как один из видов упражнений, направленных на развитие логического мышления, и использования алгоритмов при его решении.

Уравнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства. Решение его сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Решить уравнение — значит найти число (значение переменной), при котором равенство будет верным.

В первую очередь, уравнения — очень мощный и наиболее универсальный инструмент для решения вычислительных задач. Самых разных.

В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачками.
Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной сколь-нибудь серьёзной научной задачи — физической, инженерной ли экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку какая-нибудь ответственная конструкция (лифт, мост…). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов.
В повседневной жизни без решения уравнений тоже не обойтись. Например, если вы строите дом, то вычисляете расстояния и углы. Если покупаете квартиру в ипотеку, подсчитываете размер кредита так, чтобы он вписался в Ваш бюджет. Или выбрать самую выгодную банковскую карту, просчитать литры краски для ремонта, уложить асфальт… Чаще всего в повседневной жизни встречаются задачи оптимизации: проехать за минимальные время, получить наибольший доход от своих вложений, закупиться материалами по наименьшей цене и т.п.

В общем, уравнение — ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.

Во-вторых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин в старших классах и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала. Обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач.

Методика изучения уравнений

I. Подготовительный

Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы.

Следующие действия, к которым переходят учащиеся, связаны с нахождением числа в «окошке».

1. Какие записи верны?

Как изменить результат, чтобы записи стали верными?

2. Почитай выражение: 15 — в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.

3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.

3+ ___ = 9 4, 5, 6, 7
___ — 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых/уменьшаемое/вычитаемое.

На этом этапе я объясняю детям, что такое часть и целое. Кстати эти понятия помогут в решении не только уравнений, но и задач. Давайте более подробно остановимся на том, как же объяснить ребёнку, что такое часть и целое. Нам важно чтобы ребёнок понимал часть не только как отдельный кусок чего-то целого, но и в значении множества и подмножества. Сами эти термины будут использоваться только в 4-5 классе, но осознать суть этих понятий вполне способен и первоклассник, если объяснять на конкретных, доступных примерах, используя действия с предметами.

Сделать это очень просто.

Например, положите перед ребёнком 4 кружка красного цвета и 3 кружка синего цвета. Кружки должны быть одинакового размера и отличаться только цветом. Это обязательное условие. Предметы должны отличаться только одним признаком. Спросите, как можно назвать все эти фигуры. Всё это кружки. Чем они отличаются? Разложи кружки на группы. Какие группы у тебя получились?

Все кружки — это целое. Целое можно разделить на части. На какие части ты разделил все кружки? (На красные кружки и синие кружки). Назови что здесь целое, а что часть — это главный вопрос упражнения.

Возьмите одинаковые по размеру кружки 3-х цветов и повторите упражнение. Затем возьмите кружки одного цвета двух или трёх размеров и повторите задание. Помните, что основная цель подобных упражнений — чёткое понимание ребёнком таких понятий как целое и части. Предметы для выполнения таких заданий должны быть самые разнообразные: пуговицы одинакового размера, но разные по цвету или по форме, причём, обязательно должны быть группы полностью одинаковых пуговиц. Чайные, десертные и столовые ложки, блюдца, тарелки и чашки — посуда и так далее. Попутно при выполнении этих упражнений закрепите классификацию предметов и повторите слова-обобщения и дифференциацию предметов (одежда и обувь, мебель и бытовые приборы, пассажирский и грузовой транспорт, овощи, фрукты и ягоды и т.д.).

Нужно будет научить ребёнка отвечать на вопросы:

Как, одним словом можно все эти предметы правильно назвать?
На какие части можно разделить эти предметы?
Как назовём целое? Как назовём часть? Или что здесь целое, а что часть?

Как только вы заметите, что ребёнок свободно различает и называет целое и части, начинайте при помощи тех же предметов складывать части и вычитать часть из целого. Теперь основной целью обучения является понимание, и запоминание двух основных правил, на основе которых можно решать любые задачи и уравнения на сложение и вычитание.

Следует объяснить и выучить формулу этих правил:

Чтобы найти целое необходимо все эти части сложить: Ц = Ч + Ч
Чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую (известную) часть Ч = Ц — Ч
Немного подробнее о том, как это сделать, объясню на примере с кружками красного и синего цвета. Назови что здесь целое, а что часть? Что нужно сделать, чтобы на столе остались только красные кружки? (Убрать синие кружки).

Запомни правило: Чтобы найти одну часть, нужно из целого вычесть другую (известную) часть. Что нужно сделать, чтобы на столе были все кружки? (Сложить вместе красные и синие кружки).

Запомни правило: Чтобы найти целое число, необходимо все части сложить.

Начиная с подготовительного этапа, я в своей работе использую алгоритмы решения уравнений. Алгоритм — это набор понятных и точных инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата. Алгоритм решения уравнений помогает учащимся быстро и правильно находить корень уравнения. Схематичные алгоритмы в Приложение 2.

II. Введение понятия «уравнение»

Знакомство с уравнением происходит при решении задачи с отвлеченными числами. Например, к неизвестному числу прибавили 3 и получили 8; найти неизвестное число. По данным задачи составляется пример с неизвестным числом ( ___ + 3 =8). Затем учитель поясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинскими буквами (н-р, Х (икс)). Предлагается записать пример с заменой неизвестного буквой. Ставиться цель научиться решать такие примеры. Решение основывается на знании состава числа и использовании наглядных пособий (кружки к примеру). Аналогично еще несколько примеров. После чего учитель поясняет, что такие примеры называются уравнениями и, что найти неизвестное число — значит решить уравнение. Определение уравнения и корня уравнения не дается в начальных классах.

III. Формирование умения решать уравнения

Способы решения уравнений

1. Способ подбора. Подбирается подходящее значение неизвестного числа из заданных значений, либо произвольного множества чисел. При подстановке данного числа в уравнение, оно должно превращать его в верное равенство. При подборе необходимо обращать внимание на то, с какого числа целесообразно начинать подбор. Подбор неизвестного числа может осуществляться с использованием числового ряда, по таблице сложения, с опорой на состав числа, в том числе на десятичный.

Накопленный опыт у школьников при решении уравнений позволяет им сократить количество подборов, что способствует углублению осознанности.

Очевидно, что неизвестное м. принимать только нулевое значение.

Очевидно, что х = 1, поскольку 78-1-1=76. математических выражений: «Найди уравнение среди предложенных записей:

2. Способ, опирающийся на взаимосвязь компонентов действий. Используются правила взаимосвязи компонентов действий. Трудность использования данных правил заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необходимо знать 6 правил и название 10 компонентов).

9+х=14. Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит х = 14-9, х=5.

7-х=2. Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит х=7-2, х=5.

Для решения уравнений данным способом в первое время в своей практике использую алгоритм-помощник для решения уравнений. (Приложение 1)

Особо хочется отметить пункт «проверка»:

подставь найденное значение неизвестного в уравнение.
вычисли значение левой части уравнения.
сравни значение левой и правой части уравнения.

При проверке уравнения следует показать учащимся, что результат, полученный в левой части уравнения, нужно сравнить со значением в правой части. Необходимо добиться осознанного выполнения проверки.

Для уравнений со скобками вида (6+х)-5=38 используется правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизвестный компонент — уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое и т.д.

Ряд альтернативных учебников математики для начальных классов практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями (Аргинская, Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.

IV. Формирование умения решать задачи с помощью уравнений

Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:

Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.
Поиск решения:
1. выделение неизвестных чисел;
2. выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;
3. переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;
4. запись полученного текста.
Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.
Проверка решения задачи любым известным способом.
Формулирование ответа на вопрос задачи.

Общеобразовательная школа выступает в качестве того учреждения, которое самым непосредственным образом отвечает за качество человеческой истории.

Каждое поколение людей предъявляет свои требования к школе. Раньше первостепенной задачей считалось вооружение учащихся глубокими знаниями, умениями и навыками. Сегодня задачи общеобразовательной школы иные. Обучение в школе не столько вооружает знаниями, умениями, навыками. На первый план выходит формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность в массе информации отобрать нужное, саморазвиваться и самосовершенствоваться. Используя алгоритм, дети легко определяются с выбором действия, чей компонент нужно найти. В процессе алгоритмического решения необходимо выбрать нужный алгоритм, что требует конкретных знаний, переноса знаний в новую ситуацию, что учит думать.

Теоретические основы формирования понятия уравнения в начальной школе; методика введения понятия уравнение на примере разных УМК
статья по математике (2 класс)

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.

Понятие уравнение относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом математики.

В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова, дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Е.А. Крапивина, говорит о том, что уравнение, представляет собой равенство, содержащее в себе неизвестное число, значение которого нужно найти.

И.А. Моргунова, указывает на то, что понятие уравнение, является равенством, которое выполняется только при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, которые входят в состав уравнения, могут быть неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, а другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами латинского алфавита x, y, z, u, v, w).

Рассмотрев множество определений понятия уравнение можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

В школьном курсе математики термин «уравнение» называют «выражение» или «предложение с переменной».

Можно выделить основные признаки понятия уравнение:

— содержит букву, значение которой неизвестно и его надо найти

Понятие «решить уравнение», является центральным.

Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, способ решения которого уже известен.

Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным равенство х+0=х. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это равенство, как буквенную запись правила: при сложении любого числа с нулем получается то же самое число, то утверждение не является уравнением.

У уравнения х+0=х сколько угодно решений: любое число х является его решением. У уравнения a+3=4+a нет решений, а у уравнения a+3=4 одно решение: a=1

В определении понятия уравнение используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.

И.А. Моргунова, говорит о том, что уравнения имеют важное теоретическое значение, а также служат в практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального

мира сводится к решению различных видов уравнений.

По мнению А.В. Самойловой, знакомить учащихся в начальной школе с понятием уравнения надо как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи

компонентов и результатов действий.

Математические понятия, в свою очередь, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с большинством понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В.А. Далингер, считает, что внимание должно быть направлено на умение определять понятия, а не на их заучивание. Следует правильно донести до учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а затем происходит процесс, который представляет собой развитие понятий, который характеризуется как постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Как отмечает Г.Г. Кочеткова, формирование понятия, является длительным и сложным процессом, которому следует уделять достаточное внимание в образовательном процессе. Важным этапом при формировании понятий, является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Следует отметить, что бывает так, когда даётся словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе. Преувеличение роли при словесном определении, является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Совершенно иного мнения придерживается П. Я. Гальперин, который считает, что формирование понятия не следует растягивать во времени, что это можно осуществить в один приём, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном объеме и правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения.

Развитие математических понятий происходит от простого к сложному, или от конкретного к обобщенному. Развитие понятий может происходить поэтапно, при этом на новом уровне обобщения, углубляющем или расширяющем содержание развиваемого понятия.

В процессе усвоения научных знаний младшие школьники сталкиваются с разными видами понятий. Формирование понятия уравнения в начальной школе подготавливает младших школьников к более успешному изучению математики в дальнейшем.

Умение решать уравнения представляет большую сложность для младших школьников. Изучение уравнений в начальных классах обладает пропедевтическим характером. В этой связи крайне важной является подготовка детей в начальных классах к более глубокому изучению уравнений в старшей школе. В начальных классах в ходе работы над уравнениями проводится закрепление правил о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника и его площади, формирование вычислительных навыков и понимания связи между элементами действий, закрепление порядка действий и формирование умения решать текстовые задачи, осуществляется работа над формированием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения способствуют разнообразию видов заданий.

В начальных классах рассматриваются уравнения только с одной переменной.

Виды уравнений, рассматриваемых в начальных классах:

I. Простые уравнения: х – 4=6

II. Усложненные уравнения:

1. Уравнения, в которых переменная находится в правой части: 6= x-4

2. Уравнения, в которых правая часть представляет числовое выражение: х-4=36:6

3. Уравнения, в которых числовое выражение находится в обеих частях: х-(16:4)=4+2

4. Уравнения, в которых неизвестное входит в состав выражения с переменной: (х+5)-4=6

5. Уравнения, представленные комбинацией уравнений (1-4) (х+5)-4*2=36:6

6. Уравнения, в которых неизвестное находится в обеих частях 2*х-8=х+5 (только в программе Аргинской)

Проанализировав разные учебно-методические комплексы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

Автор развивающего обучения Д.Б. Эльконин, предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения математики, но при этом, не используя взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.