Формула дискриминанта в биквадратном уравнении

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0		b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0		k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
		p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax 2 + bx + c = 0	, где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0	, где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0	, где D =
	, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры

Содержание:

В самом начале напомним, что в математике принято называть уравнением. Уравнение представляет собой равенство, содержащее одну или более неизвестных величин. Решить уравнение означает найти значение неизвестной величины (или нескольких неизвестных) таким образом, чтобы их подстановка в исходное выражение давала истинное математическое равенство.

Далее подробно расскажем о биквадратных уравнениях и способах их решения. Небольшой урок по этой теме – основа, которая может оказаться неплохим подспорьем, в тот момент, когда настанет время сдавать тест по алгебре. Таким образом не приходя в школьный класс, вы сможете вполне уверенно находить решение любого биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения

ax 4 +bx 2 +c = 0, где

a и b – числовые коэффициенты,

с – свободный член.

При этом коэффициент «a» не должен равняться нулю.

Решение биквадратных уравнений

Для полной ясности рассмотрим, как решается биквадратное уравнение на примерах.

Биквадратные уравнения: примеры для решения

Сначала выполним замену переменной x2 = t и запишем новое квадратное уравнение:

Находим дискриминант для квадратного уравнения по известной формуле:

D = b 2 – 4ac = (-5) 2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 9.

Напомним о том, что в случае, когда дискриминант оказывается меньше нуля, то уравнение не будет иметь корней, а когда он равен нулю, то корень будет один.

Так как полученный дискриминант D>0, то уравнение будет иметь два корня, которые найдем по формулам: t₁ = -b+D2a и -b-D2a.

Теперь задача состоит в подстановке найденных корней в формулу, по которой мы ранее изменили переменную:

x 2 = 1 и x 2 = 4.

Корни этих уравнений очевидны, но все-таки найдем их традиционным для математики способом. Для этого занесем обе части полученных равенств под знак квадратного корня:

x 2 = 1, тогда x₁ = 1 и x₂ = –1.

x 2 = 4, тогда x₃ = 2 и x₄ = –2.

Ответ. Таким образом мы получили четыре искомых корня биквадратного уравнения

Теперь рассмотрим другой пример, в котором корни биквадратного уравнения будем находить без вычисления дискриминанта. Задание будет состоять в решении уравнения:

В этом случае будет вполне логично вынести переменную x 2 за скобки, тогда получим выражение: x 2 (–9x 2 +81) = 0.

Теперь можно приравнять к нулю каждый из сомножителей уравнения.

x 2 = 0, соответственно один из корней нашего уравнения x₁ = 0.

Второе равенство решаем следующим путем:

Заносим под знак радикала обе части полученного равенства

x 2 = 9, тогда x₂ = 3 и x₃ = –3.

Ответ. Получено три корня заданного биквадратного уравнения: x₁ = 0, x₂ = 3 и x₃ = –3.

Таким образом на примерах из школьной программы мы продемонстрировали как решать биквадратные уравнения различными способами. Надеемся, что приведенная информация будет полезной при сдаче теста.

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.