Формула для уравнения движения тел

Механическое движение

О чем эта статья:

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

• тело отсчета
• система координат
• часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

• Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
• Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

• Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
• Перемещение — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

— скорость [м/с]
— перемещение [м]
— время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Уравнение движения

Одной из основных задач механики является определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_0x — начальная скорость тела в [м/с]
t — время [с]
a_x — ускорение [м/с 2 ]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

— конечная скорость тела [м/с]
— начальная скорость тела [м/с]
— время [с]
— ускорение [м/с 2 ]

Задача

Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, . Значит

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч 2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt 2 /2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с 2 , а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали из состояния покоя. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.

Уравнение движения тела. Все виды уравнений движения

Понятие «движение» определить не так уж просто, как это может показаться. С житейской точки зрения, это состояние является полной противоположностью покоя, но современная физика считает, что это не совсем так. В философии под движением подразумеваются любые изменения, происходящие с материей. Аристотель полагал, что данное явление равносильно самой жизни. А для математика любое перемещение тела выражается уравнением движения, записанным при помощи переменных и цифр.

Материальная точка

В физике перемещение различных тел в пространстве изучает раздел механики, именуемый кинематикой. Если размеры некоего объекта слишком малы в сравнении с расстоянием, которое ему приходится преодолевать вследствие его движения, то он рассматривается здесь как материальная точка. Примером тому может служить автомобиль, едущий по дороге из одного города в другой, птица, летящая в небе, а также многое другое. Подобная упрощенная модель удобна при написании уравнения движения точки, за которую принимается определённое тело.

Бывают и другие ситуации. Представим, что тот же автомобиль хозяин решил переместить с одного конца гаража в другой. Здесь изменение местоположения сравнимо с размерами объекта. Поэтому каждая из точек автомобиля будет иметь разные координаты, а сам он рассматривается как объёмное тело в пространстве.

Основные понятия

Следует учитывать, что для физика путь, пройденный определённым объектом, и перемещение – совсем не одно и то же, а эти слова не являются синонимами. Уяснить разницу между данными понятиями можно, рассмотрев движение самолёта в небе.

След, который он оставляет, наглядно показывает его траекторию, то есть линию. При этом путь представляет собой её длину и выражается в определённых единицах (к примеру, в метрах). А перемещение – это вектор, соединяющий лишь точки начала и конца движения.

Подобное можно увидеть на рисунке, приведённом ниже, который демонстрирует маршрут машины, едущей по извилистой дороге, и вертолёта, летящего по прямой. Векторы перемещения для этих объектов будут одинаковые, а пути и траектории – разными.

Равномерное движение по прямой

Теперь рассмотрим различные виды уравнений движения. И начнём с самого простого случая, когда некий объект перемещается по прямой с одинаковой скоростью. Это значит, что по истечении равных промежутков времени путь, который он проходит за данный период, не меняется по величине.

Что нам потребуется для описания данного движения тела, вернее, материальной точки, как уже было условлено его называть? Важно выбрать систему координат. Для простоты предположим, что перемещение происходит вдоль некоей оси 0Х.

Тогда уравнение движения: x = х₀ + v_хt. Оно и будет описывать процесс в общем виде.

Важным понятием при изменении местоположения тела является скорость. В физике она является векторной величиной, поэтому принимает положительное и отрицательное значение. Здесь всё зависит от направления, ведь тело может перемещаться по выбранной оси с возрастающей координатой и в противоположную сторону.

Относительность движения

Почему так важно выбрать систему координат, а также точку отсчёта для описания указанного процесса? Просто потому, что законы мироздания таковы, что без всего этого уравнение движения не будет иметь смысла. Это показано такими великими учёными, как Галилей, Ньютон и Эйнштейн. С начала жизни, находясь на Земле и интуитивно привыкнув выбирать её за систему отсчёта, человек ошибочно полагает, что существует покой, хотя для природы не бывает такого состояния. Тело может менять местоположение или оставаться статичным лишь относительно какого-либо объекта.

Мало того, тело может двигаться и находиться в покое одновременно. Примером тому может послужить чемодан пассажира поезда, который лежит на верхней полке купе. Он движется относительно деревни, мимо которой проезжает состав, и покоится по мнению своего хозяина, расположившегося на нижнем сидении у окна. Космическое тело, некогда получив начальную скорость, способно лететь в пространстве миллионы лет, пока не столкнётся с другим объектом. Движение его не будет прекращаться потому, что перемещается оно лишь относительно прочих тел, а в системе отсчёта, связанной с ним, космический путешественник находится в покое.

Пример составления уравнений

Итак, выберем за точку отсчёта некий пункт А, при этом координатной осью пусть будет для нас автомагистраль, находящаяся рядом. А направление её будет проходить с запада на восток. Предположим, что в эту же сторону в пункт В, расположенный за 300 км, пешком отправился путешественник со скоростью 4 км/ч.

Получается, что уравнение движения задаётся в виде: х = 4t, где t – время в пути. Согласно этой формуле, появляется возможность вычислить местонахождение пешехода в любой необходимый момент. Становится понятно, что через час он пройдёт 4 км, через два – 8 и достигнет пункта Б спустя 75 часов, так как его координата х = 300 окажется при t = 75.

Если скорость отрицательна

Предположим теперь, что из В в А едет автомобиль, имея скорость 80 км/час. Здесь уравнение движения имеет вид: х = 300 – 80t. Это действительно так, ведь х₀ = 300, а v = -80. Следует обратить внимание, что скорость в данном случае указывается со знаком «минус», потому что объект перемещается в отрицательном направлении оси 0Х. Через какое время автомобиль достигнет пункта назначения? Это произойдёт, когда координата примет нулевое значение, то есть при х = 0.

Остаётся решить уравнение 0 = 300 – 80t. Получаем, что t = 3,75. Это означает, что автомобиль достигнет пункта В через 3 часа 45 минут.

Необходимо помнить, что координата тоже может быть отрицательной. В нашем случае это оказалось бы, если б существовал некий пункт С, находящийся в западном направлении от А.

Движение с увеличением скорости

Перемещаться объект может не только с постоянной скоростью, но и менять её с течением времени. Движение тела может происходить по очень сложным законам. Но для простоты следует рассмотреть случай, когда ускорение увеличивается на определённое постоянное значение, а объект перемещается по прямой. В данном случае говорят, что это равноускоренное движение. Формулы, описывающие этот процесс, приведены ниже.

А теперь рассмотрим конкретные задачи. Допустим, что девочка, сев на санки на вершине горы, которую мы выберем за начало воображаемой системы координат с направлением оси по наклону вниз, начинает двигаться под действием силы тяжести с ускорением, равным 0,1 м/с 2 .

Тогда уравнение движения тела имеет вид: s_x = 0,05t 2 .

Понимая это, можно узнать расстояние, которое девочка проедет на санках, для любого из моментов перемещения. Через 10 секунд это будет 5 м, а через 20 секунд после начала движения под гору путь составит 20 м.

Как выразить скорость на языке формул? Поскольку v_0x = 0 (ведь санки начали катиться с горы без начальной скорости только под действием силы притяжения), то запись не будет слишком сложной.

Уравнение скорости движения примет вид: v_x= 0,1t. Из него мы сможет узнать, как изменяется этот параметр с течением времени.

К примеру, через десять секунд v_x= 1 м/с 2 , а через 20 с примет значение 2 м/с 2 .

Если ускорение отрицательно

Существует и другой вид перемещения, относящийся к тому же типу. Это движение называют равнозамедленным. В данном случае скорость тела тоже изменяется, но с течение времени не увеличивается, а уменьшается, и тоже на постоянную величину. Снова приведём конкретный пример. Поезд, ехавший до этого с постоянной скоростью 20 м/с, начал тормозить. При этом ускорение его составило 0,4 м/с 2 . Для решения примем за начало отсчёта точку пути поезда, где он начал тормозить, а координатную ось направим по линии его перемещения.

Тогда становится понятно, что движение задано уравнением: s_x = 20t — 0,2t 2 .

А скорость описывается выражением: v_x = 20 – 0,4t. Необходимо заметить, что перед ускорением ставится знак «минус», так как поезд тормозит, и данная величина отрицательна. Из полученных уравнений возможно заключить, что состав остановится через 50 секунд, проехав при этом 500 м.

Сложное движение

Для решения задач в физике обычно создаются упрощённые математические модели реальных ситуаций. Но многогранный мир и явления, происходящие в нём, далеко не всегда вписываются в подобные рамки. Как составить уравнение движения в сложных случаях? Проблема решаема, ведь любой запутанный процесс возможно описать поэтапно. Для пояснения снова приведём пример. Вообразим, что при запуске фейерверков одна из ракет, взлетевшая с земли с начальной скоростью 30 м/с, достигнув верхней точки своего полёта, разорвалась на две части. При этом соотношение масс получившихся осколков составило 2:1. Далее обе части ракеты продолжили двигаться отдельно одна от другой таким образом, что первая полетела вертикально вверх со скоростью 20 м/с, а вторая сразу упала вниз. Следует узнать: какова была скорость второй части в момент, когда она достигла земли?

Первым этапом данного процесса окажется полёт ракеты вертикально вверх с начальной скоростью. Перемещение будет равнозамедленным. При описании понятно, что уравнение движения тела имеет вид: s_x = 30t – 5t 2 . Здесь мы полагаем, что ускорение свободного падения для удобства округляется до значения 10 м/с 2 . Скорость при этом будет описываться следующим выражением: v = 30 – 10t. По этим данным уже возможно вычислить, что высота подъёма составит 45 м.

Вторым этапом движения (в данном случае уже второго осколка) окажется свободное падение этого тела с начальной скоростью, получаемой в момент распадения ракеты на части. При этом процесс будет равноускоренным. Для нахождения окончательного ответа сначала вычисляет v₀ из закона сохранения импульса. Массы тел относятся 2:1, а скорости находятся в обратной зависимости. Следовательно, второй осколок полетит вниз с v₀ = 10 м/c, а уравнение скорости примет вид: v = 10 + 10t.

Время падения мы узнаем из уравнения движения s_x = 10t + 5t 2 . Подставим уже полученное значение высоты подъёма. В результате выходит, что скорость второго осколка приблизительно равна 31,6 м/с 2 .

Таким образом, разделяя сложное движение на простые составные части, можно решать любые запутанные задачи и составлять уравнения движения всех видов.

Кинематика в физике — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Основная задача механики — описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, — это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика — одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. — найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости — это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля — достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ — невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка — это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели — пассажир в купе и провожающий на перроне — оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения — прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь — это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути — километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь — это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение — это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория — прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с — это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение — векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х — x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v — модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то 0) либо устремляться вниз ( 0 (рис. 1.15) либо 0 и 0, скорость движения увеличивается, ведь — > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения — оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое — отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение выражение Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения — замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = — at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку 0), либо падать вниз ( 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.