Уравнения с двумя переменными
Содержание:
Уравнения с двумя переменными — это решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с парой чисел (x,y), если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения с двумя переменными
Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; у) = 0. Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной х, а на второе — значение у.
Так, пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями уравнения х — Зу = 10. В то же время пара (1; 5) решением уравнения не является.
Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например х через у, получив уравнение х = 10 + Зу. Выбрав произвольное значение у, можно вычислить соответствующее значение х. Например, если у = 7, то х = 10 + 3 * 7 = 31; значит, пара (31; 7) является решением уравнения; если у = -2, то х = 10 + 3 (-2) = 4; значит, пара (4; -2) также является решением заданного уравнения.
Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения (или оба не имеют решений).
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 1 и 2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.
Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называют графиком уравнения f(х; у) = 0.
Например, графиком уравнения является парабола (см. рис. 1.10); графиком уравнения у — х = 0 является прямая (биссектриса первого и третьего координатных углов, см. рис. 1.8); графиком уравнения у — 3 = 0 является прямая, параллельная оси х (рис. 1.108), а графиком уравнения х + 2 = 0 — прямая, параллельная оси у (рис. 1.109). Графиком уравнения является одна точка (1; 2), так как координаты только этой точки удовлетворяют уравнению.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Уравнение вида , где х, у — переменные, а — числа, называют линейным; числа называют коэффициентами при переменных, с — свободным членом.
Графиком любого линейного уравнения , у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если , то эта прямая параллельна оси у, если , то эта прямая параллельна оси х.
Пример:
Построить график уравнения 2х-3у = -6.
Решение:
Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Подставив в уравнение 2х — 3у = -6 вместо х значение 0, получим -Зу = -6, откуда у = 2. Подставив в уравнение 2х — 3у = -6 вместо у значение 0, получим 2х = -6, откуда х = -3.
Итак, мы нашли две точки графика: (0;2) и (-3;0). Проведя через них прямую, получим график уравнения 2х — Зу = -6 (рис. 1.110).
Если линейное уравнение имеет вид 0 * х + 0 * у = с, то могут представиться два случая:
1) с = 0; в этом случае уравнению удовлетворяет любая пара ( х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;
2) в этом случае уравнение не имеет решения; значит, его график не содержит ни одной точки.
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
- повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
- воспитание познавательного интереса к учебному предмету
- формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
I. Метод рассмотрения остатков от деления.
Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
- Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
y = 0 | не подходит | не подходит |
2x = -4 | не подходит | не подходит |
x = -2 | ||
y = 0 |
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z |
б) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
в) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
г) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
д) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
е) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
ж) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
з) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81 | x = 2, y = 1 |
б) 17x + 23y = 183 | x = 4, y = 5 |
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy | (0;0), (2;2) |
б) | (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) |
Число 3 можно разложить на множители:
a) | б) | в) | г) |
в) | (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12) |
г) | (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23) |
д) | (48;0), (24;1), (24;-1) |
е) | x = 3m; y = 2m, mZ |
ж) y = 2x – 1 | x = m: y = 2m – 1, m Z |
з) | x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z |
и) | решений нет |
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4) | |
(x — 3)(xy + 5) = 5 | (-2;3), (2;-5), (4;0) |
(y + 1)(xy – 1)=3 | (0;-4), (1;-2), (1;2) |
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1) | |
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12) | |
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) |
5) Решить уравнения в целых числах.
а) | (-1;0) |
б) | (5;0) |
в) | (2;-1) |
г) | (2; -1) |
Формула для уравнения с двумя переменными
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x =0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x =0`, `y =0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
http://urok.1sept.ru/articles/417558
http://zftsh.online/articles/5720