Формула дюамеля дифференциальные уравнения примеры

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Применения операционного исчисления

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin &x»’+2x»+5x’=0,\\ &x(0)=-1, \,\, x'(0)=2, \,\, x»(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\\ &x»'(t) \risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x»(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. \end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. \end И найдем из него неизвестное $X(p)$: \begin X(p)=-\frac. \end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq x(t)=-\displaystyle\frac15-\displaystyle\frac45 e^<-t>\mbox\,2t+\displaystyle\frac35e^<-t>\mbox\,2t. \end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»-2x’-3x=e^<3t>,\\ x(0)=x'(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), \end Справа стоит $e^<3t>$, изображение равно $\displaystyle\frac<1>$.

Запишем операторное уравнение: \begin (p^2-2p-3)X(p)=\frac<1>. \end Находим $X(p)$: \begin X(p)=\frac<1><(p-3)^2(p+1)>. \end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq \displaystyle\frac14\,te^<3t>-\displaystyle\frac<1><16>\,e^<3t>+\displaystyle\frac<1><16>\,e^<-t>. \end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+3x’=\mbox\,2t,\\ x(0)=2, \,\, x'(0)=0. \end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+x’=e^t,\\ x(1)=1, \,\, x'(1)=2. \end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: \begin y»+y’=e^,\\ y(0)=1, \,\, y'(0)=2. \end Записываем операторное уравнение \begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=\displaystyle\frac. \end

Решаем полученное уравение: \begin Y(p)=\displaystyle\frac<(p-1)(p^2+p)>+\displaystyle\frac. \end \begin y(t)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t>+(3-e). \end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: \begin x(t)=y(t-1)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t+1>+(3-e). \end

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0. \\ \end \right. \end

Запишем изображения: \begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p). \end \end \begin 8 \risingdotseq \displaystyle\frac<8>

, \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+\displaystyle\frac<8>

, \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac\risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2p+6>\risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8y, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

\begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p),\\ 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. &\\ \end \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac\risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2(p-1)>\risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’-2x-4y = \mbox\, t, \\ &y’+x+2y = \mbox\,t, \\ &x(0)=0,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= \frac

, \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1>.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac<2>

+\displaystyle\frac<4>-\displaystyle\frac<2p+3>\risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox\,t-3\,\mbox\,t. \end \begin Y(p)=-\displaystyle\frac<2>+\displaystyle\frac<2>\risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox\,t. \end

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin \begin y(t) & \risingdotseq Y(p),\\ y'(t) & \risingdotseq p\,Y(p),\\ y»(t)& \risingdotseq p^2Y(p),\\ &\cdots\\ y^<(n)>(t)& \risingdotseq p^nY(p). \end \end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: \begin Y(p)\cdot h(p) = \frac<1>

,\\ h(p)=p^n+a_1p^+\ldots+a_n. \end $$Y(p) \risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin h(p)=\frac<1>. \end Тогда $$ X(p) = F(p)\,pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) \risingdotseq y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin x»+2x’=\frac<1><1+e^<2t>>, \,\, x(0)=0, \,\, x'(0)=0. \end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin (p^2+2p)X(p)=F(p). \end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $\frac<1><1+e^<2t>>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда \begin X(p)=\frac. \end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: \begin (p^2+2p)Y(p)=\frac<1>

\,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1>. \end Тогда \begin X(p)=\frac<\frac<1>>=pF(p)Y(p). \end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin X(p)=p F(p) Y(p) \risingdotseq x(t)=y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau, \end где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения: \begin \begin & y(t)=-\frac14+\frac12t+\frac14 e^<-2t>,\\ & y(0)=0,\\ & y'(t-\tau)=\frac12-\frac12e^<-2(t-\tau)>. \end \end

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+x=\eta(t)-\eta(t-2), \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin &x»+x \risingdotseq p^2\,X(p)+X(p),\\ &\eta(t)-\eta(t-2) \risingdotseq \frac<1>

-\frac>

. \end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $\displaystyle\frac<1>$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin &\frac<1>\risingdotseq \mbox\,t \,\, \Rightarrow\\ &\frac<1>\risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox\,\tau\,d\tau=-\mbox\,t+1. \end Тогда изображение для $\displaystyle\frac>$ по теореме запаздывания будет равно: \begin \frac>\risingdotseq (-\mbox\,(t-2)+1)\eta(t-2). \end

Решение заданного уравнения: \begin x(t)= (1-\mbox\,t)\eta(t)-(1-\mbox\,(t-2))\eta(t-2). \end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+4x=f(t). \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin &f(t)=2t\eta(t)-4(t-1)\eta(t-1)+2(t-2)\eta(t-2),\\ &F(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Операторное уравнение имеет вид: \begin &X(p)(p^2+4)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin \frac<2>=\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox\,2t. \end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: \begin X(p)\risingdotseq x(t)= \frac12\left(t-\frac12\,\mbox\,2t\right)\eta(t)-\\ -\left((t-1)-\frac12\,\mbox\,2(t-1)\right)\eta(t-1)+\\ +\frac12\left((t-2)-\frac12\,\mbox\,2(t-2)\right)\eta(t-2). \end

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin f_0(t)=\begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2021/05/28 18:23 — nvr

Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

.

Пусть входное воздействие является импульсной функцией Поскольку , изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

.

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

Поскольку изображение выходного сигнала является произведением изображений, то и оригинал можно представить как свертку оригиналов и :

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

Взяв в качестве правой части импульсную функцию и переходя к изображениям, получим передаточную функцию:

:

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t), можно найти решение дифференциального уравнения.

Пусть Тогда

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Правая часть уравнения задана функцией

Для применения формулы свертки следует записать , используя ступенчатые функции Хевисайда:

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид получаем решение :

Другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки основан на формуле Дюамеля. Характеристикой системы в этом случае служитпереходная функция , которая определяется как реакция (отклик) системы на постоянное воздействие

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функция и связаны соотношениями:

С учетом того, что

,

можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

Заметим, что при условии две первых формы записи решения совпадают с записью

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использовать для непрерывных функций . В том случае, если функция имеют точки разрыва первого рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения. Например, если правая часть имеет вид:

то и формула Дюамеля принимает вид:

Переходя к оригиналам, получаем

Применим формулу Дюамеля для решения примера 9.

Пример 9 (продолжение)

Производная функции, стоящей в правой части уравнения равна:

Переходная функция системы имеет вид:

Тогда вычисляя по формуле

с учетом того, что , получаем:

=

ЗАДАЧИ

1. Решите линейные дифференциальные уравнения с использованием свертки (формула Грина, формулы Дюамеля)

а) Решите дифференциальное уравнение для правых частей различного вида

Ответы:

b) f)

Контрольные вопросы:

1. Модуль и аргумент комплексного числа

2. Запись комплексного числа в показательной и тригонометрической формах

3. Степенная функция комплексного аргумента. Свойства

4. Показательная функция комплексного аргумента. Свойства

5. Логарифмическая функция комплексного аргумента. Свойства

6. Тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

7. Гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства

8. Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

9. Обратные гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства.

10. Понятие аналитической функции. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей

11. Ряд Тейлора. Область сходимости. Ряд Лорана. Область сходимости

12. Классификация изолированных особых точек.

13. Вычет аналитической функции в изолированной конечной особой точке. Вычет аналитической функции в бесконечно удаленной особой точке

14. Применение вычетов к вычислению контурных интегралов

15. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов

16. Определите характер особой точки для функций

17. Вычислить

18. Вычислить

19. Вычислить

20. Особенности ряда Фурье для четной и нечетной функции

21. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал.

22.Обратное преобразование Лапласа. Теоремы разложения.

23. Решение линейных дифференциальных уравнений операторным методом

24. Формулы Грина и Дюамеля. Применение к решению линейных дифференциальных уравнений

25. Установите соответствие между комплексным числом и его модулем
1.
2.
3.
4.

Варианты ответов:

5 , 2 , 3 , 13 , ,

26. Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

27.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

28.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

29.Установите соответствие между комплексными числами и их аргументами

1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , , ,

30.Произведение комплексного числа на сопряженное число равно…

31.Частное от деления двух комплексно сопряженных чисел, где , равно…

32.Дано: , тогда равно …

33.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

34.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

35.Значение функции в точке равно…

36.Значение функции в точке равно…

37.Значение функции в точке равно…

38.Значение функции в точке равно…

39.Значение функции в точке равно…

40.Дана функция , . Тогда коэффициент b₄ разложения в ряд Фурье равен…

41.Дана функция , . Тогда коэффициент b₃ разложения в ряд Фурье равен…

42.Дана функция , . Тогда коэффициент а₂ разложения в ряд Фурье равен…

43.Дана функция , . Тогда коэффициент b₄ разложения в ряд Фурье равен…

44. Комплексное число можно представить в виде …

Варианты ответов:

Должен быть указан не менее двух вариантов ответа

1) , 2) , 3)

РГР № 15 (0,556 ЗЕ)

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание работы

1.Алгебра случайных событий.

2.Случайные величины. Законы распределений. Числовые характеристики.

3.Математическая статистика. Оценки числовых характеристик. Определения закона распределения по выборке. Критерии согласия.

4.Математическая статистика: оценка коэффициента корреляции по выборочным данным, уравнение линейной регрессии.

Список литературы [2,5,12, 15, 18 ]

Номера задач указаны согласно сборнику задач по математике для втузов

, часть 3 « Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В.М., « Наука», 1990 (№ 15 в списке литературы, имеется в библиотеке в достаточных количествах)

1. Основные понятия. Алгебра событий. № 14.1, 14.68, 14.69, 14.70,14.5, 14.7 (14.148), 14.80,4.87, 14.139, 14.191, 14.198, 14.207, 14.208-14.211, 14.214, 14.226, 14.227, 14.231, 14.233, 14.243.

2.Случайные величины. Законы распределений. Основные характеристики.

№ 14.312, 14.313, 14.323, 14.352, 14.353, 14.354, 14.278, 14.279, 14.294, 14.297, 14.300, 14.365-14.367,14.536-14.539, 14.558, 14.559, 14.560, 14,570

3.Данные для статистической обработки (задания № 3, 4) каждый студент получает от преподавателя или получает самостоятельно (утверждает у преподавателя). Подробное рассмотрение в электронном пособии (№ 18 в списке литературы)

Лабораторная работа № 1

« Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения. Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения»

1. Получите выборку из чисел

2. Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по величине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.

3 .Представьте выборку в виде группированного статистического ряда (с.178- 181)

· определите размах выборки

· определите число интервалов группировки одним из способов:

· а) Способ 1: выбираете число интервалов , а затем находите шаг (ширину интервала группировки) , б) Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки) по формуле .

· Определите границы интервалов группировки , и так далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал ( наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)

· Найдите середину каждого интервала

· Определите частоты — число элементов выборки, содержащихся в каждом -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.

· Найдите накопленные частоты . При этом сумма частот по всем интервалам должна совпадать с объемом выборки . Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.

· Найдите относительные частоты , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал

· Найдите относительные накопленные частоты . Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую ( выборочную) функцию распределения

· Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют статистическим рядом ( табл. 1.1 на стр. 181)

Номер интервала	Границы интервала	Середина Интервала	Частота	Накопленная Частота	Относитель- ная частота	Накопленная Относитель- ная частота
·	·	·	·	·	·	·
·	·	·	·	·	·	·

· Представить выборку графически (стр. 182-183)

· строим полигон частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим полигон относительных частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим гистограмму —кусочно-постоянную функцию, которая на каждом интервале группировки принимает значение . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки .

Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот отличаются от указанной характеристики растяжением в раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распределения генеральной совокупности .

Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: . При этом карманы (интервалы группировки) надо задать отдельно.

Формула дюамеля дифференциальные уравнения примеры

Пользуясь таблицей, получим решение:

2. Применение формулы Дюамеля . При решении дифференциальных уравнений иногда удобно применять формулу Дюамеля (см. задание 31, пр. 2).

Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами.

при нулевых начальных условиях

где f ( t ) – оригинал.

(Заметим, что простой заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)

Рассмотрим вспомогательное линейное дифференциальное уравнение

при тех же нулевых начальных условиях.

Предположим, что известно решение этого дифференциального уравнения – , которое является оригиналом. Допустим, что искомое решение уравнения (1) – также является оригиналом.

Для изображения введенных нами оригиналов используем обозначения:

Применяя к левой и правой частям уравнений и преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, придем к операторным уравнениям

Разделив первое из этих уравнений на второе, получим соотношение

Применив интеграл Дюамеля и используя свойства свертки, получим искомое решение y ( t ) в виде