Формула корней квадратного уравнения 8 класс открытый урок

Открытый урок по математке в 8 классе по теме «Формула корней квадратного уравнения»
план-конспект урока (алгебра, 8 класс) по теме

Урок изучения новой темы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока. Формула корней квадратного уравнения.

Тип урока. Изучение нового материала.

Образовательные: изучить новый приём решения квадратных уравнений по формуле.

Воспитательные: воспитывать стремление к достижению цели, уважительное отношение к старшим и друг другу, честность, взаимопомощь, интерес к математике.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать.

Задачи урока: познакомить учащихся с понятием дискриминанта, вывести формулу корней квадратного уравнения, учить применять её при решении квадратных уравнений.

Оборудование к уроку: компьютер, мультимедийный проектор.

2. Актуализация знаний.

3. Постановка проблемы.

4. Открытие нового знания.

5. Первичное закрепление.

6. Фронтальная работа с классом.

7. Работа в парах.

8. Самостоятельная работа.

9. Подведение итогов урока.

10. Домашнее задание.

Если ты услышишь, что кто-то не любит

математику, не верь.

Её нельзя не любить – её можно только не знать.

Сегодня у нас не совсем обычный урок, к нам пришли гости. Посмотрите на наших гостей, улыбнитесь им, посмотрите друг на друга и тоже улыбнитесь, ведь от улыбки станет всем теплей, поднимется настроение.

Сценка. (В класс заходит ученик, сильно хромая).

— Я бегал по коридору и упал, кажется, вывихнул ногу.

— Чем же мы можем тебе помочь?

— Вы ведь занимаетесь алгеброй? Значит, вы и сможете мне помочь.

Сообщение ученика. Термин “алгебра”, как название искусства восстановления, у арабов перешел и в медицину. Искусство врача “костоправа” так же называли алгеброй.

Мы тебе помочь не сможем. Мы изучаем алгебру, квадратные уравнения. Алгебра от слова “аль – джебр” – восстановление, восполнение или “перенос слагаемых из одной части уравнения в другую”.

На этом уроке мы вспомним, какие уравнения называются квадратными, из каких элементов они состоят, какие виды квадратных уравнений различают. Рассмотрим ещё один способ решения квадратных уравнений.

2. Актуализация знаний. (слайд 1)

Какие уравнения вы видите на экране? (Квадратные)

– Докажите, что данные уравнения квадратные.

– Перечислите виды квадратных уравнений, изображенных на экране. (Неполные квадратные уравнения, полные квадратные уравнения, приведенные и неприведенные квадратные уравнения).

– Какие методы вы применяете при решении квадратных уравнений? (1. При решении неполных квадратных уравнений следует воспользоваться определением квадратного корня (когда нет слагаемого при х), либо вынесением х за скобки; 2. Выделение полного квадрата).

3. Постановка проблемы.

— Решите уравнение 3 х 2 +7 х +1 = 0 методом выделения полного квадрата за 1 минуту.

Учащиеся не успевают за отведенное время решить уравнение.

— Почему не решили уравнение? ( Не хватило времени.)

— Почему не хватило времени? (Приходится работать с дробными числами).

— Что же вы будете делать, если вам предложат решить уравнение 67 х 2 – 105 х + 172 = 0?

— Удобны ли известные нам способы решения квадратных уравнений для решения последних двух уравнений? ( Нет.)

— Какой выход вы предлагаете? ( Найти новый способ решения квадратных уравнений.)

— Какую цель мы перед собой поставим на этом уроке? ( Попробовать найти другой способ решения квадратных уравнений.)

— Запишем тему урока «Решение квадратных уравнений по формуле.»

4.Открытие нового знания.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 в. учитывают помимо положительных и отрицательные числа. Лишь в 17 в. благодаря трудам Ньютона, Декарта и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.( Слайд 2)

Над проблемой решения квадратных уравнений математики бились в течение нескольких тысячелетий.

Вы же легко научитесь решать любое квадратное уравнение на этом уроке, на зависть математикам Древней Греции и Индии.

Чтобы каждый раз не проводить громоздкие вычисления, нам достаточно один раз решить уравнение в общем виде и получить готовые формулы для корней квадратного уравнения.

— П опробуем установить, как связаны корни квадратного уравнения с числами а , b , с .

— Числа а , b , с мы видим в квадратном уравнении, а корней – нет. Что будем делать? ( Искать корни.)

Для начала надо выделить в уравнении полный квадрат. Для этого разделим уравнение на старший коэффициент а .

Теперь получим формулу квадрата суммы. Для этого сначала добавим, а затем вычтем выражение .

Преобразуем полученное уравнение.

В левой части запишем квадрат суммы, а в правую перенесём всё остальное.

Теперь упростим правую часть, т.е. из одной дроби вычтем другую.

Обратите внимание на знаменатель в правой части. Отрицательное или положительное это число? Знаменатель этой дроби всегда положительный.

Значит, только от числителя, стоящего в правой части, зависит, сколько корней имеет это квадратное уравнение. Поэтому такой числитель и удостоился в математике собственного имени. Его называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой D.

В математике довольно редко бывает так, чтобы введённый термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans – различающий. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может не иметь корней вообще.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение корней не имеет.

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один корень.

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет ровно два различных действительных корня, причём получить их можно по готовой формуле. А полученные при этом формулы мы и будем использовать в дальнейшем для нахождения корней .

– формула корней квадратного уравнения.

5. Первичное закрепление.

Пример 1. Решить уравнение 3 х 2 + 8 х – 11 = 0.

a = 3, b = 8, c = – 11

D = b 2 – 4 ac = 8 2 – 4 · 3 · (–11) = 64 + 132 = 196, D > 0

Пример 2. Решить уравнение – 9 х 2 + 6 х – 1 = 0.

Как показывает опыт удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положительный. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на –1, получим:

9 х 2 – 6 х + 1 = 0

Это уравнение можно было решить по другому: так как 9 х 2 – 6 х + 1= (3 х – 1) 2 , то получаем уравнение (3 х – 1) 2 = 0,

Пример 3. Решить уравнение 2 х 2 – х + 3,5 = 0.

Уравнение не имеет корней.

6. Фронтальная работа с классом.

а) х 2 – 5 х + 6 = 0, D = 1, x 1 = 2, x 2 = 3;

б) х 2 – 2 х – 15 = 0, D = 64, x 1 = –3, x 2 = 5.

7. Работа в парах.

№ 25.7 (а, б, в) (по очереди объясняют решение уравнений друг другу)

а) 2 х 2 + 3 х + 1 = 0, D = 1, x 1 = , x 2 = –1;

б) 3 х 2 – 3 х + 4 = 0, D = –39, корней нет ;

в) 5 х 2 – 8 х + 3 = 0, D = 4, x 1 = 1, x 2 = 0,6.

8. Самостоятельная работа .

№ 25.6 (по вариантам)

а) х 2 + 42 х + 441 = 0, D = 0, x = , x = –21;

б) х 2 + 8 х + 7 = 0, D = 36, x 1 = –1, x 2 = –7.

в) х 2 – 34 х + 289 = 0, D = 0, x = , x 2 = 17;

г) х 2 + 4 х – 5 = 0, D = 36, x 1 = 1, x 2 = –5.

9. Подведение итогов урока. Оценки.

1) Какую цель мы поставили перед собой на этом уроке?

2) Почему она возникла?

3) Достигли ли мы своей цели?

Ребята, прочитайте пословицу “ Математика – гимнастика ума”.

Что такое гимнастика?

Выслушав ответы, учитель подводит итог:

Гимнастика – это система упражнений для физического развития человека; гимнаст – человек ловкий, стройный, сильный, пластичный, красивый.

Математика также много даёт для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание, закаляет характер.

10. Домашнее задание .

Самым трудным и важным делом для каждого ученика является выполнение домашнего задания. Если домашнее задание выполнено правильно, то на уроке вы чувствуете себя гораздо увереннее.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8-классе по теме: «Решение квадратных уравнений»

Разработка урока по алгебре в 8 классе на тему «Квадратные уравнения». В ходе урока рассматриваются различные способы решения квадратных уравнений, в том числе представлены продвинутые способы р.

Мастер-класс !Урок математики в 10 классе по теме «Решение квадратных уравнений с параметром»

Мастер-класс на региональном семинаре учителей математики (февраль 2012 г.) «Развитие ключевых образовательных компетенций на примере урока математики в 10 классе по теме «Решение ква.

Урок алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений».

Урок применения знаний к новой ситуации по теме «Решение квадратных уравнений».

Урок алгебры в 8 классе. Рациональные способы решения квадратных уравнений

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях р.

Интегрированный урок математики и информатики. 8-й класс. Использование информационных технологий на уроке математики. Тема «Геометрический метод определения количества корней квадратных уравнений «

Психологические исследования подтверждают, что некоторые обучающиеся испытывают значительные трудности при работе с информацией, представленной в формализованном и формальном виде, не восп.

Разработка проблемно-эвристического урока алгебры в 8 классе по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами.

Открытое занятие по математике.10 класс. Элективный курс. Решение квадратных уравнений с параметрами

Сценарий элективного курса. 10 класс. Мультимедийное приложение SMART.

Формулы корней квадратных уравнений. Открытый урок по алгебре 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок изучения формулы корней квадратного уравнения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Учитель: Макрова Н.А.

Учебник: Мордкович А.Г.

Тема: Формулы корней квадратных уравнений

Образовательная:
вывод и обоснование формулы корней квадратных уравнений и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений.

Воспитательная:
воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Развивающая:
развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

• Подвести учащихся к самостоятельному выводу формулы корней квадратного уравнения на основе имеющихся данных.
• Использовать простые логические рассуждения для возможной постановки более сложных заданий и их решения.

• Тесты на усвоение новых понятий и терминов и нахождения корней уравнений разного вида.
• Таблица “Алгоритм решения квадратных уравнений с помощью формулы”

1. Орг момент
2. Проверка д/з №24.22(в), х 0 =8, у 0 =0, ответ: х=8

24.33(в) 49+7р-35=0, 7р=14, р=2. Ответ: х=7.

Во время устного счёта учащиеся называют коэффициенты уравнений. Какие уравнения называются квадратными?

Б) Составьте квадратные уравнения, если известны их коэффициенты:

В) Не решая уравнения, найдите корни, если они имеются

что значит решить уравнение?

4.Изучение новой темы

Вы с начальных классов уже умеете решать уравнения различных видов. А сейчас давайте узнаем, благодаря кому они появились.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне. Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”,написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

На каких предметах вы используете слово «Корень»? (русский язык – корень слова, биология – корень дерева)

Какие высказывания вы знаете? («Зри в корень», «Корень зла», «Корень учения горек, да плод его сладок»)

Сегодня на уроке мы будем говорить о корнях квадратного уравнения

Задача 1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 2 см., а площадь равна . Найти стороны прямоугольника.

Решение: х см- ширина; (х+2)см-длина; х (х+2)=15; +2х=15. Как мы можем решить данное уравнение? (графическим методом). Сегодня на уроке мы познакомимся еще с одним методом решения квадратных уравнений – аналитическим.

Учащиеся останавливаются на данном шаге. Не могут решить уравнение.

В связи с этим, какая задача возникает перед нами? (Найти способ решения данных уравнений и выяснить, что это за уравнение)

Как мы будем его решать?

1. А какие квадратные уравнения вы знаете? (Приведенные и неприведенные, полные и неполные).Что значит решить уравнение? (Найти корни его или выяснить их отсутствие).
2. Что такое корень квадратного уравнения? (Это значение переменной, при котором квадратный трехчлен равен нулю.)

С помощью выделения полного квадрата мы решим квадратное уравнение в общем виде ах2 + вх + с = 0.

а(x 2 + b/a *x + c/a ) = 0

a(( x 2 + 2x*b/2a + (b/2a) 2 ) – (b/2a) 2 + c/a) = 0

a((x + b/2a) 2 – b 2 /4a 2 + c/a) =0

a((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/4a 2 ) = 0

a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/ 4a = 0

а(x + b/2a) 2 = (b 2 – 4ac)/4a; b 2 – 4ac = D Выполняя задание, вы, конечно, обратили внимание на то, что “различителем” числа корней квадратного уравнения является выражение b 2 — 4ас.

Ему дано специальное имя – дискриминант (от discriminantis – по латыни “различающий”, “разделяющий”). Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Дискриминант обозначается буквой D :

А в толковом математическом словаре (дети смотрят сами) дискриминант квадратного трёхчлена – величина, определяющая характер его корней.

Что общего между понятием “светофор” и “дискриминант”?

а(x + b/2a) 2 = D/4a; (x + b/2a) 2 = D/4a 2 ;

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2) Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:

— одним коэффициентом;
— двумя коэффициентами;
— тремя коэффициентами;
— некоторым выражением, составленным из коэффициентов?

3) Как вы думаете, как определить число корней уравнения?

Выясняем, что если

D = 0, то один корень х + b/2а = 0.

Возвращаясь к домашнему заданию, выясняем, что по такой же формуле находится вершина параболы.

Открытый урок по алгебре на тему: «Формулы корней квадратных уравнений» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по теме: «Формулы корней квадратного уравнения»

Тип. Урок- закрепление.

Цель. Закрепить умение решать квадратные уравнения по формулам.

Задачи. 1. Дидактическая. Закрепить умение решать квадратные уравнения по формулам; выработать умение выбрать нужный рациональный способ

2. Развивающая. Развивать логическое мышление, память, внимание, учебные умения, умение сравнивать и обобщать;

3. Воспитательная. Воспитывать трудолюбие, взаимопомощь, математическую культуру.

Знать. Алгоритмы решения неполных квадратных уравнений, формулы корней квадратных уравнений, при каком условии уравнение не имеет корней и т.д..

Уметь. Решать квадратные уравнения с помощью формул.

Оборудование. Карточки теста, карточки задания «3 в 1», карточки с/р «Для души», интерактивная доска.

Приветствие, постановка цели.

Проверка домашнего задания.

Тест на решение квадратных уравнений.

Сведения из истории квадратных уравнений.

Самостоятельная работа «Для души».

Итоги урока, оценки за урок.

1.Ребята, сегодня мы закрепляем знания и умения по теме «Формулы корней квадратного уравнения». Эпиграфом нашего урока послужат слова Оливера Лоджа:

«Уравнение представляет собой наиболее серьезную и важную вещь в математике».

«Решение уравнения, иногда, аналогично интерпретации иероглифа или переводу незнакомой фразы на понятный язык».

Сэр Оливер Джозеф Лодж (англ. Sir Oliver Joseph Lodge 12 июня 1851 — 22 августа 1940) – английский физик и изобретатель, один из изобретателей радио.

2. Повторим теорию.

1. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

2. Дайте определение квадратного уравнения.

3. Как называются числа a, в и с?

4. Какое квадратное уравнение называется неполным?

5. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

6. От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

7. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

8. Назовите формулу корней квадратного уравнения.

9. Назовите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

3. Проверка домашнего задания.

№ 131. 2) , 4) .

№ 133. 2) , 4) 6) , 8) .

2х 2 -7х-4=0 2) -3х 2 -х+4=0

D = 49-32=18, два корня D = 1+ 48=49, два корня.

х_1,2= х₁= х₂=

Ответ: Ответ: -1; 1

В (1) уравнении D = 49+32=81, х₁=4; х₂= — 0,5.

Во (2) уравнении (-в)=1, тогда х₁= -1; х₂= 1.

5. Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате, составленном в 499 году индийским математиком и астрономом.

Его имя вы узнаете, решив уравнения.

Тест на решение квадратных уравнений.

1) 2х 2 +3х+1=0; 2) 2х 2 -5х-3=0; 3) х 2 +3х-4=0; 4) 4х 2 +6х+2=0;

(-1;-А (-0,5;3) Р (1;-4) И (-1;-0,5) А

5) 9х 2 +6х+1=0; 6) 2х 2 +5х+2=0; 7) 6х 2 +9х+3=0; 8) х 2 -х-2=0;

—Б (-0,5;-2) Х (-1; -0,5) А (-1; 2) Т

9) (3х-1)(х-2)+(х+1)(х+2)=12; 10)

(-

(-

(-

—

Да, имя индийского учёного — Ариабхатта

6. Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне(около 2 тыс. лет до н. э.). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский( III век).

Правило решения квадратных уравнений дал индийский учёный

Брахмагупта( VII век).

Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М. Штифелем.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Ф.Виет.

1) х 2 -5х+9=0; 4) х 2 +7х-8=0;

х 2 -6х+5=0; 5) 3х 2 +6х-9=0;

2х 2 +х+2=0; 6) 5х 2 +4х-1=0;

Корней нет. (-1;

8. Задание «3 в 1».

1 вариант. 2 вариант.

х 2 +7х+12=0 х 2 +5х+6=0

Составьте и решите новое уравнение, у которого

а = D ; в = х₁ = ; с = х₂ =

Найдите сумму корней нового уравнения

Ответ: 3 Ответ: 2.

9. Запишите домашнее задание.

Учебник стр.49: №134; 135, повторить формулы

Задание «Для души»

2(х-2)(х+2)=(х+1,5) 2 + 4(х — 5;

(х-3) 2 + (х+4) 2 – (х-5) 2 = 17х + 24.

Сегодня мы повторили формулы решения квадратных уравнений.

Закрепили умение решать квадратные уравнения с помощью формул.