Формула коши решения дифференциальных уравнений

Формула коши решения дифференциальных уравнений

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Формула Коши для повторных интегралов

Формула Коши позволяет свести повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)
.
Здесь f – интегрируемая на отрезке функция. При этом является частным решением дифференциального уравнения
(2)
с начальными условиями
(3) .

Часто в литературе повторный интеграл записывают так:
.
Но она используется только для сокращения обозначений, и мы не будем ее использовать.

Решение дифференциального уравнения y (n) =f(x)

Рассмотрим дифференциальное уравнение
(2) .
Изменим обозначение переменной x на :
.
Проинтегрируем по от до x :

;
.

Часто, во входящем сюда интеграле, для переменной интегрирования используют такое же обозначение, как и для верхнего предела интегрирования: . Это делают только с одной целью – уменьшить количество используемых переменных и получить более короткие формулы. Однако такая форма записи может привести в заблуждение, поскольку переменная интегрирования и пределы интегрирования являются различными переменными.

Переименуем переменную x на , и проинтегрируем по от до x :
;
;
;
.
Тем же способом интегрируем еще раз:
;

;

;

.

Выполняя интегрирование n раз, получим решение исходного дифференциального уравнения с начальными условиями :
(4)
.

Отсюда видно, что если положить , то повторный интеграл

является частным решением дифференциального уравнения (2) с начальными условиями
.

Формула (4) дает нам общее решение дифференциального уравнения (2). В правой части она содержит многочлен степени n. Если перейти к новым постоянным, то общее решение можно записать так:
.

Сведение повторного интеграла к однократному

Таким образом, для решения задачи, нам нужно проинтегрировать функцию n раз. Но оказывается, что стоящий в (4) интеграл можно преобразовать так, что задача сведется к вычислению только одного интеграла.

Случай n = 2

Для начала, возьмем случай . Рассмотрим входящий в (4) двукратный интеграл
(5) .
Изменим порядок интегрирования.

Интегрируем по x ₁ , а затем по x ₂ .

Изобразим область интегрирования на рисунке. Проводим оси координат . Проведем прямую . В (5) мы сначала интегрируем по переменной от до прямой . Затем мы интегрируем по переменной от до x . Областью интегрирования является множество точек треугольника ABC с вершинами .

Интегрируем по x ₂ , а затем по x ₁ .

Изменим порядок интегрирования. Сначала проинтегрируем по переменной от прямой до x , а затем по от до x . Тогда
(6) .
Поскольку функция f не зависит от переменной , то в первом интеграле она является постоянной. Это позволяет нам его вычислить:
.
Подставим в (6):
.
Видно, что при изменении порядка интегрирования, мы смогли вычислить один интеграл. В результате повторное интегрирование свелось к однократному интегралу:
(7) .

Случай n = 3

Далее можно рассмотреть случай :
(8) .
Используем формулу (7), в которой заменим x на :
.
Применим ее для трехкратного интеграла (8):
.
Теперь поменяем порядок интегрирования, как мы это делали ранее ⇑, только вместо переменной у нас будет :
(9) .
Вычисляем первый интеграл:

;
Подставляем в (9):
.

Это наводит нас на мысль, что в общем случае, для произвольного n, повторный интеграл сводится к однократному по следующей формуле:
.
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство формулы Коши

Докажем, что для интегрируемой на отрезке функции f справедлива формула, сводящая повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)
.
При этом функция является частным решением дифференциального уравнения
(2)
с начальными условиями
(3) .

То что повторный интеграл

является частным решением дифференциального уравнения (2) с начальными условиями (3), мы показали ранее ⇑.

Докажем формулу Коши (1), согласно которой повторный интеграл сводится к однократному. Доказательство будем производить методом математической индукции.

Подставим в (1) значение :

;
.
Поскольку обозначение переменной интегрирования ( x ₁ или t ) не влияет на значение интеграла, то при формула (1) справедлива.

Предположим, что формула (1) справедлива для некоторого значения n :
(10) .
Используя (10), нам нужно доказать, что она справедлива для значения :
(11) .

Для доказательства используем формулу (10), в которой заменим x на :
.
Подставим в левую часть (11), для удобства обозначая повторный интеграл как :

.
Изменим порядок интегрирования, как мы это делали выше ⇑. Только вместо переменных у нас будут :
(12)
.
Вычисляем первый интеграл:

.
Подставляем в (12):

.
Это совпадает с (11).

Формула Коши для повторных интегралов доказана.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-11-2020