Решение кубических уравнений
Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что – это действительные числа.
Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.
Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и – это двукратные корни (или корни кратности 2), а – простой корень.
Если известен один корень
Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .
Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.
Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения”.
Если один из корней – целый
Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , – целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.
Поиск рациональных корней
Если в уравнении (2) , , , – целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и – целые.
Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .
Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.
Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения
Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.
Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .
Формула Кардано для неполного (приведенного) кубического уравнения имеет вид:
;
;
;
;
.
По формуле Кардано, мы находим три корня величины . Затем, используя формулу , находим значения величины .
После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид:
(6) , ,
где
(7) ; ; ;
(8) .
При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением . При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и .
При имеем:
; ; .
В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня.
При мы имеем три действительных корня. При этом и – комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета:
(9) ;
(10) ,
где
(11) ; .
Примеры решений по формулам Кардано и Виета
Решить кубические уравнения:
;
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-04-2016 Изменено: 02-10-2016
Кубические уравнения. Метод перебора при решении кубических уравнений.
Метод перебора при решении кубических уравнений получил самую широкую известность. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему.
Первоначально подберем один из корней уравнения использовав то свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.
Коэффициенты этих уравнений, как правило, подобраны так, что требуемый корень есть небольшое целое число, такое как: 0, ± 1, ± 2, ± 3.
И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.
Примем данный корень за x 1.
На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x 1.
Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня.
Проанализируем ход решения уравнения: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0.
Найдем первый корень, подставляя в уравнение цифры: 0, ± 1, ± 2, ± 3 получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим:
Решение кубических уравнений. Формула Кардано
Схема метода Кардано |
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду |
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи |
Формула Кардано |
Пример решения кубического уравнения |
Схема метода Кардано
Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )
a0x 3 + a1x 2 + + a2x + a3= 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x 3 + ax 2 + bx + c = 0, | (2) |
где a, b, c – произвольные вещественные числа.
Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:
(3) |
то уравнение (2) примет вид
В результате уравнение (2) примет вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y 3 + py + q= 0, | (5) |
где p, q – вещественные числа.
Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
Первый этап вывода формулы Кардано завершён.
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде
(6) |
где t – новая переменная.
то выполнено равенство:
Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде
(7) |
Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :
(8) |
Формула Кардано
Решение уравнения (8) имеет вид:
В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:
В развернутой форме эти решения записываются так:
Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.
С другой стороны,
и для решения уравнения (5) мы получили формулу
которая и называется «Формула Кардано» .
Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).
Пример решения кубического уравнения
Пример . Решить уравнение
x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0. | (13) |
Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену
x = y + 2. | (14) |
Следовательно, уравнение (13) принимает вид
y 3 – 18y – 30 = 0. | (15) |
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
(16) |
то уравнение (15) примет вид
(17) |
Далее из (17) получаем:
Отсюда по формуле (16) получаем:
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
или использовали формулу
Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень
Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.
Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.
http://www.calc.ru/Kubicheskiye-Uravneniya-Metod-Perebora-Pri-Reshenii-Kubiches.html
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/cardano.htm