Формула лиувилля дифференциальные уравнения доказательство

Формула лиувилля дифференциальные уравнения доказательство

Темы: Формула Остроградского-Лиувилля. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Поддержите нас | Если вы нашли опечатку, выделите текст и нажмите Control+Enter

Теорема (о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка)

Пусть функции $$y_1. y_n$$ — ФСР уравнения, $$y^<(n)>+a_1(x)y^<(n-1)>+. +a_(x)y’+a_n(x)y=0$$

Тогда общее решение этого ЛОДУ или вид $$y_=C_1y_1(x)+. +C_ny_n(x)$$

Доказательство: Функция $$y_$$ действительно является решением уравнения $$L\lbrack y\rbrack=0$$, т.к. $$L\lbrack y\rbrack=L\lbrack C_1y_1+. +C_ny_n\rbrack=C_1L\lbrack y_1\rbrack+. +C_nL\lbrack y_n\rbrack=0$$

Докажем, что любое уравнение ДУ представляется в таком виде. Пусть $$\widetilde y(x)$$ — решение задачи Коши:
$$\left\<\beginL\lbrack y\rbrack=0\\y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0′. y^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$
Рассмотрим СЛАУ:
$$\left\<\beginC_1y_1(x_0)+. +C_ny_n(x_0)=y_0\\C_1y_1′(x_0)+. +C_ny_n'(x_0)=y_0’\\. \\C_1y_1^<(n-1)>(x_0)+. +C_ny_n^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$

Определитель этой системы $$W(x_0)\neq0$$ => система имеет единственное решение $$C_1^0+. +C_n^0$$
Рассмотрим функцию $$y_0(x)=C_1^0y_1(x)+. +C_n^0y_n(x)$$
Эта функция тоже является решением задачи Коши

$$\left\<\beginL\lbrack y\rbrack=0\\y(x_0)=y_0. y^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$ => Значит, $$y_0(x)\equiv\widetilde y(x)$$, т.е. любое решение этого ДУ записывается в таком виде

Замечание
Таким образом, множество решений ЛОДУ n-го порядка образует линейное пространство размерности n, в котором ФСР является базисом

Формула Остроградского-Лиувилля

Рассмотрим ДУ:
$$ y»+a_1(x)y’+a_2(x)y=0$$, где $$ a_1(x),a_2(x)$$ непрерывны на I
Пусть $$ y_1,y_2$$ — два линейно-независимых решения этого ДУ
Определить Вронского этих решений:
$$ W(x)=\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end$$
$$ \frac=\frac<\displaystyle d>\beginy_1&y_2\y_1’&y_2’\end=\underset<\underset<=0>\underbrace<>>$$ $$<\beginy_1’&y_2’\\y_1’&y_2’\end>+\beginy_1&y_2\\y_1»&y_2»\end=<\beginy_1&y_2\\-a_1(x)y_1′-a_2(x)y_1&-a_1(x)y_2′-a_2(x)y_2\end>_<+a_2(x)I>=$$
$$ =\beginy_1&y_2\\-a_1(x)y_1’&-a_1(x)y_2’\end=-a_1(x)\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=-a_1(x)W(x)$$
Получим ДУ $$ \frac=-a_1(x)W(x)\Rightarrow\int\frac<\displaystyle dW><\displaystyle dx>=-\int a_1(x)dx\Rightarrow W(x)=Ce^<-\int a_1(x)dx>$$
Иногда эту формула записывают иначе

Пусть $$ x_0$$ — производная точка промежутка I. Тогда $$ W(x_0)=Ce^<-\int_^a_1(x)dx>=C$$ , т.е. функция $$ \int_^xa_1(x)dx$$ — одна из первообразных функций $$ a_1(x)$$ => $$ W(x)=W(x_0)e^<-\int_^xa_1(x)d>$$ — формула Островского-Лиувилля

Замечание
Эта формула действительна для ДУ более высокого порядка

Нахождение общего решения ЛОДУ 2-го порядка по известному частному решению

Пусть для ДУ
$$ y»+a_1(x)y’+a_2(x)y=0$$
известно его частное решение y₁ . В этом случае для нахождения общего решения этого ДУ есть 2 метода

• Будем искать общее решение в виде $$ y=zy_1,y’=z’y_1+zy_1’$$
  $$ y»=z»y_1+z’y_1’+z’y_1’+zy_1»=z»y_1+2z’y_1’+zy_1»$$ Подставим в ДУ:
  $$ z»y_1+2z’y_1’+zy_1’+a_1(x)(z’y_1+zy_1′)+a_2(x)zy_1=0$$
  $$ z»y_1+z'(2y_1’+a_1(x)y_1)+z\underbrace<(y_1''+a_1(x)y_1'+a_2(x)y_1)>_<=0>=0$$
  $$ \Rightarrow z»y_1+z'(2y_1’+a_1(x)y_1)=0$$ Это ДУ допускает понижение порядка заменой $$z’=p,z»=p’$$. Решив его, найдем общее решение ДУ
• Основан на формуле Островского-Лиувилля
  Пусть $$ y_1,y_2$$ — решение ДУ. Тогда
  $$ W(x)=\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=y_1y_2′-y_1’y_2$$
  Поделим на $$ y_1^2$$:
  $$ \frac=\frac=(\frac)’$$
  Таким образом $$ \frac=\int\fracdx+B$$
  $$ y_2=y_1\int\frac>dx+By_1$$
  Для линейной независимости y₁ и y₂ достаточно найти одну из первообразных. Путь С=1б B=0
  $$ y_2=y_1\int\frac>dx$$
  Тогда общее решение $$ y=C_1y_1+C_2y_2$$

ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ДУ:
$$ y»+a_1y’+a_2y=0,\;a_1,a_2\in\mathbb$$ (1)
опр. Характеристическим уравнением ЛОДУ (1) называется квадратное уравнение вида
\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0 (2)

Возможен 1 из 3 случаев:

• Уравнение (2) имеет 2 различных действительных корня
• Уравнение (2) имеет 1 действительный корень кратности 2
• Уравнение (2) имеет пару комплексно-сопряженных корней

Теорема (Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных корней)

Пусть уравнение (2) имеет 2 различных действительных корня $$ \lambda_1,\lambda_2$$. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
$$ y=C_1e^<\lambda_1x>+C_2e^<\lambda_2x>$$
Доказательство
Функции $$ y_1=e^<\lambda_1x>,y_2=e^<\lambda_2x>$$ — решение уравнения (1). В самом деле, если $$y_1=e^<\lambda_1x>$$, то $$ y_1’=\lambda_1e^<\lambda_1x>,y_1»=\lambda_1^2e^<\lambda_1x>$$. Подставим в (1):
$$ \lambda_1^2e^<\lambda_1x>+a_1\lambda_1e^<\lambda_1x>+a_2e^<\lambda_1x>=0\vert:e^<\lambda_1x>$$
$$ \lambda_1^2+a_1\lambda_1+a_2=0$$ — верно, т.к. $$ \lambda_1$$ — корень уравнения (2)
Аналогично $$ y_2=e^<\lambda_2x>$$ —решение (1)

=> y₁ и y₂ образуют ФСР уравнения (1). Тогда общее решение: $$ y=C_1e^<\lambda_1x>+C_2e^<\lambda_2x>$$

Теорема (общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней)
Пусть $$\lambda_0$$ — действительный корень кратности 2 уравнения (2). Тогда общее решения уравнения (1) имеет вид $$y=C_1e^<\lambda_0x>+C_2e^<\lambda_0x>$$

Доказательство:

Функция $$ y_1=e^<\lambda_0x>$$ — решение (1)

Чтобы найти y₂ , воспользуемся следствием из формулы Островского-Лиувилля. Заметим, что $$\lambda_0=-\frac2$$
$$y_2=e^<\lambda_0x>\int\frac>>dx=e^<\lambda_0x>\int e^<-\overbrace<(a_1+2\lambda_0)>^<=0>x>dx=e^<\lambda_0x>\int dx=xe^<\lambda_0x>$$
Функции y₁ и y₂ линейно-независимы, т.е.
$$\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=\begine^<\lambda_0x>&xe^<\lambda_0x>\\\lambda_0e^<\lambda_0x>&e^<\lambda_0x>(1+\lambda_0x)\end=e^<2\lambda_0x>\neq0$$
=> Функции y₁ и y₂ образуют ФСР уравнения (1) => общее решение: $$y=C_1e^<\lambda_0x>+C_2e^<\lambda_0x>$$
Теорема (общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней)
Пусть $$\alpha\pm\beta$$ — пара комплексно-сопряженных корней уравнения (2). Тогда решение уравнения (1) или вид:
$$ y=C_1e^<\alpha x>\cos\beta x+C_2e^<\alpha x>\sin\beta x$$

Доказательство:
Заметим, что если комплексно-значная функция $$ u(x)+iv(x)$$ является решением ЛОДУ, то функции u(x),v(x) – тоже решение этого уравнения. В самом деле $$ L\lbrack u(x)+iv(x)\rbrack=L\lbrack u(x)\rbrack+iL\lbrack v(x)\rbrack=0$$ Комплексное число = 0, если действительная и мнимая части =0 $$ \Rightarrow\left.\beginL\lbrack u(x)\rbrack=0\\L\lbrack v(x)\rbrack=0\end\right\>\Rightarrow u(x),v(x)$$ — решение ЛОДУ
Число $$ \alpha+i\beta$$ — корень уравнения (2) => $$ e^<(\alpha+i\beta)x>$$ — решение уравнения (1) $$ e^<(\alpha+i\beta)x>=e^<\alpha x>\cdot e^=e^<\alpha x>(\cos\beta x+i\sin\beta x)=e^<\alpha x>\cos\beta x+ie^<\alpha x>\sin\beta x$$ => обе функции $$ e^<\alpha x>\cos\beta x,e^<\alpha x>\sin\beta x$$ — решение ДУ (1). Они линейно-независимы $$ \begine^<\alpha x>\cos\beta x,e^<\alpha x>\sin\beta x\\\begine^<\alpha x>\cos\beta x&e^<\alpha x>\sin\beta x\\e^<\alpha x>(\alpha\cos\beta x-\beta\sin\beta x)&e^<\alpha x>(\alpha\sin\beta x+\beta\cos\beta x)\end=\beta e^<2\alpha x>\neq0\end$$ => эти функции образуют ФСР => общее решение:

Created using with | Powered by superhub

Лекция 4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Задача Штурма-Лиувилля.

Будем рассматривать однородное линейное уравнение второго порядка

Ly ≡ a₂(x)y» + a₁(x)y’ + a₀(x)y = 0. Его можно записать по-другому:

(15)

Однородное уравнение Ly = 0 и неоднородное Ly = f, как известно, имеют бесконечное множество решений. На практике часто бывает нужно из множества решений выделить только одно. Для этого задают некоторые дополнительные условия. Если это начальные условия у(х₀) = у_o, y'(x_o) = y₁, то получают задачу Коши. Если задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка, то получают задачу, которая называется краевой задачей. Условия, которые задаются на концах отрезка, называются краевыми условиями. Краевые условия иногда именуют также граничными условиями и тогда говорят о граничной задаче.
Мы будем задавать линейные краевые условия вида

(16)

где α₁, α₂, β₁, β₂, A, B — заданные числа, причем по крайней мере одно из чисел α₁, α₂, и одно из чисел β₁, β₂, отличны от нуля. Если в (16) хотя бы одно из чисел А и В не равно нулю, то краевые условия называют неоднородными. Если А = В = 0, то условия (16) называются однородными. Краевая задача называется однородной, если рассматривается однородное уравнение (15) Ly = 0 и однородные краевые условия (16). Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям. Заметим сразу, что однородная краевая задача всегда имеет решение у ≡ 0 (тривиальное решение).

Наряду с уравнением (15) рассмотрим уравнение

(17)

содержащее некоторый числовой параметр λ. Здесь функции р(х), q(x), r(x) действительные, а число λ может быть, вообще говоря, и комплексным. Краевая задача (17), (16) при А = В = 0 является однородной. Поэтому при любых λ она имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать такие значения λ, при которых эта задача обладает не только тривиальными решениями.

Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра λ, при которых уравнение (17) имеет нетривиальное решение, удовлетворяюшее однородным краевым условиям (16). В дальнейшем будем ее записывать в виде

λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0>.
Те значения параметра λ, при которых задача Штурма-Лиувилля имеет ненулевое решение, называются собственными значениями (собственными числами) задачи, а сами эти решения — собственными функциями. Задачу Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. В силу однородности уравнения и краевых условий собственные функции задачи Штурма-Лиувилля определены с точностью до постоянного множителя. Это означает, что если y(х) -собственная функция при некотором значении λ, то произведение Cy(x), где С — произвольная постоянная, также является собственной функцией при том же значении параметра λ. В связи с этим часто в качестве собственной функции рассматривают нормированную функцию у <х), у которой ||у(х)|| = 1. Такая собственная функция определена, по существу, однозначно (с точностью до знака ±). Далее мы подробно изучим наиболее простой случай задачи Штурма-Лиувилля, когда уравнение имеет вид

Из множества краевых условий вида (16) ограничимся тремя частными случаями:

1) краевые условия первого рода

2) краевые условия второго рода

3) краевые условия третьего рода

(21)

Общая задача Штурма-Лиувилля будет обладать свойствами, очень похожими на свойства в этих простых случаях, если на коэффициенты уравнения (17) наложить дополнительные условия: р(х), q(x), f(x) -непрерывные функции, причем р(х) имеет, кроме того, непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) ≥ 0.

Основные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Лемма. Определитель Вронского двух собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на концах отрезка [а, b] равен нулю.

Доказательство. Напомним, что определителем Вронского функций у = y₁(x) и у = у₂(x) называется определитель вида

Рассмотрим однородные краевые условия общего вида (16). Пусть у₁(x) и у₂(x) — две любые собственные функции. Это означает, что в точке x = а выполняются равенства

Числа α₁, и α₂ не могут одновременно равняться нулю. Значит, алгебраическая система двух однородных уравнений с двумя неизвестными имеет ненулевое решение. Это возможно только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю:

Этот определитель совпадает с определителем Вронского в точке x = а, то есть W(a) = 0.

Аналогичные рассуждения, проведенные для точки x = b, показывают, что W(b) = 0.

Свойство 1. Две собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие одному и тому же собственному значению λ, линейно зависимые.

Доказательство. Так как собственные функции являются решениями одного и того же однородного уравнения (17) (по условию число λ одно), то в случае их линейной независимости определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [а, b]. Это противоречит только что доказанной лемме. Следовательно, y₁(x) и у₂(x) — линейно зависимые функции.

Свойство 2. Две собственные функции у₁(x) и у₂(x), соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂ (λ₁ ≠ λ₂), на отрезке [а, b] ортогональны.

Доказательство этого свойства проведем для собственных функций такой задачи, в которой уравнение имеет вид (18). Составим определитель Вронского функций у₁ и у₂ и продифференцируем его:

Так как у₁ и у₂ — решения уравнения (18) при λ = λ₁ и λ = λ₂, соответственно, то получим

Проинтегрируем по отрезку [а, b] левую и правую части полученного равенства. С учетом леммы будем иметь

По условию λ₁ — λ₂ ≠0, следовательно
Функции y₁(x) 0 и у₂(х) 0, поэтому
Значит, y₁(x) и у₂(х) на отрезке [а, b] ортогональны.

Если уравнение, входящее в задачу Штурма-Лиувилля, имеет вид (17), где r(х) > 0 и r(x) 1, то под ортогональностью функций в этом случае подразумевают ортогональность с весом r(х): две функции y₁(x) и у₂(х) ортогональны на отрезке [а, b] с весом r(x), если

Под нормой функции ||у(x)|| в этом случае также подразумевают весовую норму:

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему функций.

Это утверждение вытекает из попарной ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям (см. свойство 2).

Свойство 4. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля действительные.

Доказательство. Предположим, что задача Штурма-Лиувилля λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0> имеет комплексное собственное значение λ = α + βi,β ≠ 0. Пусть ему соответствует собственная функция у(х) (вообще говоря, тоже комплекснозначная). Так как все коэффициенты уравнения и краевых условий имеют действительные значения, то

Здесь черта означает переход к комплексно сопряженному выражению. В нашем случае

Значит число также является собственным значением той же задачи Штурма-Лиувилля и ему соответствует собственная функция . Так как в силу свойства 2 функции y(x) и ортогональны на [а, b], то

Отсюда следует, что у(x) ≡ 0 на [а, b]. Значит ни одно комплексное число λ не может быть собственным значением.

Свойство 5. Пусть коэффициенты уравнения (17) удовлетворяют условиям: р(х), q(x), r(x) — непрерывные функции и, кроме того, р(х) имеет непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) > 0, r(х) > 0. Тогда задача Штурма-Лиувилля _λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> имеет бесконечное число собственных значений λ ₁, λ₂, . λ_n, . Если краевые условия имеют вид (19) или (20), или (21), то собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля удовлетворяют неравенствам

Теорема Стеклова.Всякая непрерывная функция f(x), удовлетворяющая однородным краевым условиям : l₁f = 0 и l₂f = 0 , и имеющая непрерывные производные до второго порядка на отрезке [а, b], разлагается на этом отрезке в сходящийся ряд Фурье по собственным функциям y_n(х) задачи Штурма-Лиувилля _λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> :

где коэффициенты Фурье С_n вычисляются по формулам:

Эта теорема применяется при решении уравнений математической физики методом Фурье.

Решение задач Штурма-Лиувилля

Вначале рассмотрим уравнение (18) y» + λy = 0. и краевые условия первого рода (19) y(a) = y(b) = 0. Для удобства будем считать, что a = 0 и b = l > 0. К такой задаче можно всегда свести данную задачу, если сделать замену переменной x’ = x — a, при этом вид уравнения не изменится.

Вид общего решения уравнения (18) зависит от значений параметра λ. Разберем три случая: 1) λ 0. В первом случае обозначим λ = — k 2 . Тогда характеристическое уравнение r 2 — k 2 = 0 будет иметь действительные различные корни r₁ = k, r₂ = — k: Поэтому, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде y = C₁e kx + C₂e -kx . Подставим краевые условия в общее решение и получим

Определитель этой системы равен

Следовательно, система имеет только нулевое (тривиальное) решение C₁ = C₂ = 0. Значит, при λ 2 и получим характеристическое уравнение r 2 + k 2 = 0. Оно имеет комплексные корни r₁ = ki и r₂ = -ki и общее решение дифференциального уравнения в этом случае запишется в виде y = C₁cos kx + C₂sin kx. Подставим краевые условия в общее решение:

(22)

Для того, чтобы эта система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы sin kl = 0. Следовательно kl = πn, то есть Так как то можно ограничиться только положительными значениями n = 1, 2, . . Таким образом, собственные значения данной задачи имеют вид При этих значениях алгебраическая система (22) имеет решения:C₁ = 0, C₂ — любое действительное число. Подставим эти значения в общее решение дифференциального уравнения и получим собственные функции задачи

Обычно постоянный множитель выбирают либо равным единице, либо из условия нормировки:

По тому же алгоритму решаются задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:

(23)

и

(24)

Эти задачи так же, как и предыдущая, при λ 0 не имеют собственных значений. В случае λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁cos kx +C₂sin kx, где После подстановки у в краевые условия, получим:

а) для задачи (23)

Для того, чтобы эти системы уравнений имели нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы coskl = 0. Следовательно, то есть Отрицательные значения n можно не рассматривать, так как Таким образом, собственные значения у этих задач одинаковые

Собственные функции задачи (23) имеют вид А у задачи (24) они другие:

Некоторые отличия возникают при решении задачи Штурма-Лиувилля в случае краевых условий второго рода

Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились для краевых условий первого рода, можно показать, что задача (25) при λ 0. В этом случае, общее решение уравнения имеет вид y = C₁cos kx + C₂sin kx, Найдем производную этой функции и подставим в нее краевые условия (25):

Эта алгебраическая система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда, sinkl = 0 то есть kl = πn или Таким образом, числа также являются собственными значениями задачи. Собственные функции при этих значениях имеют вид . Окончательно, задача (25) имеет собственные значения и собственные функции

Для задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего рода (21) уже не удается получить собственные значения в явном виде. В качестве примера рассмотрим одну такую задачу, когда

При задача (26) не имеет собственных значений и собственных функций. Доказательство этого проводится так же, как и для краевых условий первого рода. При λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁coskx + C₂sinkx, где . После дифференцирования этой функции и подстановки её производной и самой функции в краевые условия (26) будем иметь:

или

(27)

Получившаяся алгебраическая система будет иметь нетривиальные решения только в том случае, когда

coskl — ksinkl = 0 или

Уравнение (28) является трансцендентным уравнением относительно k. Оно не решается в явном виде. Однако, построив графики левой и правой частей уравнения (28), видно, что оно имеет бесконечно много решений (см. рис.13). Обозначим корни уравнения (28) через r_n, n = 1,2, . . Тогда при

Рис.13

Численными методами можно найти приближенные значения r_n. Из системы (27) при k = r_n получим C_1n = r_nC_2n , где C_2n -произвольные постоянные. При этих значениях постоянных решения дифференциального уравнения будут иметь вид

Они являются собственными функциями краевой задачи (26) с собственными значениями