Формула остроградского лиувилля для уравнений

Формула остроградского лиувилля для уравнений

Темы: Формула Остроградского-Лиувилля. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Поддержите нас | Если вы нашли опечатку, выделите текст и нажмите Control+Enter

Теорема (о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка)

Пусть функции $$y_1. y_n$$ — ФСР уравнения, $$y^<(n)>+a_1(x)y^<(n-1)>+. +a_(x)y’+a_n(x)y=0$$

Тогда общее решение этого ЛОДУ или вид $$y_=C_1y_1(x)+. +C_ny_n(x)$$

Доказательство: Функция $$y_$$ действительно является решением уравнения $$L\lbrack y\rbrack=0$$, т.к. $$L\lbrack y\rbrack=L\lbrack C_1y_1+. +C_ny_n\rbrack=C_1L\lbrack y_1\rbrack+. +C_nL\lbrack y_n\rbrack=0$$

Докажем, что любое уравнение ДУ представляется в таком виде. Пусть $$\widetilde y(x)$$ — решение задачи Коши:
$$\left\<\beginL\lbrack y\rbrack=0\\y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0′. y^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$
Рассмотрим СЛАУ:
$$\left\<\beginC_1y_1(x_0)+. +C_ny_n(x_0)=y_0\\C_1y_1′(x_0)+. +C_ny_n'(x_0)=y_0’\\. \\C_1y_1^<(n-1)>(x_0)+. +C_ny_n^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$

Определитель этой системы $$W(x_0)\neq0$$ => система имеет единственное решение $$C_1^0+. +C_n^0$$
Рассмотрим функцию $$y_0(x)=C_1^0y_1(x)+. +C_n^0y_n(x)$$
Эта функция тоже является решением задачи Коши

$$\left\<\beginL\lbrack y\rbrack=0\\y(x_0)=y_0. y^<(n-1)>(x_0)=y_0^<(n-1)>\end\right.$$ => Значит, $$y_0(x)\equiv\widetilde y(x)$$, т.е. любое решение этого ДУ записывается в таком виде

Замечание
Таким образом, множество решений ЛОДУ n-го порядка образует линейное пространство размерности n, в котором ФСР является базисом

Формула Остроградского-Лиувилля

Рассмотрим ДУ:
$$ y»+a_1(x)y’+a_2(x)y=0$$, где $$ a_1(x),a_2(x)$$ непрерывны на I
Пусть $$ y_1,y_2$$ — два линейно-независимых решения этого ДУ
Определить Вронского этих решений:
$$ W(x)=\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end$$
$$ \frac=\frac<\displaystyle d>\beginy_1&y_2\y_1’&y_2’\end=\underset<\underset<=0>\underbrace<>>$$ $$<\beginy_1’&y_2’\\y_1’&y_2’\end>+\beginy_1&y_2\\y_1»&y_2»\end=<\beginy_1&y_2\\-a_1(x)y_1′-a_2(x)y_1&-a_1(x)y_2′-a_2(x)y_2\end>_<+a_2(x)I>=$$
$$ =\beginy_1&y_2\\-a_1(x)y_1’&-a_1(x)y_2’\end=-a_1(x)\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=-a_1(x)W(x)$$
Получим ДУ $$ \frac=-a_1(x)W(x)\Rightarrow\int\frac<\displaystyle dW><\displaystyle dx>=-\int a_1(x)dx\Rightarrow W(x)=Ce^<-\int a_1(x)dx>$$
Иногда эту формула записывают иначе

Пусть $$ x_0$$ — производная точка промежутка I. Тогда $$ W(x_0)=Ce^<-\int_^a_1(x)dx>=C$$ , т.е. функция $$ \int_^xa_1(x)dx$$ — одна из первообразных функций $$ a_1(x)$$ => $$ W(x)=W(x_0)e^<-\int_^xa_1(x)d>$$ — формула Островского-Лиувилля

Замечание
Эта формула действительна для ДУ более высокого порядка

Нахождение общего решения ЛОДУ 2-го порядка по известному частному решению

Пусть для ДУ
$$ y»+a_1(x)y’+a_2(x)y=0$$
известно его частное решение y₁ . В этом случае для нахождения общего решения этого ДУ есть 2 метода

• Будем искать общее решение в виде $$ y=zy_1,y’=z’y_1+zy_1’$$
  $$ y»=z»y_1+z’y_1’+z’y_1’+zy_1»=z»y_1+2z’y_1’+zy_1»$$ Подставим в ДУ:
  $$ z»y_1+2z’y_1’+zy_1’+a_1(x)(z’y_1+zy_1′)+a_2(x)zy_1=0$$
  $$ z»y_1+z'(2y_1’+a_1(x)y_1)+z\underbrace<(y_1''+a_1(x)y_1'+a_2(x)y_1)>_<=0>=0$$
  $$ \Rightarrow z»y_1+z'(2y_1’+a_1(x)y_1)=0$$ Это ДУ допускает понижение порядка заменой $$z’=p,z»=p’$$. Решив его, найдем общее решение ДУ
• Основан на формуле Островского-Лиувилля
  Пусть $$ y_1,y_2$$ — решение ДУ. Тогда
  $$ W(x)=\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=y_1y_2′-y_1’y_2$$
  Поделим на $$ y_1^2$$:
  $$ \frac=\frac=(\frac)’$$
  Таким образом $$ \frac=\int\fracdx+B$$
  $$ y_2=y_1\int\frac>dx+By_1$$
  Для линейной независимости y₁ и y₂ достаточно найти одну из первообразных. Путь С=1б B=0
  $$ y_2=y_1\int\frac>dx$$
  Тогда общее решение $$ y=C_1y_1+C_2y_2$$

ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ДУ:
$$ y»+a_1y’+a_2y=0,\;a_1,a_2\in\mathbb$$ (1)
опр. Характеристическим уравнением ЛОДУ (1) называется квадратное уравнение вида
\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0 (2)

Возможен 1 из 3 случаев:

• Уравнение (2) имеет 2 различных действительных корня
• Уравнение (2) имеет 1 действительный корень кратности 2
• Уравнение (2) имеет пару комплексно-сопряженных корней

Теорема (Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных корней)

Пусть уравнение (2) имеет 2 различных действительных корня $$ \lambda_1,\lambda_2$$. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
$$ y=C_1e^<\lambda_1x>+C_2e^<\lambda_2x>$$
Доказательство
Функции $$ y_1=e^<\lambda_1x>,y_2=e^<\lambda_2x>$$ — решение уравнения (1). В самом деле, если $$y_1=e^<\lambda_1x>$$, то $$ y_1’=\lambda_1e^<\lambda_1x>,y_1»=\lambda_1^2e^<\lambda_1x>$$. Подставим в (1):
$$ \lambda_1^2e^<\lambda_1x>+a_1\lambda_1e^<\lambda_1x>+a_2e^<\lambda_1x>=0\vert:e^<\lambda_1x>$$
$$ \lambda_1^2+a_1\lambda_1+a_2=0$$ — верно, т.к. $$ \lambda_1$$ — корень уравнения (2)
Аналогично $$ y_2=e^<\lambda_2x>$$ —решение (1)

=> y₁ и y₂ образуют ФСР уравнения (1). Тогда общее решение: $$ y=C_1e^<\lambda_1x>+C_2e^<\lambda_2x>$$

Теорема (общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней)
Пусть $$\lambda_0$$ — действительный корень кратности 2 уравнения (2). Тогда общее решения уравнения (1) имеет вид $$y=C_1e^<\lambda_0x>+C_2e^<\lambda_0x>$$

Доказательство:

Функция $$ y_1=e^<\lambda_0x>$$ — решение (1)

Чтобы найти y₂ , воспользуемся следствием из формулы Островского-Лиувилля. Заметим, что $$\lambda_0=-\frac2$$
$$y_2=e^<\lambda_0x>\int\frac>>dx=e^<\lambda_0x>\int e^<-\overbrace<(a_1+2\lambda_0)>^<=0>x>dx=e^<\lambda_0x>\int dx=xe^<\lambda_0x>$$
Функции y₁ и y₂ линейно-независимы, т.е.
$$\beginy_1&y_2\\y_1’&y_2’\end=\begine^<\lambda_0x>&xe^<\lambda_0x>\\\lambda_0e^<\lambda_0x>&e^<\lambda_0x>(1+\lambda_0x)\end=e^<2\lambda_0x>\neq0$$
=> Функции y₁ и y₂ образуют ФСР уравнения (1) => общее решение: $$y=C_1e^<\lambda_0x>+C_2e^<\lambda_0x>$$
Теорема (общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней)
Пусть $$\alpha\pm\beta$$ — пара комплексно-сопряженных корней уравнения (2). Тогда решение уравнения (1) или вид:
$$ y=C_1e^<\alpha x>\cos\beta x+C_2e^<\alpha x>\sin\beta x$$

Доказательство:
Заметим, что если комплексно-значная функция $$ u(x)+iv(x)$$ является решением ЛОДУ, то функции u(x),v(x) – тоже решение этого уравнения. В самом деле $$ L\lbrack u(x)+iv(x)\rbrack=L\lbrack u(x)\rbrack+iL\lbrack v(x)\rbrack=0$$ Комплексное число = 0, если действительная и мнимая части =0 $$ \Rightarrow\left.\beginL\lbrack u(x)\rbrack=0\\L\lbrack v(x)\rbrack=0\end\right\>\Rightarrow u(x),v(x)$$ — решение ЛОДУ
Число $$ \alpha+i\beta$$ — корень уравнения (2) => $$ e^<(\alpha+i\beta)x>$$ — решение уравнения (1) $$ e^<(\alpha+i\beta)x>=e^<\alpha x>\cdot e^=e^<\alpha x>(\cos\beta x+i\sin\beta x)=e^<\alpha x>\cos\beta x+ie^<\alpha x>\sin\beta x$$ => обе функции $$ e^<\alpha x>\cos\beta x,e^<\alpha x>\sin\beta x$$ — решение ДУ (1). Они линейно-независимы $$ \begine^<\alpha x>\cos\beta x,e^<\alpha x>\sin\beta x\\\begine^<\alpha x>\cos\beta x&e^<\alpha x>\sin\beta x\\e^<\alpha x>(\alpha\cos\beta x-\beta\sin\beta x)&e^<\alpha x>(\alpha\sin\beta x+\beta\cos\beta x)\end=\beta e^<2\alpha x>\neq0\end$$ => эти функции образуют ФСР => общее решение:

Created using with | Powered by superhub

Формула остроградского лиувилля для уравнений

Если же это тождество выполняется лишь при , то указанные функции , , . называются линейно независимыми на отрезке .

Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функции , будут линейно независимыми на отрезке , если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

В противном случае, при , эти функции будут линейно зависимыми .

Пусть n функций , , . имеют производные порядка. Определитель

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций.

Теорема . Если система функций , , . линейна зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.

Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка , то функции , , . будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.

Совокупность двух линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образует его фундаментальную систему решений .

Если , − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде

где , − произвольные постоянные.

Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений , можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде:

Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений , этого уравнения.

Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом , построенном на базе частных решений , , и коэффициентом в дифференциальном уравнении.

Пусть − определитель Вронского решений , линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

К сожалению, общего метода отыскания частного решения не существует. Обычно это можно сделать путем подбора.

Если известно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то его можно преобразовать к линейному уравнению первого порядка с помощью подстановки и последующей замены .

Другой способ понижения порядка основан на использовании формулы Лиувилля-Остроградского. Здесь также одно частное решение должно быть известно. Соответствующие примеры разобраны ниже.

где , и − непрерывные функции на отрезке .

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) используется для построения общего решения неоднородного уравнения, когда известно общее решение ассоциированного с ним однородного уравнения.

Пусть общее решение однородного уравнения 2-го порядка выражается через фундаментальную систему решений и :

где C₁, C₂ − произвольные постоянные. Идея данного метода состоит в том, что вместо постоянных C₁ и C₂рассматриваются функции и , которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению.

Производные неизвестных функций и можно определить из системы уравнений

Применяя метод вариации параметров, важно помнить, что функция должна соответствовать дифференциальному уравнению, приведенному к стандартному виду, т.е. коэффициент перед старшей производной должен быть равен 1.

Далее, зная производные и , можно найти и сами функции и :

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения будет выражаться формулой

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных и построим общее решение неоднородного уравнения. Будем рассматривать параметры C₁ и C₂ как функции от переменной x. Производные этих функций определяются из системы уравнений

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в виде