Формула рационализации при решении логарифмических уравнений

Памятка по решению №15 в ЕГЭ. Метод рационализации

Рекомендована при подготовке к ЕГЭ при решении задачи №15 способом, отличным от традиционного.
Приводится схема традиционного способа для решения логарифмического неравенства и стандартные ошибки в использовании нового.

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Госслужащих заставят сдавать экзамен по русскому языку

Чиновников скоро заставят сдавать экзамен на знание русского языка и умение говорить на нем правильно, красиво, без канцелярита. Об этом сообщила ректор Государственного института русского языка имени Пушкина, член Совета при президенте РФ по русскому языку Маргарита Русецкая.

Пробный вариант ЕГЭ-2022 по русскому языку

Соответствует демоверсии ЕГЭ-2022. Вариант составлен на основе заданий открытого банка ФИПИ.

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием

Разделы: Математика

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

• Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
• Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
• Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $\log_(x+2) 0 \\ x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \end \leftrightarrow \qquad \begin x > -2 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

$ \begin 12x^2-41x+35 > 0, \\ 2x^2-5x+3 > 0, \\ 12x^2-41x+35 \neq 1, \\ 2x^2-5x+3 \neq 1, \\ 3 — x > 0 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ 12x^2 — 41x + 35 \neq 0, \\ 2x^2 — 5x + 2 \neq 0, \\ -x > -3 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ (x — \displaystyle\frac<17><12>)(x — 2) \neq 0, \\ (x — 2)(x — \displaystyle\frac<1><2>) \neq 0, \\ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$