Формула решения уравнений с арксинусом

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac<π><2>;\frac<π><2>]\) синус которого равен \(a\) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac<π><2>\) до \(\frac<π><2>\) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен \(-\frac<1><2>\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin ⁡x=-\frac<1><2>\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac<π><2>\) и \(\frac<π><2>\). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен \(\frac<\sqrt<3>><2>\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac<π><3>\).

в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin ⁡x=-1\), \(x=\) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><2>\).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><3>\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac<π><6>\), не \(\frac<π><4>\), даже не \(\frac<π><7>\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\), потому что известно, что синус равен \(\frac<1><3>\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac<1><3>\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac<1><3>\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac<1><3>\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \beginx=\arcsin \frac<1><3>+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac<1><3>+2πl, l∈Z\end\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac<1><3>\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac<1><9>\), \(\sin⁡ x=\frac<1><\sqrt<3>>\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><\sqrt<3>>\).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><\sqrt<2>>\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \beginx=\arcsin \frac<1><\sqrt<2>>+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac<1><\sqrt<2>>+2πl, l∈Z\end\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac<1><\sqrt<2>>\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac<1><\sqrt<2>> = \frac<1 \cdot \sqrt<2>> <\sqrt<2>\cdot \sqrt<2>>= \frac<\sqrt<2>><2>\). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac<π><4>\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<7><6>\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \beginx= \arcsin \frac<7><6>+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac<7><6>+2πl, l∈Z\end\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac<7><6>\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \beginx= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end\right.\)

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin⁡(-\frac<\sqrt<7>><2>)\) в принципе неверна, ведь \(-\frac<\sqrt<7>> <2>Синус
Тригонометрические уравнения

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

д л я α ∈ — 1 , 1 sin ( a r c c i s α ) = α , cos ( a r c cos α ) = α , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) t g ( a r c t g α ) = α , c t g ( a r c c t g α ) = α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

д л я — π 2 ≤ α ≤ π 2 a r c sin ( sin α ) = α , д л я 0 ≤ α ≤ π arccos ( cos α ) = α , д л я — π 2 α π 2 arctg ( tg α ) = α , д л я 0 α π arcctg ( ctg α ) = α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

д л я α ∈ — 1 , 1 a r c c i s ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

д л я α ∈ — 1 , 1 a r c c i s α + a r c cos α = π 2 , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) a r c t g α + a r c c t g α = π 2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Вычислите косинус арктангенса из 5 .

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Подставляем нужное значение: cos ( a r c t g 5 ) = 1 1 + ( 5 ) 2 = 2 6

Вычислить синус арккосинуса 1 2 .

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin ( a r c cos α ) = 1 — a 2

Подставляем в нее значения и получаем: sin ( a r c cos 1 2 ) = 1 — ( 1 2 ) 2 = 3 2

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin ( a r c cos 1 2 ) = sin π 3 = 3 2

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Вспомним, что t g α · c t g α = 1 . Из этого можно получить:

sin α = 1 — cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π sin α = t g α 1 + t g 2 α , — π 2 α π 2 sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. sin α = 1 — cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π

Следовательно, sin ( a r c cos α ) = 1 — cos 2 ( a r c cos α ) = 1 — a 2

1. sin α = t g α 1 + t g α , — π 2 α π 2 ,

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = t g ( a r c t g α ) 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = α 1 + α 2

1. sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из cos α = 1 — sin 2 α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 следует, что

cos ( a r c sin α ) = 1 — sin 2 ( a r c sin α ) = 1 — a 2

1. Из cos α = 1 1 + t g 2 α , — π 2 α π 2 следует, что
2. Из cos α = c t g α 1 + c t g 2 α , 0 α π cos ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

следует, что cos ( a r c t g α ) = c t g ( a r c c t g α ) 1 + c t g 2 ( a r c c t g α ) = α 1 + α 2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из t g α = sin α 1 — sin 2 α , — π 2 α π 2 . Получаем t g ( a r c sin α ) = sin ( a r c sin α ) 1 — sin 2 ( a r c sin α ) = α 1 — α 2 при условии, что — 1 α 1 .
2. Исходим из t g α = 1 — cos 2 α cos α , α ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] , получаем

t g ( a r c cos α ) = 1 — cos 2 ( a r c cos α ) cos ( a r c c os α ) = 1 — α 2 α при условии α ∈ ( — 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .

1. Исходим из t g α = 1 c t g α , α ∈ ( 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ) , получаем t g ( a r c c t g α ) = 1 c t g ( a r c c t g α ) = 1 α при условии, что α ≠ 0 .

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

c t g α = 1 t g α

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

a r c sin α = a r c cos 1 — α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 — a r c cos 1 — a 2 , — 1 ≤ α 0 a r c sin α = a r c t g α 1 — α 2 , — 1 α 1 a r c sin α = a r c c t g 1 — α 2 α , 0 α ≤ 1 a r c c t g 1 — α 2 α — π , — 1 ≤ α ≤ 0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

a r c cos α = a r c sin 1 — α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 π — arcsin 1 — α 2 , — 1 ≤ α 0 a r c cos α = a r c t g 1 — α 2 α , 0 α ≤ 1 π + arctg 1 — α 2 α , — 1 α 0 arccosα = arcctg α 1 — α 2 , — 1 α 1

Формула выражения арктангенса:

a r c t g α = a r c sin α 1 + α 2 , — ∞ α + ∞ a r c t g α = a r c cos 1 1 + α 2 , α ≥ 0 — a r c cos 1 1 + α 2 , α 0 a r c t g α = a r c c t g 1 α , α ≠ 0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

a r c c t g α = a r c sin 1 1 + α 2 , α ≥ 0 π — a r c sin 1 1 + α 2 , α 0 a r c c t g α = a r c cos α 1 + α 2 , — ∞ α + ∞ a r c c t g α = a r c t g 1 α , α ≠ 0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём a r c sin α = a r c t g α 1 — α 2 , — 1 α 1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что a r c t g α 1 — α 2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin ( a r c t g α 1 — α 2 ) = α 1 — α 2 1 + ( α 1 — α 2 ) 2 = α 1 — α 2 1 + α 2 1 — α 2 = α 1 — α 2 1 + α 2 1 — α 2 = α 1 — α 2 1 1 — α 2 = α

Получается, что a r c t g α 1 — α 2 при условии 1 a 1 – это и есть арксинус числа a .

Вывод: a r c sin a = a r c t g a 1 — a 2 , — 1 a 1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3 .

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: a r c c t g α = a r c sin 1 1 + a 2 , α ≥ 0 π — arcsin 1 1 + a 2 , α 0
Подставим в нее α = — 3 и получим ответ – 1 2 . Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = sin 5 π 6 = 1 2 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

В итоге у нас бы вышло: sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + c t g 2 ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + ( — 3 ) 2 = 1 2

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin ( a r c c t g α ) = 1 1 + α 2 sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + ( — 3 ) 2 = 1 2

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sin α 2 = 1 — cos α 2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sin a r c cos α 2 = 1 — cos ( a r c cos α ) 2 ⇔ sin a r c cos α 2 = 1 — α 2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

a r c cos α 2 = a r c sin 1 — α 2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(sinx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_=\frac\pi2\) достигается в точке x=1
Минимальное значение \(y_=-\frac\pi2\) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin x=arcsina+2\pi n\\ x=\pi-arcsina+2\pi n \end \right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin x_1=\frac\pi6+2\pi k\\ x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi6 +\pi k $$
$$ 2) \left[ \begin x_1=arcsin0,8+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +\pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\)	б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^\frac<\pi> <4>+\pi k $$
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\)	г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(sin x=0,7\) \begin \left[ \begin x_1=arcsin(0,7)+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ x=(-1)^k arcsin(0,7) +\pi k \end	e) \(sin x=-0,2\) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin \left[ \begin x_1=-arcsin(0,2)+2\pi k\\ x_2=\pi+arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +\pi k \end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arcsinx\)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=2\gt \frac\pi2 — \text<не подходит>\\ t_2=-1 \end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arcsinx=-1\\ x=sin(-1)=-sin1 \end Ответ: -sin1

\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3 \Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi><3>\gt \frac\pi2 — \text <не подходит>\end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
\begin arcsinx=\frac\pi3\\ x=sin\frac\pi3=\frac<\sqrt<3>> <2>\end Ответ: \(\frac<\sqrt<3>><2>\)