Формула решения уравнения четвертой степени

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Формула решения уравнения 4 степени

Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.

1. Формула решения уравнения 4 степени

Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.

Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.

Значение R является решением следующего кубического уравнения.

Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.

Вычислим произведение двух квадратов new.

То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней).

Упростим выражения для коэффициентов при второй и первой степени x.

Приведенное выражение для первой степени x.

В итоге получаем k1.

Приведенное выражение для второй степени x.

Подставив выражение для R^3 получим

Итак, new тождественно уравнению 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю.

Осталась проблема со вспомогательным кубическим уравнением.
Конечно можно использовать традиционные методы решения. Но тогда потребуется преобразовывать уравнение к каноническому виду и отдельно рассматривать три варианта решения в зависимости от значений коэффициентов. Для коэффициентов представляющих из себя выражения с параметрами это не всегда удобно.

2. Решение кубического уравнения методом преобразования Чирнгаузена

Рассмотрим решение кубического уравнения не очень широко распространенным методом преобразования Чирнгаузена.

Итак, решаем исходное уравнение

Суть метода заключается в следующих преобразованиях.

1. Вводится уравнение для y

2. Обе части равенства из п.1 умножаются на x

Затем выражение для x^3 заменяется на

В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.

3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу

4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.

5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.

6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y

7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q

Одно из решений будет решением исходного уравнения.

3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения

Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.

Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.

Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем

При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».

Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.

Уравнение четвертой степени

Уравнения четвертой степени имеет вид ах 4 ; + bх 3 + сх 2 + ах + е = 0. Общее уравнение четвертой степени (также называемый биквадратным) является четвертой степени полиномиального уравнения. Бесплатный онлайн калькулятор расчета уравнения четвертой степени, используемый для нахождения корней уравнения.

Формула уравнения четвертой степени:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0

• Примечание : Допустим что p и q квадратные корни из 2 ненулевых корней.
• p = sqrt(y₁)
• q = sqrt(y₃)
• r = -g / (8pq)
• s = b / (4a)
• x₁ = p + q + r — s
• x₂ = p — q — r — s
• x₃> = -p + q — r — s
• x₄ = -p — q + r — s

Уравнением четвертой степени называется полиномиальное уравнение четвертого порядка вида, ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0:

Формула уравнения четвертой степени:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0

где,

• a = коэффициент для x 4
• b = коэффициент для x 3
• c = коэффициент для x 2
• d = коэффициент для x
• e = константа.

Решение уравнения четвертой степени:

• x₁ = p + q + r — s
• x₂ = p — q — r — s
• x₃ = -p + q — r — s
• x₄ = -p — q + r — s

Пример 1:

Вычислить корни (x1, x2, x3, x4) уравнения четвертой степени, 3X 4 + 6X 3 — 123X 2 — 126X + 1080 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значения a=3, b=6, c=-123, d=-126, e=1080.

Шаг 2:

Найдем x : Подставьте значения в приведенных ниже формул.

• f = c — ( 3b ² / 8 )
• g = d + ( b ³ / 8 ) — ( b x c / 2 )
• h = e — ( 3 x b 4 / 256 ) + ( b ² x c / 16 ) — ( b x d / 4 )

Шаг 3:

Представим как уравнение третьей степени : y ³ + ( f / 2 ) y ² + (( f ² — 4 x h ) / 16 ) y — g ² / 64 = 0

где,

• a = коэффициент для y ³
• b = коэффициент для y²
• c = коэффициент для y
• d = константа

Шаг 4:

Из приведенного выше уравнения, значения:

Шаг 5:

Найдем y: Подставьте значения в формулу, чтобы найти корни.

дискриминант (Δ) = q 3 + r 2

• q = (3c — b 2 ) / 9
• r = -27d + b(9c — 2b 2 )
• s = r +√ (дискриминант)
• t = r — √(дискриминант)
• term1 = √(3.0) * ((-t + s) / 2)
• r₁₃ = 2 * √(q)
• y₁ = (- term1 + r₁₃*cos(q 3 /3) )
• y₂ = (- term1 + r₁₃*cos(q 3 +(2∏)/3) )
• y₃ = (- term1 + r₁₃*cos(q 3 +(4∏)/3) )

Шаг 6:

Получим корни, y₁ = 20.25 , y₂ = 0 и y₃ = 1.

Шаг 7:

После решения уравнения третьей степени решим уравнение четвертой степени.

Примечание : Пусть p и q квадратные корни 2 ненулевых корней.

• p = sqrt(y1) = 4.5
• q = sqrt(y3) = 1
• r = -g / (8pq) = 0
• s = b / (4a) = 0.5

Шаг 8:

Мы получили корни, x1 = 5, x2 = 3, x3 = -4 и x4 = -6.

Практический пример решения уравнения четвертой степени.