Формула уравнения прямолинейного движения точки

Прямолинейное движение точки в теоретической механике

Содержание:

Основные виды прямолинейного движения точки:

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости.

Начальные условия можно задать в форме .

Наиболее важные случаи прямолинейного движения материальной точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, или от координаты , или от скорости . Если сила постоянна, имеем случай равнопеременного движения, т. е. движения с постоянным ускорением. От времени сила зависит обычно, когда ее изменяют путем регулирования, например регулируют силу тяги самолета изменением режима работы его двигателей.

Силу, зависящую от координаты , могут создать сжатая или растянутая пружина и другие упругие тела при их деформации. Силы, зависящие от скорости движения,— это прежде всего силы сопротивления, когда материальная точка движется в какой-либо среде, например в воздухе, в воде и т. д.

Отметим, что в перечисленных случаях интегрирование дифференциального уравнения (1Г) выполняется наиболее просто и его можно довести до конца в квадратурах. В более общем случае, если сила одновременно зависит от времени , координаты и скорости , в большинстве случаев дифференциальное уравнение можно проинтегрировать лишь приближенно.

Рассмотрим примеры на составление и интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. Эти примеры позволяют выявить некоторые особенности решения таких задач. Ниже приведены примеры, когда сила зависит только от времени, или от скорости, или от координаты.

Пример 1. Точка массой (рис. 8) падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха , значение которой пропорционально квадрату скорости и массе точки, т.е. , где — постоянная положительная величина.

Найти уравнение движения точки.

Решение:

Направим ось по вертикали вниз, выбрав за начало координат положение точки в момент начала движения. В этот же момент примем . В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы и и составляем дифференциальное уравнение ее движения. Имеем

Скорость в этом случае можно определить в зависимости от времени или от координаты, используя подстановки

Последняя подстановка позволяет исключить из дифференциального уравнения время при определении скорости. Эта подстановка получается из первой умножением и одновременным делением на :

Используя первую подстановку, получаем дифференциальное уравнение движения точки в следующем виде:

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 8

Для того чтобы не искать дополнительно произвольную постоянную интегрирования, интегралы возьмем определенные, сохраняя верхний предел переменным для последующего интегрирования, а для нижних пределов используем также условие: при . Выполняя интегрирование и подставляя пределы, получаем

Потенцируя и решая относительно , имеем

Переходя в (а) к пределу при , стремящемся к бесконечности, получаем

Для достижения предельной скорости требуется бесконечно большое время. Более подробные расчеты показывают, что скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро.

Отметим, что для свободного падения в воздухе парашютиста вблизи Земли без раскрытия парашюта предельная скорость равна ; для авиационной бомбы она составляет .

Для нахождения закона движения точки подставляем в (а) вместо скорости ее значение . Тогда

Интегрируя это уравнение после разделения переменных, имеем

Пример 2. Материальная точка массой (рис. 9), брошенная вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью , движется под действием силы тяжести по закону тяготения Ньютона.

Определить зависимость скорости точки от ее расстояния до центра Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Решение:

Направив ось по прямолинейной траектории точки, выберем начало координат в центре Земли. Тогда по закону Ньютона для силы тяготения имеем

Постоянный коэффициент можно выразить через другие величины, в частности , где — масса Земли; — универсальная постоянная тяготения. Для рассматриваемого случая удобнее выразить из условия, что на поверхности Земли сила тяготения равна силе тяжести . Приравнивая и при , получим

где — ускорение силы тяжести у поверхности Земли; — радиус Земли. Подставляя полученное значение в выражение для силы тяготения, имеем

Составляем дифференциальное уравнение движения точки. Получаем

Рис. 9

Знак минус в правой части этого уравнения определяется знаком проекции силы на ось . Проекция силы отрицательна для положительных значений , рассматриваемых в этом примере.

Исключая время из дифференциального уравнения подстановкой

Разделяя переменные и беря от обеих частей интегралы с учетом, что при , имеем

Для определения наибольшего расстояния в зависимости от скорости следует положить . Из последней формулы получим

Видно, что увеличивается с ростом скорости и при расстояние становится равным бесконечности. Это можно истолковать так, что точка, брошенная с Земли со скоростью , не возвратится на Землю. Приняв , получим

Скорость называют второй космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую должен иметь космический корабль для полета к другим планетам Солнечной системы.

Наименьшую скорость космического корабля, при которой он становится спутником Земли, называют первой космической скоростью. Она приблизительно равна (см. ниже § 2 гл. 10).

Пример 3. Материальная точка массой (рис. 10) движется под действием силы притяжения к неподвижной точке . Эта сила пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна кубу расстояния между точками. Коэффициент пропорциональности равен единице. В начальный момент начальное расстояние точки и начальная скорость .

Рис. 10

Определить уравнение движения точки.

Решение:

Выбирая за начало координат точку для силы при положительном , имеем

Учитывая направление силы , составляем дифференциальное уравнение движения точки:

После преобразования левой части оно примет форму

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, имеем

После подстановки числовых значений для и получаем:

Интегрируя полученное уравнение, имеем

Закон движения точки можно выразить в форме

Прямолинейное движение точки

Обычно в задачах по динамике рассматривают так называемые несвободные материальные точки —материальные точки, движение которых ограничивается различными связями.

Приступая к решению задач, в которых рассматривается несвободная материальная точка, нужно прежде всего выявить действующие на точку активные силы (движущие силы и силы сопротивления), а также реакции связей (пассивные силы).

Выявив действующие силы, необходимо определить, находятся они в равновесии или нет? Этот вопрос в зависимости от заданных условий решается двояко.

Если, например, известно, что точка движется равномерно и прямолинейно, значит система сил уравновешена; если же известно, что точка двигается неравномерно или имеет криволинейную траекторию, то система сил неуравновешена.

Если система сил задана (все силы системы известны), то, определив проекции сил на оси координат, можно установить равновесие или неравновесие системы. В случае когда суммы проекций всех сил на каждую из осей равны нулю, заданная система сил уравновешена; когда же сумма проекций всех сил хотя бы на одну из осей не равна нулю, система сил неуравновешена; в первом случае точка движется равномерно и прямолинейно, во втором случае— имеет ускорение (вторая задача динамики).

При решении различных технических задач особенно важное значение приобретает случай, когда на материальную точку действует неуравновешенная система сил. В подобных случаях целесообразно решать задачи, применяя так называемый метод кинетостатики или принцип Даламбера, который формулируется так: активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Применяя принцип Даламбера, необходимо очень хорошо понимать Сущность силы инерции. Нужно помнить, во-первых, что сила инерции, численно равная произведению массы точки на приобретенное ускорение, всегда направлена в сторону, противоположную вектору ускорения;

• во-вторых, что сила инерции в действительности не приложена к рассматриваемой в задаче материальной точке; она условно прикладывается к этой точке; фактически сила инерции приложена к двигающему телу или к связи;
• в-третьих, что равновесие сил, которое образуется после добавления силы инерции к силам, приложенным к точке, — равновесие фиктивное; но оно позволяет воспользоваться для решения задачи уравнениями равновесия из статики.

При решении задач с помощью метода кинетостатики рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1. выделить точку, движение которой рассматривается, и изобразить ее на рисунке;
2. выявить все активные силы и изобразить их приложенными к точке на рисунке;
3. освободить точку от связей, заменить связи их реакциями и также изобразить их на рисунке;
4. добавить к полученной системе сил силу инерции;
5. рассмотреть образовавшуюся уравновешенную систему сил и в зависимости от вида системы сил выбрать наиболее рациональный способ решения: графический, графо-аналитический или аналитический (методом проекций).

Задача №1

На шнуре подвешена двухкилограммовая гиря (рис. 245, а). Каково при этом натяжение шнура? Как изменится натяжение шнура, если при его помощи поднимать гирю вертикально вверх равномерно? Поднимать вертикально вверх с ускорением Опускать вертикально вниз с ускорением

1. На гирю, которую принимаем за материальную точку массой m = 2кг, подвешенную на шнуре (см. рис. 245, а), действуют две силы: сила тяжести G и реакция нити Т, равная ее натяжению.

Других сил нет. Материальная точка (гиря) находится в покое, значит силы G и образуют уравновешенную систему, т. е.

2. Если гиря, подвешенная на шнуре, поднимается вертикально вверх равномерно, то на нее действуют те же две силы и они также образуют уравновешенную систему. Происходит лишь замена статического равновесия (равновесия в состоянии покоя) динамическим равновесием (равновесием в состоянии движения — равномерного и прямолинейного).

Таким образом, и в этом случае (см. рис. 245, а) натяжение шнура T = G= 19,62 я.

3. Рассмотрим гирю в состоянии равноускоренного движения вертикально вверх с ускорением (рис. 245,6).

На гирю действуют также две силы: ее вес G и натяжение шнура Теперь эти две силы не образуют уравновешенной системы, потому что точка движется с ускорением. Добавим к имеющимся силам G и силу инерции направив ее вертикально вниз —противоположно ускорению

Система сил G, уравновешена, следовательно, алгебраическая сумма их проекций на вертикальную ось равна нулю (уравнение равновесия):

Из этого уравнения

поэтому

Как видно, при подъеме гири вверх с ускорением натяжение шнура увеличивается:

4- Рассмотрим гирю в состоянии равноускоренного движения вертикально вниз с ускорением (рис. 245, в).

На гирю также действуют две силы: G и и они так же, как и в предыдущем случае, не образуют уравновешенной системы.

Добавим силу инерции направив ее противоположно ускорению т. е. вертикально вверх.

Уравнение равновесия примет вид

При ускоренном движении гири вниз натяжение шнура ослабевает. В данном случае по сравнению с состоянием равновесия натяжение шнура уменьшается на 9 н.
Примечание. Если решение задачи выполнить в технической системе единиц (МКГСС), то вес гири G= 2 кГ, а сила инерции получит такое выражение

Тогда значение приобретет такой вид

Легко проверить, что
Отмстим, что выражение натяжения шнура при равноускоренном движении гири вниз

Если ускорение увеличивается, то может наступить такое состояние, когда при этом

т. с. при свободном падении гири она не натягивает шнур. Образуется состояние «невесомости».

Задача №2

По наклонной плоскости АВ длиной 4 м и с углом подъема а=15 равноускоренно поднимают груз М весом G = 200 кГ, постоянной силой Р=65 кГ, направленной параллельно наклонной плоскости. Определить, сколько времени потребуется, чтобы переместить груз па расстояние AВ, сели коэффициент трения при движении груза по наклонной плоскости f= 0,05.

Решение — в единицах системы МКГСС.

1. Изобразим тело М на наклонной плоскости с приложенными к нему силами и Р, а также силой трения F и нормальной реакцией наклонной плоскости (рис. 246).

Находясь под действием этих сил, тело движется по наклонной плоскости с постоянным ускорением а.

2. Груз перемещается равноускоренно, без начальной скорости. Время его движения можно определить из уравнения движения

но предварительно необходимо определить ускорение а. Теперь система пяти сил приложенные к нему, нс образуют уравновешенной системы. Приложим к грузу М силу инерции направив ее в сторону, противоположную ускорению а. Теперь система пяти сил является уравновешенной.

4. Выберем систему координат, как показано на рис. 238, и спроектируем все силы на оси х и у. Тогда получим два уравнения равновесия:

5. Из уравнения (1)

но сила трения
Нормальное давление найдем из уравнения (2):

поэтому
Подставим в это уравнение числовые значения

6. Из выражения найдем ускорение а:

7. Подставив значение ускорения а в выражение найдем время перемещения груза М по всей длине наклонной плоскости:

Рекомендуется повторить решение последней задачи в единицах СИ, а затем самостоятельно решить следующие задачи.

• Криволинейное движение материальной точки
• Движение несвободной материальной точки
• Относительное движение материальной точки
• Геометрия масс
• Кинематика сплошной среды
• Аксиомы классической механики
• Дифференциальные уравнения движения материальной точки
• Две основные задачи динамики точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Равномерное прямолинейное движение

Прежде чем начать говорить о равномерном прямолинейном движении необходимо уяснить следующие определения:

• равномерное движение — это движение тела с постоянной (не меняющейся) скоростью. Т. е. скорость при таком движении является константой,
• прямолинейное движение — это такое движение, траектория которого — прямая линия. Другими словами это движение по прямой,
• равномерное прямолинейное движение в таком случае — это движение по прямой с постоянной скоростью. При таком движении тело за равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

Скорость при прямолинейном движении — величина постоянная. Для того, чтобы найти скорость, необходимо пройденный путь разделить на время, за которое он был пройден.

Формула скорости равномерного прямолинейного движения

V — скорость движения,

S — пройденный путь,

t — время движения

Применительно к равномерному движению можно сказать, что скорость показывает перемещение, которое совершает тело за единицу времени

Из формулы скорости легко выразить формулу для нахождения перемещения тела:

Формула перемещения тела при равномерном прямолинейном движении

V — скорость движения,

S — пройденный путь,

t — время движения

Координату тела при прямолинейном равномерном движении легко найти по формуле:

Координата тела при равномерном прямолинейном движении

x — координата тела в текущий момент времени,

x₀ — координата тела в начальный момент времени,

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы: