Формулы для уравнения с четным вторым коэффициентом

Формулы для уравнения с четным вторым коэффициентом

Для уравнений вида , то есть при чётном , где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

.

Также при чётном удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

или, если уравнение приведённое:

.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

0 \Rightarrow D>0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/6/8/e/68eda98d8feacc2fbb9ee7adae1dc95b.png» />

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при :

.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном .

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

«Формула корней квадратного уравнения (с четным вторым коэффициентом)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок по теме: Формула корней квадратного уравнения (с четным вторым коэффициентом)

Создать условия для усвоения учащимися содержания понятия «дискриминант квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом», формулы дискриминанта квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом и формулы корней такого квадратного уравнения; сформировать первичные умения находить дискриминант квадратного уравнения по новым формулам и по его значению определять количество решений квадратного уравнения, а также вычислять корни квадратного уравнения; отработать умение решать квадратные уравнения по формулам, изученными на предыдущем уроке..

Создать условия для формирования навыков решения квадратных уравнений.

· четный второй коэффициент

Тип урока: применение знаний и умений.

Универсальные учебные действия

Приветствует учащихся; проверяет готовность кабинета и учащихся к уроку, организует внимание детей. Даёт время (1 мин) на повторение формул дискриминанта и корней квадратного уравнения. Собирает домашнее задание на проверку.

Приветствуют учителя, подготавливаются к уроку, повторяют формулы,включаются в деловой ритм урока.

Оформляют карту самооценки: ФИ учащегося, класс

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности.

Личностные: мотивация учения

2. Актуализация знаний, умений и навыков

Вопросы учащимся (теория):

· Какую цель каждый из вас ставит перед собой?

· Какие знания вы будете использовать для достижения этой цели?

· Уравнение какого вида называется полным квадратным уравнением?

· Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?

· Для чего находится дискриминант?

· По какой формуле находится дискриминант?

· По какой формуле находятся корни квадратного уравнения?

Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:

а) 3у 2 — 5у + 1 = 0;

в) 12t — 7t 2 + 4 = 0;

г) 9t — 6 + t 2 = 0;

Какое из них приведённое?

2. Упростите выражения: ; (2k) 2 — 4аm.

3. Сколько корней имеет квадратное уравнение:

x 2 — 64 = 0; у 2 + 49 = 0; 2р 2 — 7р = 0; k 2 = 0; 2х 2 + 4х — 1 = 0; х 2 + 3х + 4 = 0; у 2 + 3у + 2 = 0.

Самостоятельная работа (практика)

1. Решите уравнение

выделением квадрата двучлена

2. Вычислите уравнения

3. Найдите корни

4. Сколько корней

х 2 — 10х + 25 = 0?

Отвечают на вопросы учителя.

Уметь выделять коэффициенты квадратного уравнения, знать формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, уметь определять количество корней квадратного уравнения и находить их.

Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу.

Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.

Давайте немного отдохнём.

Поднимает руки класс — это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперёд смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой к бедрам их прижать –это «пять».

Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Учащиеся поднимаются с мест и повторяют действия за учителем.

4. Изучение нового материала

Учитель предлагает учащимся привести примеры квадратного уравнения, которое имеет два корня.

Из предложенных уравнений выбирает и записывает на доске четыре уравнения: два с нечетным вторым коэффициентом, два — с четным. Ученики, работают в парах, записывают формулы дискриминанта для каждого уравнения и формулы корней. Учитель классу задает вопросы:

· Что вы можете сказать о дискриминантах этих уравнений?

· Раз дискриминант делится на 4, то что вы скажете о корне из дискриминанта?

· Как ваше заключение связано со вторым коэффициентом?

· Как вы думаете мы сегодня заострим своё внимание на какие квадратные уравнения?

· Что мы постараемся вывести для таких уравнений?

· Как назовём тему нашего урока? Запишем её в тетрадях.

· Можем ли мы изменить формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом?

В выводе «новых» формул корней квадратного уравнения для упрощения вида формул можно сразу ввести дополнительные обозначения: , и во время решения опорных примеров уже начинать закрепление новых обозначений.

Решить уравнение 7х 2 — 18х + 8 = 0

Учащиеся приводят примеры и отвечают на вопросы учителя.