5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы
Видеоурок: Формула расстояния между двумя точками
Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы
Расстояние между двумя точками
Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х2 – х1.
Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:
Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:
АВ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2 ) 1/2 ≈ 10,6.
То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.
Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:
Уравнение сферы
Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:
Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.
Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой:
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Формула. Объём шара:
V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
3 | 6 |
S = 4 π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
( x — x 0) 2 + ( y — y 0) 2 + ( z — z 0) 2 = R 2
Основные свойства сферы и шара
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m r такого круга можно найти по формуле:
где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
V = | h 2 π | (3R — h ) |
3 |
S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
V = | 2 π R 2 h |
3 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Уравнение прямой, плоскости и сферы
306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/sphere/
http://multiurok.ru/files/uravnenie-priamoi-ploskosti-i-sfery.html