Формулы сокращенного умножения уравнения примеры

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями ), решении уравнений и неравенств , при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь , и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду .

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.

…и приведем подобные слагаемые.

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки .

Теперь приведем подобные слагаемые.

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями .

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность на сумму

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Решение:

Пример №136

Вычислить

Решение:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму

При возведении суммы в квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Поэтому при возведении в квадрат выражений и можно пользоваться формулами:

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Докажем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Решение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве поменяем местами левую и правую части:

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Ее можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Решение:

Пример №139

Вычислить

Решение:

Пример №140

Решить уравнение

Решение:

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена а вторая — трехчлена

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Пример №142

Найти значение выражения при

Решение:

Запишем сначала трехчлен в виде квадрата двучлена:

При получим:

При получим:

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения

В формуле разности кубов трехчлен называют неполным квадратом суммы выражений (он напоминает трехчлен который является «полным» квадратом суммы выражений ). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен называют неполным квадратом разности выражений . Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Решение:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесли общий множитель за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель Вынесем eго за скобки:

Многочлен разложим на множители способом группировки:

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Решение:

а) Если к выражению прибавить то есть 9, то получим выражение, которое является квадратом двучлена

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №145

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №146

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

откуда:

Ответ:

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен принимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Слагаемое : при любых принимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение принимает только положительные значения. Поскольку то и выражение принимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства полученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Оно равно причем это наименьшее значение многочлен принимает при

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения делится на 8 при любом целом значении

Решение:

Упростим данное выражение:

При любом целом значении произведение делится на 8, поэтому и значение выражения делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

При схема вычислений имеет вид:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение они рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

• Разложение многочленов на множители
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Рациональные выражения
• Квадратные корни
• Линейное уравнение с одной переменной
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.