Формулы уравнения упрощение выражений 5 класс видеоурок

Урок «Упрощение выражений»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Упрощение выражений» раскрывает некоторые возможности операций при выполнении преобразования выражений. В ходе видеоурока на примерах подробно раскрывается суть распределительного свойства умножения, а также сочетательного свойства, приводится много примеров, помогающих усвоить материал. С помощью видеоурока учитель имеет возможность наглядно, понятно для учеников представить материал. При этом ему не нужны другие пособия, чтобы сформировать понятие. С помощью видеоурока можно быстрее достичь целей урока, повысить его эффективность.

При составлении видео были использованы инструменты, которые воздействуют на мыслительные процессы ученика, стимулируя запоминание и понимание материала. Представление текста в цвете помогает быстрее его запомнить, выделить важные понятия, формируя понимание. С помощью анимационных эффектов достигается последовательное изложение материала, возможность подчеркнуть важные особенности в решении задач, сделать решения более наглядными. С помощью иллюстраций легче наглядно представить изучаемый материал. Так как видео озвучено, это позволяет дополнить его комментариями учителя, которые помогают лучше усвоить материал.

Видеоурок начинается с представление его темы. На экране отображается два выражения (5+4)·3 и 5·3+4·3. Отмечается, что два данных выражения имеют одинаковые ответы. Ниже раскрывается решение данных выражений. Отмечается, что в первом примере при решении выражения в скобках получается 9, которое при умножении на 3 дает 27. Аналогично во втором примере, следуем правилам выполнения операций. При умножении 5 на 3 получается 15, а при умножении 4·3 получается 12. Сложив между собой 12 и15, также можно получить 27.

Объяснение равенства выражений выполняется с помощью рисунка. На экране изображены 27 кружков, при этом 5 столбцов в три ряда – розовые кружки и 4 столбца в три ряда – голубые кружки. Для подсчета общего количества кружков можно выделить количество столбцов розовых кружков – 5 и количество столбцов голубых кружков – 4, а с учетом того, что для обоих цветов одинаковое число рядов – 3, составить выражения поиска решения (5+4)·3. Если же подсчитывать количество кружков отдельно для каждого цвета, а затем сложить вместе, то получим сумму произведения 5·3 с произведением 4·3.

Рассмотренный пример обобщается в общем правиле – чтобы перемножить число с некоторой суммой, необходимо умножить на него каждое слагаемое суммы, а после эти произведения сложить. Отмечается, что данное правило представляет распределительное свойство операции умножения. Формулировка правила, название свойства выделены цветным шрифтом и могут быть рекомендованы учителем к запоминанию. Далее следует буквенное обозначение распределительного свойства (a+b)c=ac+bc.

Далее представляется распределительное свойство, когда выражение в скобках представляет собой разность. Сравниваются решение выражения (9-5)·3 с решением 9·3-5·3. Отмечается, что данные выражения также имеют одинаковые значения. При вычислении разности в скобках 9-5 получается 4, то при умножении его на 3 получается 12. Аналогично при решении второго выражения получаем из первого произведения 9·3 значение 27, а из второго произведения получаем 15. Значение в результате вычитания из 27 числа 15 получаем 12. Таким образом, значения выражений равны. Отмечается, что данный пример является подтверждением распределительного свойства операции умножения, выполняемого относительно вычитания. Само свойство в общем виде указано в текстовом виде ниже примера. Сообщается, что для умножения разности чисел на третье число необходимо умножить на него уменьшаемое, а также вычитаемое, после этого от первого найденного произведения следует отнять второе произведение. Название правила выделено цветным шрифтом. Ниже текстового представления свойства дается буквенное его представление.

Отмечается, что рассмотренные свойства помогают в упрощении выражений. Представляются примеры, которые можно упростить помощью данного свойства. Используя данное свойство, упрощается 3а+7а. Так как выражение представляет собой сумму произведений, в каждом из которых есть множитель а, сначала в скобки заносится сумма числовых коэффициентов (3+7), а затем это выражение умножается на а. Выражение в скобках можно вычислить, в результате чего получается выражение 10а. Указывается краткая запись вычисления. Оговаривается, что обычно опускается вынесение общего множителя за скобки, записывая 3а+7а=10а. Чтобы объяснить, как получается данное выражение, дается наглядный образ – вместо х предлагается представить конфету. Таким образом, складывая 3 конфеты и 7 конфет, получается 10 конфет.

Таким же образом выполняется упрощение выражения 26х-12х. Сначала в скобки заносится выражение (26-12), а затем умножается на общий множитель х. в результате вычисления выражения в скобках, получаем значение выражения 14х. Так же, как и в предыдущем примере, оговаривается краткая запись упрощения 26х-12х=14х. пример также дополнен наглядным образом, предлагая представить вместо х конфеты. Таким образом, если вычесть из 26 конфет 12 конфет, то получится 14 конфет.

Далее предлагается рассмотреть решение уравнения 3у+7у+25=85. Учитывая возможность упростить уравнение, так как в нем есть выражение 3у+7у, то оно принимает вид 10у+25=85. Чтобы найти 10у, нужно из 85 вычесть 25. В результате получаем упрощенное уравнение 10у=60. Делением 60 на 10 получаем ответ у=6. Справедливость решения проверяем подстановкой 6 вместо у в исходное уравнение 3·6+7·6+25=85. Так как после вычисления выражения в левой части получаем число 85, уравнение решили верно.

Далее рассматривается сочетательное свойство умножения. Предлагается рассмотреть пример 2у·7·10. Чтобы решить данный пример, можно перераспределить множители так, чтобы у остался за скобками (2·7·10)у. после вычисления выражения в скобках, получаем 140у.

В конце видеоурока предлагается ответить на вопросы для проверки, насколько усвоен учебный материал. На первый вопрос необходимо ответить, как формулируется распределительное свойство операции умножения, выполняемого относительно вычитания, сложения. Во втором вопросе следует пояснить с помощью изученных правил упрощение выражений.

Видеоурок «Упрощение выражений» используется на традиционном школьном уроке математики для повышения его эффективности. Также он может использоваться учителем, осуществляющим дистанционное обучение, в качестве наглядного пособия. Материал может быть рекомендован ученикам, которым необходимо дополнительное занятие для усвоения материала, или требуется самостоятельное изучение на дому.

Упрощения выражений — формулы и примеры для 5 класса

Общие сведения

Принцип решения любой математической задачи основан на получении оптимального ответа, который в дальнейшем возможно будет применить для других целей (доказательства теорем, тождеств, получения промежуточных величин). Оптимизация результата состоит из операций, имеющих собственный приоритет. Последний соответствует порядковому номеру элемента в списке:

1. Раскрытие скобок.
2. Возведение в степень, которая может быть целой и представленной в виде обыкновенной дроби (корень).
3. Произведение.
4. Частное или деление.
5. Сумма.
6. Разность.

В первом случае компоненты выражения группируются посредством скобок. В математике принято использовать только круглые, т. е. «()». Однако допускаются квадратные «[]», но некоторые начинающие математики иногда группируют элементы выражения при помощи фигурных скобок «<>». Это делать не рекомендуется, поскольку последние обозначают в дисциплинах с физико-математическим уклоном общее решение.

Иногда новички не знают, что возведение в степень и извлечение корня являются двумя эквивалентными операциями. Это утверждение легко доказывается. Например, квадратный корень из 36 эквивалентен 6. Знак радикала можно заменить степенью, имеющей вид обыкновенной или десятичной дроби, т. е. (36)^(½)=√36=6.

Произведение не всегда обладает высшим приоритетом, чем деление. Для удобства вычислений можно сначала разделить, а затем умножить. Например, требуется найти значение выражения «3*81:9». Его можно решить, основываясь на приоритетах или удобстве вычислений (оптимизации). Для сравнения расчетов нужно решить равенство двумя способами:

При решении получены одинаковые результаты. Следует отметить, что простой метод — второй. Операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Упростить выражение — означает, что необходимо преобразовать его из сложной формы представления в простую. Иными словами, операция называется оптимизацией результата.

Оптимизация выражений применяется при решении уравнений (равенств с неизвестными величинами) любой сложности и доказательства теорем. Это базовые знания, необходимые для упрощения выражений в 5 классе.

Базовые знания

Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:

1. Приведение общих компонентов.
2. Правила раскрытия скобок.
3. Работа со степенями.
4. Действия над знаменателями обыкновенных дробей и их сокращение.
5. Соотношения сокращенного умножения.

По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.

Приведение подобных элементов

Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Приведению подлежат только эквивалентные компоненты.
2. Операция выполняется только при арифметическом сложении и вычитании, а не делении и умножении.
3. Компоненты равные по модулю, но противоположные по знаку, уничтожаются, т. к. в сумме дают нулевое значение.
4. В любом выражении можно использовать противоположные числа, поскольку их общее значение не влияет на результат.

В первом случае нужно привести пример тождества следующего вида: 2+5t+4+5t^2+2t-4t^2. Чтобы его упростить, необходимо сгруппировать подобные компоненты, т. е. (2+4)+(5t+2t)+(5t^2-4t^2). Далее следует сложить компоненты между собой, т. е. 6+7t+t^2.

Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2+(-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.

Раскрытие скобок

Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:

1. Произведение на сумму или разность: r(s+t)=rs+rt или r(s-t)=rs-rt.
2. Деление суммы или разности: (s+t)/r=s/r+t/r или (s-t)/r=s/r-t/r.
3. Сгруппировать любые компоненты и поменять их местами с сохранением логики тождества: 3+4+11+7+19+33+23=(3+4+23)+(19+11)+(7+33)=30+30+40=100.

В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5+4-1+7». Для доказательства следует решить его двумя способами:

Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.

Работа со степенями

В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:

Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.

Оптимизация обыкновенных дробей

Практически во всех заданиях или тренажерах большая часть примеров представлена в виде обыкновенной дроби вида s/t, которую нужно сократить. Иногда необходимо произвести операции произведения или деления одной величины на другую (буквенное обозначение — s/t и w/v), а также сложения и вычитания. При последних операциях всегда необходимо приводить дробные тождества к общему знаменателю. Эта операция осуществляется следующим образом:

1. Если знаменатель одной дроби делится нацело на другой, следует оставить первый, записав множитель над второй величиной. Например, 4/5 + 4/25=(4*5+4*1)/25=24/25.
2. Когда v и t не делятся друг на друга, не имеют общих множителей, их нужно перемножить между собой, записав множители над числителями.
3. Если v и t содержат общие множители, единый знаменатель эквивалентен наименьшему общему кратному (НОК).

В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.

Сокращенное умножение

Для решения задач очень часто применяются формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях тождества «собираются» в них или, наоборот, для сокращения нужно расписать элементы по множителям (правая часть равенства). Соотношения имеют следующий вид:

1. Квадрат суммы и разности двух чисел: (w+v)^2=w^2+2wv+v^2 и (w-v)^2=w^2-2wv+v^2.
2. Разность квадратов и кубов: w^2-v^2=(w+v)(w-v) w^3-v^3=(w-v)(w^2+wv+v^2).
3. Куб суммы компонентов и их разности: (w+v)^3=w^3+3wv^2+3vw^2+v^3 и (w-v)^3=w^3-3wv^2+3vw^2-v^3.

Cледует отметить, что в некоторых случаях к формуле сокращенного умножения тождество следует «подвести», воспользовавшись свойством отнимания и прибавления одного и того же значения. Например, необходимо из некоторого выражения (2t^2-60) выделить одну из формул. Это делается следующим образом:

1. Выносится общий множитель за скобки: 2(t^2-30).
2. Прибавляется и отнимается 6: 2(t^2-30+6-6).
3. Группируются элементы и записывается формула: 2(t^2-36+6)=2[(t-6)(t+6)+6].

Иногда в более сложных выражениях приходится применять несколько соотношений. Если тождество является дробью, обязательно следует проверить условие неравенства знаменателя нулевой величине. Для этой цели следует решить соответствующее уравнение, вычислив его корни. Последние должны привести к пустому множеству, т. к. на 0 делить нельзя. Вот именно их и необходимо исключить, записав условие, т. е. t!=-9.

Таким образом, для грамотной оптимизации математических выражений необходимо пользоваться рекомендациями специалистов, правилами и методиками, поскольку их несоблюдение могут существенно повлиять на результаты вычислений.

Упрощение выражений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»