Фундаментальная система уравнений фсу физики полупроводниковых приборов состоит

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛУ­ПРОВОДНИКОВ

Любой полупроводниковый прибор может находиться в одном из трех основных физических состояниях состояний:

— теплового (аналогия – озеро)

В каждой точке объема полупроводника и в любой момент времени идут уравновешивающие друг друга процессы генерации и рекомбинации носителей, но токи не текут. Все производные по пространственным переменным и по времени в модельных уравнениях равны нулю;

— стационарном (аналогия – равнинная река)

В каждой точке объема полупроводника идут неуравновешенные процессы генерации и рекомбинации, токи текут, но их величины не меняются во времени, а только от точки к точке. Все производные по времени в модельных уравнениях равны нулю;

— нестационарном (аналогия – горная река)

В каждой точке объема полупроводника идут неуравновешенные процессы генерации и рекомбинации. Токи текут и меняются во времени и от точки к точке. В модельных уравнениях присутствуют все производные по пространству и времени.

Система уравнений в частных производных, описывающих поведение полупроводникового прибора для всех трех состояний, называется фундаментальной системой уравнений (ФСУ).

Конструктивно эта система состоит из трех групп уравнений:

— уравнения для плотностей токов;

— уравнения непрерывности (переноса) для электронов и дырок (закон сохранения массы);

Фундаментальная роль этих уравнений в физике работы полупроводникового прибора аналогична роли системы уравнений Максвелла для теории электромагнитных волн.

Уравнения, описывающие плотности токов

Для одномерного случая (все величины – скалярные):

. (1.29)

Для трехмерного случая (плотности токов, напряженности полей и градиенты концентраций – векторные величины):

. (1.30)

В данном выражении , , а символом обозначен оператор Гамильтона (или набла-оператор), который действует на скалярную функцию как

, .

Общая плотность тока

. (1.31)

где индекс n относится к электронным компонентам, а индекс p к дырочным.

Уравнения непрерывности:

Уравнения непрерывности записывают отдельно для электронной и дырочной составляющей токов.

В одномерном случае они имеют следующий вид:

(1.32)

Для трехмерного случая в векторной форме:

. (1.33)

В данном выражении есть дивергенция векторного поля .

. (1.34)

Она характеризует скорость накопления (или рассасывания) носителей заряда в элементарном объеме полупроводника, обусловленную неравенством втекающих и вытекающих потоков носителей.

Часто уравнение непрерывности называют уравнением переноса или законом сохранения массы.

Уравнение Пуассона:

Если величина электрического потенциала j изменяется в теле полупроводника от точки к точке (потенциал пространственно распределен в системе координат X,Y,Z), то напряженность электрического поля есть

. (1.35)

В данной формуле , — градиент скалярной функции j.

В одномерном случае напряженность поля есть пространственная производная от потенциала, взятая с обратным знаком

. (1.36)

Единица измерения пространственных компонент напряженности Е равна вольт на сантиметр (В/см).

Уравнение, которое определяет взаимосвязь между напряженностью электрического поля E и распределением системы зарядов в исследуемом объеме пространства, называется уравнением Пуассона.

Для одномерного случая уравнение имеет вид:

, (1.37)

где e₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума;

e – относительна диэлектрическая проницаемость материала, из которого сделан полупроводниковый прибор.

Для кремния e равняется 11,7, для арсенида галлия – 13,1, для германия – 16. Величина e₀ равна 8,854×10 -14 Ф/см.

В трехмерном случае

. (1.38)

Легко видеть, что если Е=const, то уравнение Пуассона переходит в уравнение электронейтральности

. (1.39)

По сути, уравнение Пуассона есть дифференциальная форма записи закона Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме всех зарядов, заключенных в данном объеме (деленной на e×e₀).

Фундаментальные уравнения физики полупроводников

Математической основой моделей полупроводниковых приборов является система модифицированных уравнений Максвелла, включающая оба типа носителей заряда, процессы диффузии и генерации-рекомбинации.

Уравнения непрерывности потока, которым в любой момент времени подчиняется движение носителей заряда в полупроводнике, можно представить в виде

; (3.60,а)

, (3.60,б)

где (p – p₀) = ∆р , (n – n₀) = ∆n – избыточные концентрации носителей, ∆g_n , ∆g_p – скорости генерации носителей под действием внешних факторов, τ_n , τ_р – времена жизни, j_n , j_p – плотности токов.

Слагаемые в правых частях уравнений математически отражают возможные причины изменения концентрации носителей во времени: накопление носителей за счет генерации ∆g, рассасывание носителей при рекомбинации ∆р/τ_p , ∆n/τ_n накопление или рассасывание носителей, обусловленное неравенством потоков, втекающих и вытекающих из некоторого элементарного объема 1/q div j_p .

Уравнение Пуассона устанавливает зависимость дивергенции вектора напряженности электрического поля от плотности объемного заряда.

div ε = ρ/ ε ε₀ или , (3.61)

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника; ε₀ = 8,86∙10 –12 Ф∙м –1 ,

φ – электростатический потенциал.

Уравнение Пуассона привлекается в тех случаях, когда напряженность ε существенно зависит от координаты, т.е. в полупроводнике имеется значительный объемный заряд.

Уравнения переноса показывают, что плотность тока в полупроводнике в общем случае обеспечивается дрейфом носителей заряда в электрическом поле с напряженностью идиффузией носителей под воздействием градиента концентрации:

где j_p и j_n – дырочная и электронная составляющие плотности тока.

Плотность полного тока j в полупроводнике равна сумме плотностей дырочного тока, электронного тока и тока смещения:

где .

При замещении прибора электротепловой моделью исходную систему уравнений дополняют уравнением теплопроводности, которое описывает тепловой режим прибора.

Исходная система уравнений (3.60) – (3.63) справедлива для макроскопических процессов и не учитывает влияние магнитного поля и неоднородностей структуры. В общем случае решение такой системы уравнений представляет собой нелинейную, непрерывную и неодномерную задачу. Нелинейность задачи связана с тем, что коэффициенты в уравнениях исходной системы зависят от плотности тока, напряженности поля и температуры, которые в свою очередь меняются с изменением режима эксплуатации прибора. Задача в общем случае неодномерная, так как электрические и тепловые процессы протекают в объеме структуры и зависят от времени и координаты. Модель прибора непрерывна во времени и пространстве, т.е. структура представляет собой единое целое и ее деление на отдельные области (база, переход, канал) является некоторым допущением.

Исходная система уравнений (3.60) – (3.63) является основой построения физико-топологических моделей. При этом уравнения в частных производных часто заменяют системой алгебраических уравнений, которая получается в результате представления производных в конечно-разностной форме.

1. Приведите общую классификацию материалов, используемых в твёрдотельной электронике.

2. Почему при образовании твёрдого кристаллического тела энергетические уровни атомов расщепляются в энергетические зоны?

3. Чем различаются зонные структуры металла, полупроводника и диэлектрика?

4. Почему ширина запрещённой зоны полупроводника уменьшается с увеличением температуры?

5. Перечислите механизмы генерации и рекомбинации носителей заряда.

6. Дайте определение энергетическому уровню Ферми.

7. Что такое собственный и примесный полупроводники?

8. Основные и неосновные носители заряда; закон действующих масс.

9. Что такое время жизни неравновесных носителей заряда?

10. Объясните механизмы электропроводности в полупроводниках: дрейфовые токи, диффузионные токи, ток ограниченный пространственным зарядом, токи смещения.

11. Какими физическими процессами определяется температурная зависимость подвижности?

12. Как и почему изменяется рассеяние носителей заряда в сильных электрических полях?

13. Поясните механизмы ударной ионизации, туннелирования и междолинного перехода носителей заряда.

14. От каких факторов зависят время жизни и диффузионная длина неравновесных носителей заряда?

15. Назовите основные механизмы поглощения света в полупроводниках. Какие из них вызывают фотопроводимость?

16. В чём различие между прямыми и непрямыми оптическими переходами?

17. Перечислите основные механизмы электролюминесценции в полупроводниках.

18. Поверхностные уровни Тамма, Шокли и адсорбированных инородных атомов. Чем определяется знак поверхностного заряда?

19. Поясните условия образования на поверхности полупроводника обогащённых, обеднённых и инверсионных слоёв.

20. Что такое скорость поверхностной рекомбинации?

21. Чем определяется поверхностная проводимость и эффект поля в полупроводниках.

22. Перечислите фундаментальные уравнения физики полупроводников для моделирования инжекционных и полевых полупроводниковых приборов.

ОСНОВНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 817 ; Нарушение авторских прав

Физические процессы в любом полупроводниковом при­боре могут быть описаны системой нелинейных дифферен­циальных уравнений в частных производных. Эта система в общем виде содержит два уравнения для плотностей то­ков электронов и дырок, два уравнения непрерывности электронов и дырок и четыре уравнения Максвелла и опи­сывает поведение носителей заряда в пространстве и во вре­мени.

Ток носителей заряда определяется их диффузией и дрейфом в электрическом поле. Уравнение для плотности токов электронов и дырок содержит две составляю­щие— дрейфовую (первый член) и диффузионную (второй член):

где q=1,602∙10 -19 Кл — элементарный заряд; n, p — кон­центрация электронов и дырок соответственно; μ_n, μ_p — подвижность электронов и дырок; D_n, D_p — коэффициенты диффузии электронов и дырок; Е — вектор напряженности электрического поля в декартовой системе координат:

Величина Е связана с потенциалом j соотношением

Е_х, Е_у, Е_г — составляющие вектора напряжен­ности электрического поля по осям х, у, z, а е₁ е₂, е₃ — еди­ничные орты, совпадающие по направлению с осями х, у, z. Градиент концентрации электронов

Аналогичным образом выражается градиент концентрации дырок.

Для невырожденного полупроводника (в кремнии при концентрации носителей заряда меньше концентрации вы­рождения

2-10 19 см -3 для 7=300 К) коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей заряда соотношением Эйнштейна

где k=1,38-10 -23 Дж/К=8,62-10- 8 эВ/К — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура, К; j_T=kT/q-температурный потенциал, составляет 0,0258 В при 300 К.

Уравнение непрерывности для электронов имеет вид:

Это уравнение описывает сохранение общего количества электронов и связывает изменение концентрации электро­нов п в некотором заданном элементарном объеме во времени (правая часть уравнения) с изменением n в этом объеме за счет протекания тока электронов (первый член ле­вой части), а также за счет генерации Gn или рекомбина­ции Rn электронов. Величина Rn называется темпом (ско­ростью) рекомбинации электронов и определяется уменьше­нием концентрации электронов в элементарном объеме в единицу времени вследствие рекомбинации. Темп генера­ции определяется увеличением концентрации электронов за счет теплового, ударного, оптического и других механизмов генерации. В условиях термодинамического равновесия ре­комбинация электронов полностью уравновешивает их теп­ловую генерацию, поэтому Rn = Gn. Если нет ударной и оп­тической генерации, то генерация электронов возможна только за счет тепловой энергии. В этом случае можно го­ворить о результирующем эффекте генерации — рекомби­нации, введя обозначение RG = Rn—Gn.

Аналогично записывается уравнение непрерывно­сти для дырок:

Напомним, что дивергенция векторной величины определя­ется выражением

Из многих известных механизмов рекомбинации в крем­нии и германии доминирующим является механизм реком­бинации носителей заряда через ловушки. Ловушками (цен­трами рекомбинации) могут служить атомы ряда элементов таблицы Д. И. Менделеева (золото, платина, медь, се­ребро и др.), дефекты кристаллической решетки. Ловушки, как правило, создают ряд уровней в запрещенной зоне по­лупроводника, однако наиболее эффективен с точки зрения рекомбинации один из уровней, который наиболее близок к середине запрещенной зоны. В модели рекомбинации, учи­тывающей процессы рекомбинации носителей заряда через ловушки, имеющие один-единственный энергетический уро­вень Et в запрещенной зоне (модель Шокли-Рида-Холла), темп генерации — рекомбинации носителей заряда опреде­ляется выражением

Где Nt — концентрация ло­вушек; ал, σ — сечения захвата электрона или дырки на ло­вушку соответственно; Vt — тепловая скорость носителя за­ряда, приблизительно равная 10 7 см/с при T=300К; кон­центрации n₁ и p₁ определяются выражениями

если в них вместо Ef подставить Et.

В общем случае систему уравнений необходимо дополнить четырьмя уравнениями Максвелла. Если не рассматривать влияние внешних маг­нитных полей и предположить, что собственное магнитное поле, обусловленное протеканием тока через прибор, мало (для кремния и германия в рабочем диапазоне температур это допущение справедливо), то достаточно рассматривать только уравнение Пуассона divD=ρ, которое в случае изо­тропного полупроводника имеет вид

Таким образом, основная система уравнений состоит из пяти перечисленных уравнений, которые являются основой анализа процессов в полупроводниковых приборах. Эту си­стему уравнений часто называют фундаментальной систе­мой уравнений (ФСУ) физики полупроводниковых приборов.

Диоды на основе электронно-дырочного перехода нашли наибольшее применение. Элект­ронно-дырочный переход можно создать внутри полупро­водника, если ввести в одну его область донорную примесь, а в другую акцепторную (рис. 3). В рабочем диапа­зоне температур атомы примесей полностью ионизованы, концентрации электронов в n-области, а дырок в р-области, т. е. концентрации основных носителей заряда вдали от границы раздела р- и n-области, можно считать равными концентрации соответствующей примеси: n_n0≈N_D, p_p0≈N_A. Равновесные концентрации неосновных носителей будут равны: n_p0=n_i 2/ p_p0 p_n0= n_i 2/ n_n0. Будем считать, что полупроводник достаточно сильно легирован, т.е. n_n0 >> n_i, p_p0 >> n_i и поэтому p_n0 >Nd> т,е. будем рассматривать резконесимметричный p-n переход.

Рис.3. Диаграммы несимметричного p-n перехода

Рассмотрим физические процессы, происходящие в областях р-n перехода в ус­ловиях термодинамического равновесия, т. е. при посто­янной температуре и отсут­ствии внешнего напряжения смещения. Так как концент­рация дырок в р-области много больше концентрации дырок в n-области, то дырки из р-области будут диффун­дировать в n-область, при этом в р-области у границы раздела останутся непо­движные отрицательные ио­ны акцепторов и возникнет отрицательный объемный за­ряд— qNa. Дырки, перехо­дя в n-область, рекомбинируют с электронами, в результате чего концентрация электронов справа от границы уменьшается. Аналогично электроны из n-области (где их много) диффундируют в р-область (где их мало), при этом в n-области остаются нескомпенсированные положительные ионы доноров и возникает положи­тельный объемный заряд +qNd. Электроны, переходящие в p-облаcть, рекомбинируют с дырками, что также приво­дит к образованию нескомпенсированного отрицательного заряда ионов акцепторов вблизи границы раздела. В резуль­тате описанного выше процесса вблизи границы раздела образуется ОПЗ, в которой концентрация электронов и ды­рок понижена. ОПЗ имеет высокое электрическое сопро­тивление, и ее называют также запирающим слоем. Рас­пределение объемного заряда в ОПЗ р(х) показано на рис. 3, г. Электронно-дырочные переходы с распределе­нием легирующей примеси, изображенным на рис. 3, б, называют резкими переходами.

В отсутствии сужения запрещенной зоны можно показать, что контактная разность потенциалов будет равна

А полная ширина ОПЗ составит

где N*=Na∙Nd/(Na+Nd)