Функции и последовательность множества уравнения

Числовые множества и функции

2. Числовые множества и функции

2.1. Числовая ось. Множества на числовой прямой

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия.

Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество называются элементами, или точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. д. Т. е. объекты могут иметь самую различную природу, какую себе можно только представить.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными.

Факт принадлежности элемента а множеству А условно принято обозначать записью . Если элемент b не является элементом множества А, то пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ø. Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А, что эквивалентно символьной записи .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается E = A\B.

Пример 2.1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А = <1; 3; 6; 8>, В =

Ответ: , ,

Дополнением множества называется множество А0, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Из школьного курс алгебры известны множества : R – действительных чисел, Q – рациональных, I — иррациональных, Z – целых, N – натуральных чисел. Очевидно, что

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовой оси). Числовой прямой называют прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой оси – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Приведем определения некоторых множеств на числовой оси. Пусть а и b — действительные числа, а а.

Поэтому, например, решениями неравенства│х −а│ 0). будут точки открытого интервала (а – ε, а + ε), т. е. точки интервала, удовлетворяющего неравенству а – ε 0), называется ε – окрестностью точки а (рис. 2.1).

2.3. Понятие функции одной переменной

Определение функции. Рассмотрим два множества Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество Y).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – Y.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Буквы для обозначения зависимой и независимой переменной можно выбирать любые, например

это одна и та же функция, один и тот же закон сопоставления.

Пусть Х и Y множества вещественных чисел.

Значения х и у могут быть любой физической природы. На данном этапе мы будем рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются числовыми множествами.

Область определения функции будем иногда обозначать символом D, а область значений – символом E

1) Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: D = (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

2) Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х > 1. Запишем решение в виде интервала: D = (1, ∞).

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.).

Пусть рассматривается какое-либо утверждение В в связи с некоторым утверждением А. Если из В следует А, т. е. В→А, то А является необходимым условием для В. Если же из А следует В, т. е. А→В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 является необходимым условием для В (делимость на 6 →делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 является достаточным условием делимости на 6 (делимость на 12 → делимость на 6).

Таким образом, необходимые условия − те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия − те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

2.3. Способы задания функции

1). Табличный — наиболее простой способ задания функции; составля­ется таблица: два столбца (или две строки), в левом записываются значения аргумента, в правом — соответствующие значения функции. Например, следующая таблица (табл.2.1) означает, что

Этот способ не всегда приемлем. Например, для функции

невозможно записать в таблицу все значения, которые принимает х. Но он очень важен, например, для задания функций, полученных из эксперимента.

Пример: В киоске продается мороженое. Зависимость количества проданных за день порций от цены мороженого (при прочих равных условиях) отражена в табл. 2.2:

В левом столбце — цена в рублях (обозначена буквой р), в правом столбце — количество проданных порций q = f(p), т. е. зада­на функция, выражающая зависимость спроса от цены. Такие функции (они называются функции спроса от цены) имеют большое значение в экономике, и мы к ним еще будем возвращаться.

2). Графический – наиболее наглядный способ задания функции.

называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). Для предыдущего примера график функции имеет вид (рис. 2.2)

Для большей наглядности полученные точки графика соединены отрезка­ми прямых.

Отметим, что следующая кривая (рис. 2.3) не является графиком функ­ции, так как в промежутке от a до b нарушается требование однознач­ности из определения функции, каждому значению х из этого промежут­ка отвечают несколько значений у.

3). Аналитический способ задания функции — это задание функции формулой, с помощью которой по данным значениям аргумента определя­ются соответствующие значения функции; например,

Наряду с таким (как в этих примерах) явным заданием функции функциональная зависимость между переменными может быть задана уравнением

связывающим переменные х и у. Здесь зависимая переменная явно не выражена через независимую, например х3- у3+ 4 = 0. Такого типа функциональная зависимость между переменными х и у называется неявной. Более строго говоря, уравнение F(х, у) = 0 определяет у как неявную функцию от х, если каждому значению х из некоторого множества X можно однозначно сопоставить значение у так, что полу­ченная пара значений (х, у) обращает уравнение

F(x, у) = 0 в тож­дество. В одних случаях от неявного задания функции несложно перейти к явному. Например, если

х3- у3+ 4 = 0 — неявное задание функции, то у = (х3 + 4)1/3 есть явное задание этой же функции. В других случаях такой переход может быть затруднен или вообще невоз­можен. Не всякое уравнение F(x, у) = 0 определяет функцию, в част­ности из-за требования однозначности функции. Оно может определять сразу несколько функций. Например, известному из курса средней школы уравнению окружности х2 + у2 = a2 соответствуют две функции:

у = (а2 — х2)1/2 и у = -(а2 — х2)1/2 . Графиком первой из них является верхняя полуокружность, а графиком второй — нижняя (рис. 2.4).

4). Параметрический способ задания функции. Функциональную зависимость между переменными х и у можно задать с помощью третьей вспомогательной переменной, называемой параметром, а именно — каждая переменная задается как функция этого вспомогательного параметра:

Так быва­ет, например, при задании движения объекта на плоскости, когда каж­дая координата х, у задается как функция времени:

Тогда обе функции в совокупности определяют траекторию движения этого объекта.

Пример. Функция у = (1 — х2)1/2 может быть задана параметри­чески:

5) Способ, когда функция определяется несколькими формулами, действующими на различных участках, например:

График этой функции

Еще один пример.

График этой функции

Функция обозначается у = sign x.

Существуют функции; которые ни одним из предыдущих, способов задать нельзя. Их задают словесным описанием закона, по которому значениям одной переменной сопоставляют значения другой переменной.

Эта функция называется функцией Дирихле. Ни графически, ни аналити­чески, ни таблично ее описать нельзя.

Иногда подобным образом задают функцию, которую нельзя задать аналитически, а затем строят ее график.

Пример: у(х) есть наибольшее целое число, меньшее или равное х. Обозначают: у = Е(х).Например, Е (6,2) = 6. График этой функции

Замечание. До сих пор мы говорили в основном о функции непре­рывного аргумента, т. е. о функции, аргумент которой является не­прерывной величиной. Точно так же можно говорить о функции дискрет­ного аргумента; например, если n — натуральное число, то

есть функция натурального аргумента. Ее график имеет вид:

2.4. Обратная функция

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что f (x) = y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: (Взято из «Избранное»/ дискретная математика/ 4.1.2. Сравнение и отображение множеств. url.

http://www. *****/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/theory. html)

Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Х и об­ластью изменения Y. По определению функции каждому значению х из X ставится в соответствие значение у из Y. Будем рассматривать такие функции, что двум разным значениям аргумента x1 и х2 соответствуют разные значения функции, т. е. при x1 ≠ х2 справедливо f(x1) ≠ f(х2).

Тогда для каждого значения у из Y найдется такое единственное значение х из X, что f(x) = у.

Правило, сопоставляющее каждому у из Y указанное значение х, определяет функциональную зависимость

φ(у) = х. Эта функция назы­вается обратной к функции

у = f(x). Она обозначается х = f-1(y).

Областью определения обратной функции является множество значений данной функции f(x). График функции

у = f(x) является и графиком обратной функции х = f-1(y), при этом независимая и зависимая пе­ременные меняются ролями. Напомним, что функция не зависит от обозначения переменных: у = х2, u= у2, х = у2 — одна и та же функция. Также у = f-1(х) и х = f-1(y) — одна функция, обратная функции у = f(x). Так как точки (a, b) и (b, а) симметричны относи­тельно биссектрисы I — III координатных углов, то график обратной функции у = f-1(х) симметричен относительно этой биссектрисы графи­ку функции у = f(x).

1. Для функции у = ах обратной является функция

х = loga y или у = loga х. См. рис. 2.9.

2. Для функции у = х3 обратной является функция

Использование обратной функции позволяет перейти от параметри­ческого задания функции к явному:

пусть функция задана параметрически:

причем функция х = φ(t) имеет обратную t =φ-1(х). Подставляя в функцию у = ψ(t) выражение t =φ-1(х), получаем у = ψ(φ-1(x)) — явное задание функции.

2.5. Сложная функция

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – Y, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

2.6. Ограниченная функция

Функция называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что для всех х справедливо неравенство Аналогично определяется функция, ограничен­ная снизу. Например, функция ограничена снизу, для всех х. Здесь М = 0.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, функция

2.7. Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

I. Степенная функция y = kxa, где а — действительное число; в частности:

если а = 1, k=1 то y = х — линейная функция (рис. 2.11);

если а = 1/2, k=1, то у = х1/2 (рис. 2.12).

Рис. 2.11. Рис. 2.12.

если а = -1, то у = kх-1 = k/х — гипербола; при этом:

− если k >0, то гипероола располо­жена в 1-й и 3-й четвертях (рис 2.13);

Рис. 2.17. Рис. 2.18.

4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

(графики не приводятся)

2.6. Примеры функции из экономики

1. Функция спроса от цены Q = f(p) определяет зависимость величины Q спроса на товар от цены р этого товара (при прочих равных условиях). Рассмотрим примеры функций спроса от цены.

1). Так как р и Q должны быть неот­рицательны, то график этой функции есть находящаяся в 1-й чет­верти часть гиперболы (смещенной по оси на -2).

2). При р = 0 спрос равен 10 ед. С увеличением цены спрос падает и, начиная с р = 20, становится равным нулю. Поэтому правильнее было бы записать эту функцию спроса так:

Однако принято писать так, как указано в условии примера.

Как правило, функция спроса есть убывающая функция, то есть с возрастанием цены спрос на данный товар падает (в экономике такое явление называется законом спроса). Вместе с тем бывают случаи, когда этот закон не действует, и в последующем студенты смогут по­знакомиться с такими «неправильными» товарами.

Отметим, что функция спроса (от цены) часто обозначается Q = D(p), где D от английского Demand — спрос.

2. Функция предложения (от цены) показывает количество Q това­ра, которое производитель готов предложить рынку при данной цене р.

Пример. Q = 0,75р — 3 — функция предложения.

Пока цена меньше 4, производителю невыгодно поставлять данный товар, предложение равно нулю. Опять же можно отметить, что более аккуратной с математической точки зрения была бы такая запись:

Известны и другие функции, применяемые для описания экономических законов.

Введение в теорию множеств

Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.

Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.

Но 1874 году довольно малоизвестный математик провёл серию революционных наблюдений, подвергавших сомнению это всеми принятое и глубоко укоренившееся убеждение. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров (не волнуйтесь — для прояснения этого мы вскоре подробно изучим его статью).

«Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор

С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.

Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:

Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.

Сколько чисел есть между 0 и 1?

Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.

В первой части теории исследуется множество вещественных алгебраических чисел и доказывается, что это бесконечное счётное множество. Здесь не стоит путать — «счётное» не обязательно значит, что счёт ведётся строго в целых числах; в контексте теории множеств «счётное» означает, что множество, пусть даже состоящее из бесконечного числа элементов, можно описать повторяющимся рядом, например упорядоченной многочленной функцией. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел соответствия «один к одному» с рядом, наличием взаимно однозначного соответствия.

Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.

Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.

Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.

Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.

Далее: запись и операции

Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.

Стоит также поделиться интересным наблюдением: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят скорее не эту конкретную теорему, а заданный ею обобщённый язык. Благодаря своей абстрактной природе теория множеств скрытно влияет на множество областей математики. В математическом анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, необходимо понимание пределов и непрерывности функций, окончательно закреплённых в теории множеств. В алгебре логики логические операции «и», «или» и «не» соответствуют операциям пересечения, объединения и разности в теории множеств. И последнее, но не менее важное — теория множеств закладывает основы топологии — исследования геометрических свойств и пространственных отношений.

Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.

Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.

Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:

A — это множество с элементами «1», «2» и «3»

«1» — элемент множества A

В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.

Для показанной выше таблицы давайте введём два дополнительных множества B и C, содержащие следующие элементы: B = , C = . Хоть мы и создали три множества (A,B и C), в показанных ниже примерах операции выполняются одновременно только с двумя множествами, поэтому внимательно следите за тем, какие множества указаны в самом левом столбце. В показанной ниже таблице представлено пять самых распространённых операндов множеств:

Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;

объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;

подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;

собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;

относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.

Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.

Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?

Универсальное множество — пустое множество

Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.

Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.

Прежде чем мы двинемся дальше, надо упомянуть ещё одно принципиальное множество, которое достаточно важно для базового понимания: нулевое или пустое множество. Учтите, что существует единственное пустое множество, поэтому никогда не говорят «пустые множества». Хотя мы не будем рассматривать в этой статье эквивалентность, основная теория гласит, что два множества эквивалентны, если они имеют одинаковые элементы; следовательно, может быть только одно множество без элементов. Поэтому существует единственное пустое множество.

Диаграммы Венна и остальное

Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:

Схематичное изображение всех возможных отношений нескольких множеств

Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:

Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).

Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.

Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.

Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?

Часть 3. Мощность и показательные множества

В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.

Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.

Примеры мощности множеств

Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.

Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:

Количество возможных подмножеств в C= 2 |C|

Давайте подробно рассмотрим показанный ниже пример. Однако для начала поразмыслим над формулой. Представим мощность как общее количество «позиций», которое представляет множество. При создании некоторого подмножества для каждой возможной позиции принимается булево решение (да/нет). Это означает, что каждый уникальный элемент, добавляемый к множеству (то есть увеличивающий мощность на единицу) увеличивает количество возможных подмножеств на множитель два. Если вы программист или учёный, то можете уяснить эту логику немного глубже, если поймёте, что все подмножества множества можно вычислить с помощью таблицы двоичных чисел.

Показательное множество (булеан)

Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.

Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.

Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***

Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.

Эквивалентность и биективная функция

Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?

Очевидно, что два множества с одинаковой мощностью имеют некое общее свойство, но на этом сходства заканчиваются — что если в одном из множеств есть многократно повторяющийся элемент? Что если два множества имеют одинаковую мощность и количество элементов? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «эквивалентны», но даже в этом случае всё равно есть возможность различий, потому что каждое множество может иметь разные элементы, повторяющиеся одинаковое количество раз. Смысл здесь в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда другим областям математики. Установление эквивалентности в этом мире требует знакомства с этой концепцией и нового языка. В последней части этой статьи мы введём понятие эквивалентности, а также таких базисных свойств, как инъективные, биективные и сюръективные функции.

Часть 4. Функции.

В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:

Функция в мире теории множеств — это просто соответствие некоторых (или всех) элементов из Множества A некоторым (или всем) элементам Множества B. В показанном выше примере набор всех возможных элементов A называется областью определения; элементы A, используемые в качестве входных значений, в частности называются аргументами. Справа набор всех возможных выходных значений (называющихся в других областях математики «областью значений»), называется кообластью; набор настоящих выходных элементов B, соответствующих A, называется образом.

Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.

Инъекции, сюръекции и биекции

В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:

• Функция является инъективной (или «один к одному»), если каждый элемент в кообласти отображается не более чем на один элемент в области определения.
• Функция является сюръективной, если каждый элемент в кообласти отображается не менее чем на один элемент в области определения. (то есть образ и кообласть функции эквивалентны.)
• Функция является биективной, если каждый элемент кообласти отображается ровно на один элемент области определения.

Вишенкой на торте этих сложных определений стали возможные дополнительные значения слов «инъективный», «сюръективный» и «биективный». Когда они используются для описания функции (соответствия), верным будет представленное выше значение; однако также верно будет идентифицировать функции (соответствия) исключительно по этим характеристикам. То есть функция с инъективным поведением называется инъекцией, функция с сюръективным поведением — сюръекцией, а функция с биективным поведением — биекцией.

Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:

Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)

Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.

Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.

Теория множеств — виды, операции и примеры с решением

Содержание:

Основные понятия:

Множество — одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.

Кантор описывает множество следующим образом:

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов пашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S

Термин «множество» характеризует совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы — элементов множества, которые обладают каким-либо общим для них свойством (признаком). Этот общий признак содержится в самом названии (задании) множества. Множество состоит из элементов и считается заданным, если о каждом из рассматриваемых объектов известно, входит он во множество или нет. Множество может быть задано либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. Символическая запись

Рис. 2.1. Множество А называют подмножеством другого множества U или множество А включено во множество U, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества U. Это обозначается . Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, А и В ) так и подмножества, имеющие общие элементы ( В и С). Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.

Свойства включения:

1. Каждое множество есть подмножество самого себя ;
2. Если ;
3. , т.е. множества А и В равны тогда и только тогда, когда эти множества состоят из одних и тех же элементов;
4. Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

1. Любое множество содержит в качестве подмножества.
2. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества: .

Множество называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными или истинными. В этом случае, когда говорят, что В строго включено в А (обозначается ):

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степеньюмножества А.

Если А не содержит элементов, т.е. , то его единственным подмножеством является .

Если А — одноэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются А и . Число этих подмножеств равно 2.

Если А — двухэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются Число этих подмножеств равно 4.

Несложно убедиться в том, что множество-степень конечного n-элементного множества (А) состоит из 2″ подмножеств.

Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком .

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества А и В называются непересекающимися.

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества А называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества А, что каждый элемент множества А является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Разностью множеств А и В или дополнением В до А называется множество, состоящее только из тех элементов А, которые не входят в В. Эта операция над множествами обозначается знаком \.

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества U. В таком случае разность U \ А (дополнение А до U) обозначают, как, а операцию называют взятием дополнения.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С: .

Обозначается симметрическая разность: .

Для подмножеств данного множества U выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств — операцию умножения, универсальному множеству U — единицу, а пустому множеству — ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции — операции объединения и пересечения.

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой на , U на и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества А и то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем -элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств А и В называется множество С, составленное из упорядоченных пар (а,b). Декартово произведение множеств А и В обозначается.

Очевидно, что и — различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.

Отображения

Отображение — одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть X и Y — произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества X на множество Y (запись: или ) если каждому элементу х множества поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества .

Элемент называется образом элемента х при отображении , а элемент называется прообразом элемента у при этом отображении. Образом множества X элементов х при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений Y. Множество X всех элементов, образы которых составляют область значений Y называется прообразом множества Y элементов . Множество X называется областью определения отображения .

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент y множества имеет хотя бы один прообраз х множества , т.е. .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества является образом лишь одного элемента х множества , т.е. образы любых двух различных элементов множества X различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно ипъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (X = U и Y= V), причем .

Произведение двух отображений и можно определить как отображение , которое каждому элементу х множества ставит в соответствие элемент множества .

Отображение множества X на множество Y иначе называется функцией на множестве X со значениями во множестве Y. Если множества X и Y совпадают, то биективное отображение множества X на себя называется преобразованием множества X. Простейшее преобразование множества X — тождественное — определяется так: . Тождественное отображение , переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования g, называется произведением преобразований .

Для преобразований одного и того же множества X справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение А = В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет большую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу а множества А был поставлен в соответствие его порядковый номер „ Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар <х,у), где .

• Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении сам с собой ().
• Отношение называется симметричным, если оно обладает свойством коммутативности ().
• Отношение называется транзитивным, если
• Отношение называется антисимметричным, если

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

• каждый элемент эквивалентен самому себе;
• высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;
• два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.

Пусть А — множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу а, называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент а из А находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных а, не существует, то а может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в А определяет на А разбиение на классы эквивалентности, т.е. А становится объединением непересекающихся классов.

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.

Способы задания множеств

Как в повседневной, так и в научной жизни часто говорят о чертах какого-либо коллектива, совокупности некоторых объектов. Так, например, можно говорить о студентах группы некоторого института, о совокупности точек внутри некоторого круга и т.д.

Понятие множества в математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из предметов, сведенных в одно целое. Предметы, собранные во множество, называются элементами множества. Понятие множество и элемент считаются основным понятиями и не сведены к другим понятиям путем применения формального определения. Таким образом, под множеством, мы будем понимать любое объединение в одно целое М определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются элементами М

Каждое множество считается самостоятельной осмысленной вещыо, как бы осмысленной оболочкой его элементов. Множество

считается известным, если заданы его элементы; множество определяется раз и навсегда заданием его элементов; множества не зависят or времени.

Следовательно, множество однозначно определяется его элементами.

Множество, у которого ни один предмет не является элементом, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается символом .

Для обозначения множеств обычно применяются заглавные латинские буквы. Выражение обозначает, что объект m является элементом М (читается: «m является элементом М или m принадлежит М»).

Выражение : «m не является элементом М или m не принадлежит М». Элементами множества могут быть и множссгва.

Теорема 1.1.1. Два множества тождественны (равны) тогда и только тогда. если их элементы одинаковы.

Доказательство. Если два множества тождественны (равны), то на основе понятия тождественности элементы обоих множеств одинаковы.

С другой стороны, если о двух множествах нам известно, что их элементы тождественны, то эти два множссгва тождественны, так как множество однозначно определяется его элементами.

В определениях, касающихся геометрических мест, всегда присутствует отождествление множеств, заданных двумя разнымиопределениями.

Например. Перпендикулярная липия, пересекающая отрезок прямой, является геометрическим местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от двух концов озрезка. Это означает следующее: В плоскости множество точек перпендикулярной линии, пересекающей в середине отрезок прямой, тождественно множеству точек, расположенных на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Множество часто задается в следующем виде: элементы множества заключаются внутри фигурных скобок: <. >. Подобной записью может быть конкретное перечисление элементов множества или задание такого определения, которым элементы множества однозначно задаются.

• а) <гласные звуки слова «МАТЕМАТИКА»>— множество задано путем определения;
• б) , <О, А, Е>— множество задано путем перечисления элементов.

Заметим, что один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если предмет повторяется несколько раз.

Тождественные множества связываются знаком равенства (=):

Множество А считается подмножеством В, если каждый элемент А является и элементом В, что обозначается выражением .

Понятие части (подмножества) в теории множеств отличается от обычного понятия части. В обычном понимании часть всегда меньше целого. А по понятию части в теории множеств целое также входит в понятие части, т.е. каждое множество является элементом самого себя, гак как каждый элемент А является элементом А, значит . Пустое множество является частью каждого множества.

Множество А является действительным подмножеством множества B, если А является частью В, но не тождественно с ним, что обозначается .

Примеры:

1. Множество N неотрицательных целых чисел является действительной частью множества Z произвольных целых чисел: .
2. Множество Z действительная часть множества Q рациональных чисел:
3. Множество Q действительная часть множества R вещественных чисел
4. Множество R действительная часть множества С комплексных чисел:

Не существует никакого ограничения в отношении того, насколько много (или мало) элементов может быть в одном множеств: в одном множестве может быть любое, даже бесконечное количество элементов.

Сравнивать множества можно, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами.

Если каждому элементу множества А по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент множества В и если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Если между множествами А и В установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равиомощны-ми. Множество А называется бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его действительных подмножеств, в противном случае А — конечное множество. Бесконечное множество А счётно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел.

Например, множество всех действительных чисел R и множество натуральных чисел N имеют разные мощности. Первое множество имеет мощность континуума, а второе — счетное множество.

Особую роль в теории множеств играет универсальное множество, которое часто называют просчранством. Это некоторое множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.

Алгебраические операции над множествами

Определим операции, выполняемые над множествами.

а) Пересечением множеств Ми N называется множество, которое будет обозначаться М N, состоящее из элементов, принадлежащих как М, так и N, т.е. М N = .

Эта запись означает, что пересечение MN двух множеств состоит из элементов х, одновременно принадлежащих как М, так и

N. Например, если М = <0,1,2,3>, а N = <1,4,3,6>, то МN = <1,3>. Основные тождества этой операции состоят в следующем:

• 1. А В = В А (коммутативность).
• 2. АА = А (идемпотснция).
• 3. А = .
• 4. (А В) С = А (В С) (ассоциативность).

Если А В = А, то действительны следующие соотношения: ,

,

А В.

Вели , т.е. если А и В не имеют общих элементов, то

А и Б называются посторонними множествами.

Если есть совокупность множеств ,то пересечение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов,

принадлежащих одновременно всем множествам совокупности .

6) Объединением двух множеств А и В называется множество A В, состоящее из элементов, по крайней мере, одного из множеств А и В, т. е.

.

Эта запись означает, что объединение A В двух множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих множеству А или множеству В, или множеством А и В одновременно. Например, если A= <0,1,2,3>а B=<4,5,6,>, то A B = <0,1,2,3,4,5,6>.

Легко увидеть, что если А и В являются ограниченными множествами без общих элементов, то количество элементов AB = (количество элементов А) + (количество элементов В). На основе этих соотношений операция объединения часто называется суммированием множеств. Для операции объединения справедливы следующие тождества:

1. A В = В А (коммутативность).
2. A А = А (идемпотснция).
3. A = А.
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность).

Так же действительны соотношения: , тогда и только тогда, если A В=В.

В общем случае, когда имеется совокупность множеств ,то объединение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств совокупности .

в) Множество элементов Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением (разностью) к А в Е и обозначается через или СА или Е\А, т.е. .

Например. Если областью существования функции является А, а множество ее корней — В, то область существования функции-множество А\В.

Для операции разности справедливы следующие соотношения:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°..
• 4°. .
• 5°. .
• 6°..
• 7°..
• 8°. .

Два любых предмета а и b представляют собой упорядоченную пару, если предварительно задано, какой из них считается первым и какой вторым. Упорядоченные пары обозначаются символом (a, b), где а — первый элемент, b — второй <а и b могут быть тождественны).

г) Произведением А х В двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар (а, Ь), образованных из элементов а множества А и элементов b множества В, т.е. .

Пары (а, b) и (b, а) с считаются различными. Это особенно важно иметь в виду, когда множества Aw В совпадают.

Пример:

.

В координатной геометрии точки плоскости характеризуются парами чисел, а точки пространства — тремя числами. Это означает, что если R обозначает множество точек числовой оси, то R х R -множество точек плоскости, а (RxR)xR- множество точек пространства. Отсюда возникло обозначение для произведения n множеств, идентичных множеству R всех вещественных чисел. Точка из является, следовательно, упорядоченной системой произвольных вещественных чисел .

Справедливы следующие операции для декартового произведения множеств:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°. , т.к. пустое множество не имеет элементов.

Понятие множества широко используется в экономических исследованиях. Так при изучении системы производства одного предприятия или нескольких, которые потребляют продукты: сырьё, энергию и трудовые ресурсы и производят в соответствии с некоторой технологией другие продукты-изделия, составляется математическая модель, где используется множество

, которое характеризует производственный процесс. Элементами этого множества являются векторы описывающие количество любого продукта, находящегося в системе.

Выпуклые множества. Пересечение выпуклых множеств

В первом пункте мы определили множество, указали способы его задания. Теперь мы укажем некоторые дополнительные свойства множеств. Для этого введем ряд определений.

Окрестностью точки называется множество

точек удовлетворяющих условию: или

Таким образом, окрестность образуют все точки х, удаленные от точки а на расстояние меньшее r.

Точка некоторого множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью.

Точка пространства называется внешней по отношению к некоторому множеству точек, если она с некоторой окрестностью не принадлежит этому множеству.

Точка пространства называется граничной, если в любой её окрестности имеются точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество, содержащее все граничные точки, называется замкнутым.

Например, отрезок является замкнутым множеством.

Множество (тело) называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя любыми точками Р и Q содержит все точки отрезка .

Примером выпуклого множества может служить отрезок. Из геометрии известны фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, эллипс. Множества точек, ограниченные эти фигурами, являются выпуклыми. В пространстве выпуклыми множествами являются: шар, эллипсоид, конус, цилиндр и другие.

Для выпуклых множеств, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пересечение выпуклых множеств (тел) есть выпуклое множество, если оно не пусто.

Доказательство. Пусть имеется не пустое пересечение выпуклых множеств. Возьмём две произвольные точки Р u Q, принадлежащие этому пересечению. По определению пересечения эти точки принадлежат каждому из множеств, а так как эти множества выпуклы, то вместе с точками Р и Q им принадлежат и все точки отрезка PQ. Следовательно, все точки отрезка PQ принадлежат и пересечению, что и доказывает его выпуклость.

Точка множество называется крайней, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего множеству.

Так у выпуклого многоугольника крайними точками являются его вершины. Их конечное число. В пространстве многогранником называется множество с конечным числом крайних точек. Следовательно. выпуклый многогранник является замкнутым выпуклым множеством.

Высказывание

Математическая логика является современной формой так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. В формальной логике и, соответственно, математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся, без практических исследований. Рассмотрим пример вывода:

Предпосылки: Если будет раздача премии, то мы выполним план.

Будет раздача премии.

Окончательные выводы: Мы выполним план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Обычно вместо предложений могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменённым только расположение слов «если» и «то» и расположение предложений, то есть структуру вывода. Структуру вывода можно выразить следующей схемой:

Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики. Важнейшими главами математической логики является калькуляция высказываний и калькуляция предикатов.

Определение 1.4.1. Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным.

Высказывание удовлетворяет условиям:

• а) оно не может быть одновременно и правильным и ложным (принцип непротиворечивости);
• б) исключено, чтобы оно было и неправильным и нсложным (принцип исключения третьей возможности).

Следовательно, каждое высказывание имеет значение 1 (истинно) или 0 (ложно).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями.

Определение 1.4.2. Под термином калькуляция высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний получается такое высказывание, правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложсностью членов.

Операции над высказываниями

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Простейшими примерами операций калькуляции высказываний является отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д.

Определение 1.5.1. Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Неправильно, что А» или некоторая грамматически преобразованая форма данного высказывания.

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самоё А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний.

Например: отрицание предложения «мотор работает» является предложение «мотор не работает».

Отрицание является (унарной) одночленной операцией. Отрицание А обозначается символом (читается «не А»). Таблица истинности для операции отрицания имеет вид: Таблица 1

Закон двойного отрицания: .

Здесь и в дальнейшем свойство высказываний «правильное» и «ложное» называется логическими значениями и обозначается 1 и О (п. и л.). Тогда операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значений вводятся логические переменные; они обозначаются символами .

Следовательно, логические переменные могут принимать два значения 1 или 0. При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операций обозначается скобками.

В общем случае, n-члснной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений 1 и 0 с длиной выражения n, а значением её является одно из двух логических значений 1 и 0.

Определение 1.5.2. Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В».

По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба её члена правильны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Таблица значений конъюнкции имеет вид:

Теорема 1.5.1. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

В области логических операций для контроля любого тождества составляется общая таблица операций, представленных по обеим сторонам знака =. Результат операций указывается в столбцах.

Пример:

.

Решение:

Доказательство данного равенства проведём в табл. 3:

Определение 7.5.3. Под дизъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А или В».

По значению союза «или» дизъюнкция является ложной, если оба её члена ложны, т.е. используя логические переменные можно записать:

.

Дизъюнкция выражается с помощью операции конъюнкции и отрицания б следующей форме:

Таблица значений дизъюнкции имеет следующий вид:

По аналогии с теоремой 3 можно сформулировать следующую теорему

Теорему 1.5.2. Каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания.

Например, операция конъюнкции выражается с помощью операций дизъюнкции и отрицания в виде: .

Определение 1.5.4. Операция, обозначаемая ,

называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим q).

Иначе её обозначение . Она выражается в следующем виде:

и читается: если р, то q из p следует q.

Таблица значений импликации имеет следующий вид: Таблица 5

И конъюнкция, и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания: ,

Поэтому любая логическая операция может быть выражена ( помощью операций импликации и отрицания.

Выражения вида: «если А, то В», «неправильно, что: А и не В» «В если только А», «только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В» соответственно обозначаются А В или А В.

Определение 1.5.5. Операция, обозначаемая,

называется эквивалентностью (читается р эквивалентно q). Выражениями данной операции являются следующие:

Так как высказывание тогда и только тогда, когда

p=q, то данная логическая операция соответствует образованию

сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Таблица значений эквивалентности имеет вид:

операция Шеффера — отрицание операции конъюнкции , обозначаемая (р штрих q).

1) операция взаимоисключающего или (р или же q): . Например, или ты вылечишься до завтрашнего дня, или мы тебя отвезём в больницу;

2) операция «ни-ни» (обозначается ) «ни А ни В»: .

Предикаты и кванторы

Мри анализе вывода следует отмстить, что применяемые высказывания могут быть приведены из так называемых открытых предложений или предикатов, примерами которых служат: . является неделимым числом; . является столицей; . купил . за . рублей.

Если в эти схемы предложений вставить названия соответственно подобранных предметов (вместо пунктира), то получатся замкнутые предложения, высказывания. Такие предикаты выражаются однозначно в некоторых случаях, если вместо пунктира записываются буквы: x, у,z, . .

Кроме заполнения оставленных свободных мест названиями имеется и другой способ образования высказываний из предикатов: квантификация. Например, из открытого предложения «если х представляет собой дифференцируемую функцию, то функция х-непрерывная функция», подставив перед предложением «Для каждого л», получим следующее: Для каждого х, если х представляет собой дифференцируемую функцию, то x представляет собой непрерывную функцию. Текст «Для каждого x» обозначается символом и называется универсальным квантором.

Существует ещё экзистенциальный квантор, который заменят текст «Имеется такое х» или «Существует такое х» и обозначается .

Для точного анализа вводятся следующие понятия:

Определение 1.6.1. n-мерным предикатом , определённым на непустом множестве H, называется такая функция, областью существования которой является множество упорядоченных n — членных знаков, образованных из элементов множества H, а значениями — логические значения.

Предикаты обозначаются символами и т.д.

Жирными буквами обозначаются предикаты, а строчными буквами- аргументы предиката как функции; количеством последних определяется размерность предиката.

Например. Пусть Н- множество натуральных чисел, тогда предикат неделимого числа Fx определяется следующим образом:

Множества, операции над ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента множеству обозначают следующим образом: Если не является элементом множества то пишут: Если — некоторые элементы, то запись означает, что множество состоит из элементов

Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: ). Множество называется подмножеством множества если все элементы множества являются одновременно и элементами множества (обозначение: («множество содержится в множестве ») или («множество содержит множество »). Например, так как всякое натуральное число является целым, то где — множество натуральных чисел, — множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться пустым множеством и обозначаться Это множество является подмножеством любого множества. Пусть — множество, а — какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда запись означает совокупность тех элементов множества которые обладают свойством Например, если и — два числа и то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде: — отрезок; — интервал;

и — полуинтервалы. Здесь — множество действительных (вещественных) чисел.

Множество всех чисел называется также числовой прямой или числовой осью, а любое число — точкой этой прямой.

Пересечением множеств и называется множество состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как так и т.е.

Объединением множеств и называется множество состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е. или

Разностью множеств и называется множество состоящее из тех элементов множества которые не принадлежат множеству т.е. и

Пусть — некоторое основное множество, тогда дополнением множества называется множество состоящее из всех элементов и не принадлежащих т. е.

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству образуют множество Следовательно,

Логические символы

Многие математические понятия удобно записывать, пользуясь логической символикой. Так, символ называемый квантором общности, используется вместо слов «для любого», «для всех», «для каждого», «какого бы ни было» и т. д., символ — квантор существования — вместо слов «существует», «найдется», «имеется» и т. д.

Часто используются также логические символы следствия и равносильности

Грани числовых множеств

Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число что для любого Число в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа и такие, что Эти неравенства показывают, что множество ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число такое, что

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется неограниченным.

Если число является верхней гранью множества то и любое число больше тоже является верхней гранью, и, если число -нижняя грань множества то всякое число, меньше будет нижней гранью

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозначается символом («супремум ) ( «инфимум

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество не ограничено сверху (снизу), то иногда используют обозначение

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

Множество вещественных чисел удовлетворяющих неравенству т.е. называется окрестностью точки

Множество вещественных чисел удовлетворяющих неравенству называется проколотой окрестностью точки (точка исключена из своей окрестности).

Геометрически окрестность точки есть интервал длиной серединой которого является точка числовой прямой.

Точка называется предельной точкой множества если в любой окрестности точки находятся точки из отличные от . Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству

Точка называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из отличных от

Точка называется внутренней, если существует некоторая окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал замкнутым множеством — отрезок

Точка называется граничной точкой множества если любая окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества. Например, если то все точки интервала являются внутренними точками множества а граница этого множества состоит из двух точек: и

Если множество представляет собой область (открытое множество), то множество полученное присоединением к всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

• Числовые множества
• Вектор — определение и основные понятия
• Прямая — понятие, виды и её свойства
• Плоскость — определение, виды и правила
• Степень с рациональным показателем
• Степень с действительным показателем
• Логарифм — формулы, свойства и примеры
• Корень из числа — нахождение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.