Функции системы уравнений 7 класс

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

Конспекты уроков алгебры в 7 классе по теме «Системы уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

В календарно-тематическом плане на 2015-2016 учебный год на изучение темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» отводится 12 часов, которые распределяются следующим образом:

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными 1ч

Графический метод решения систем линейных уравнений 1ч

Метод подстановки 3ч

Метод алгебраического сложения 3ч

Системы линейных уравнений как математические

модели реальных жизненных ситуаций 3ч

Контрольная работа 1ч

Основной учебной задачей при изучении данной темы является формирование понятия системы двух линейных уравнений с двумя переменными, решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными, несовместной и неопределенной системы, изучение методов решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными: графического, метода подстановки и метода алгебраического сложения, а также применение систем уравнений к решению текстовых задач.

Изучение систем двух линейных уравнений с двумя переменными в 7классе служит подготовительным этапом для изучения систем уравнений и методов их решения в курсе математики 9класса, а также в 10-11 классах. На этом этапе большое внимание уделяется усвоению основных понятий, связанных с системами уравнений ,изучению методов их решения, а также представление систем линейных уравнений как математических моделей реальных жизненных ситуаций. Важно показать учащимся, что применение систем уравнений при решении некоторых задач значительно упрощает ход решения задачи, тогда как введение одной переменной и составление одного уравнения может привести к запутанному, нерациональному решению, а зачастую и к неверному результату. Материал данной темы составляет важную часть школьного курса математики и находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики (в частности при решении задач на решение уравнений графическим методом, составление уравнений фигур, решении задач на движение, смеси, сплавы, растворы, банковские задачи), также и других смежных дисциплин, помогая тем самым реализовывать межпредметные связи. Например, в химии — это задачи на применение закона сохранения массы вещества, сплавы, растворы, смеси, в физике –это задачи на распределение тока в замкнутом электрическом круге , в экономике большое количество задач решается с помощью систем уравнений.

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Основные понятия.

1.ввести понятие системы двух линейных уравнений с двумя переменными и ее решении;

2.познакомить учащихся с графическим методом решения систем двух линейных уравнений

Коммуникативные: определять цели и функции участников, способы взаимодействия ,планировать общие способы работы.

Регулятивные: принимать познавательную цель ,сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Познавательные: извлекать необходимую информацию из прослушанного объяснения учителя высказываний одноклассников ,систематизировать собственные знания, читать и слушать ,извлекая нужную информацию ,находить ее в учебнике.

1.Является ли линейным заданное уравнение с двумя переменными:

2.а)является ли решением уравнения 3х+у=0 пара чисел (1;-3), (1/3;0), (-3; 9), (1,5; -1,5)?

б)укажите еще несколько решений данного уравнения.

в)сколько решений может иметь линейное уравнение с двумя переменными?

Постановка темы и целей урока

1.Работа с классом

Составьте математическую модель ситуации: сумма двух чисел равна 10, а их разность – 12.

Что представляет составленная вами модель?

Математическая модель состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными

Найдите числа, для которых выполняется это условие (11 и -1)

Что можно сказать про пару чисел 11 и -1? (она удовлетворяет одновременно обоим уравнениям)

Попробуйте дать общее название этим уравнениям, предварительно посмотрев следующие слайды (слайд 6-10)

Сформулируйте тему нашего урока и определите цели урока.

2.Работа с текстом учебника (слайды 11-12)

Учащиеся читают текст учебника на ст . 66-67 и находят ответы на вопросы :

-что такое система двух линейных уравнений и как ее правильно записать

-Что называют решением системы двух линейных уравнений

-Что значит решить систему двух линейных уравнений

3.Закрепление изученного материала

(1 и 2 задания учащиеся выполняют устно, комментируя свои действия , 3-с записью решения по образцу) (слайд 13)

1.Проверьте, является ли пара чисел х=10,у=15 решением системы х+у=25

2.Какая из пар чисел: (1;2), (-2;-5),(4;3), (0;1) является решением системы уравнений

3.№11.8(а) – 1 вариант, 11.8(б) – 2 вариант, двое учащихся работают у доски (оборотная сторона), проверка.

4.Вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Полученную систему уравнений мы можем решить подбором, угадав числа. А вот, например, решение системы

5х+2у=26 угадать сложно. Можно решить систему уравнений графическим методом.

Что представляет собой каждое уравнение системы? (линейное уравнение с двумя переменными)

Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными? (прямая)

Как вы думаете, что будет являться решением системы? (координаты точки пересечения графиков уравнений)

Выполнение задания: №11.10(а), 11.11(а).

1.Что нового узнали на уроке?

2.оцените по пятибалльной шкале уровень усвоения графического метода решения систем уравнений (поставьте балл на полях тетради), что вызывает у вас затруднения?

Домашнее задание: п.11, №11.7, №11.10(б), 11.11(в) (слайд 14)

Дополнительное задание №11.20(а)

Графический способ решения систем уравнений

1.продолжить работу над усвоением понятия системы двух линейных уравнений с двумя переменными, ее решении;

2. выработать алгоритм решения систем уравнений графическим методом;

3. показать связь коэффициентов уравнений системы с количеством ее решений. отработать навыки решения систем уравнений графическим методом;

3. ввести понятие несовместной и неопределенной системы двух линейных уравнений;

4.установить зависимость между коэффициентами системы и количеством ее решений

Коммуникативные: представлять конкретное содержание и сообщать его в письменной и устной форме, развивать способность с помощью вопросов добывать нужную информацию.

Регулятивные: ставить учебную задачу на основе того, что уже известно и усвоено ,и того, что еще неизвестно ,самостоятельно формулировать познавательную цель и строить план действия в соответствии с ней.

Познавательные: выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных

1.Проверка домашнего задания (учитель сканирует работу одного из учащихся, через проектор выводит ее на экран, учащиеся производят проверку). Одновременно учитель проводит опрос по теоретическому материалу:

-что такое система уравнений?

Что называется решением системы уравнений?

Что значит решить систему уравнений?

-какие способы решения систем уравнений вы знаете?

2. Формулировка темы урока и постановка целей.

-Ребята, многие из вас оценили свой уровень усвоения решения систем уравнений графическим методом на 5 на прошлом уроке?

-Как вы думаете, чем мы будем сегодня заниматься? Формулируем тему урока и цели урока.

-При решении систем уравнений графическим методом мы работаем по определенному плану (алгоритму). Давайте попробуем этот алгоритм составить. (слайд 4)

2.Работа в группах :

1. Класс перед началом урока разбит на 3 группы.

(учащиеся работают самостоятельно в тетрадях, но при записи ответа у них могут возникнуть вопросы, тогда учитель предлагает поработать с текстом учебника ст.69-70 ).

2.После выполнения заданий и записи ответа учащиеся обобщают полученные сведения.(слайд 5)

3.В начале урока мы составили алгоритм решения системы уравнений графическим методом. Как следует его дополнить? (слайд 6)

4.Дополнительный вопрос: Можем определить, сколько система уравнений имеет решений, не выполняя построения графиков?

5.Определите, сколько решений имеет система уравнений, не выполняя построения графиков(слайд 8)

У=х у=5х+7 у-х+6=0 2х+у=1

У=3х-1 у=5х-1 у=х-6 2х+у=3

Проверочная работа (на карточках)(слайд9)

1.Решите графически систему уравнений

2.Сколько решений имеет система уравнений х-у=1

1.Решите графически систему уравнений х+2у=6

2.Сколько решений имеет система уравнений 3х+2у=1

Домашнее задание п.11, 11.10(в),11.12(г), 11.13(б), дополнительно №11.21 (слайд10)

1.рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений

2.составить алгоритм решения систем двух линейных уравнений способом подстановки и учить решать системы уравнений способом подстановки, проговаривая этапы решения

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения. С достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Регулятивные: принимать познавательную цель ,сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Познавательные: выбирать, сопоставлять и обосновывать способы решения задачи

1.Изучение нового материала

Учащимся предлагается выполнить задание:

Решите систему уравнений:

Учащиеся замечают, что построить графики будет очень проблематично. Значит, графический метод не только неточен, но и не для всех систем уравнений подходит.

Рассмотрим систему у=5х

У=-2х+7 (№11.10(в)домашнее задание). Решение этой системы учащиеся знают. Учитель предлагает выполнить следующие задания:

1.Подставим во второе уравнение вместо у выражение 5х

2.Решите получившееся уравнение 5х=-2х+7 ,откуда х=1

3.подставим в уравнение у=5х значение х=1,найдем у=5.

Сравните найденное решение с полученным ранее результатом (решения одинаковы).

Учитель сообщает, что мы при решении системы был применен метод подстановки, предлагает ученикам записать тему урока и поставить цель урока.

Вернемся к системе уравнений у=23х+50

У=-14х+217, решим ее.

Решим таким же способом еще одну систему уравнений: у=2х-7

Один из учащихся выходит к доске и выполняет задание, проговаривая этапы решения системы, остальные записывают в тетрадях.

Решим следующую систему у=1-7х

Многие из учеников попробуют выразить во втором уравнении у через х и уравнять правые части, здесь следует показать, что надо именно подставить вместо у выражение 1-7х во второе уравнение . Также следует при решении системы х=у+2

обратить внимание учащихся, что выражать и подставлять можно не только переменную у, но и переменную х.

Выполняем задания на доске и в тетради.

Физкультминутка (проводят двое заранее подготовленных учащихся ) Приложение №1

Ребята, решая системы уравнений, мы действовали по определенному плану (алгоритму), давайте еще раз проговорим этапы решения системы уравнений методом подстановки. (Учащиеся открывают учебник ст.72 и проговаривают алгоритм ).

Для проверки усвоения №12.3(а,б), для дополнительного решения наиболее подготовленным учащимся предлагается следующая система уравнений 5х+у-15=0

Двое учащихся выполняют задание у доски, остальные работают в тетрадях. После решения систем проверяем решение, исправляем ошибки.

Подведение итогов урока:

-как называется новый способ решения систем двух уравнений?

-по какому плану (алгоритму) мы осуществляем решение?

Можно оценить работу учеников ,выполнявших задание у доски;

У наиболее активно работающих учеников собрать тетради с домашней работой и после выставить им отметки.

Домашнее задание П.12, выучить алгоритм ,№12.1(а ), №12.2(в,г), №12.5(а,б).

Решение систем уравнений методом подстановки

отработать навыки решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными;

Проверить уровень усвоения материала.

Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения , проявлять готовность оказывать помощь и поддержку одноклассникам

Регулятивные: сравнивать способ и результат своих действий с заданным эталоном ,обнаруживать расхождения.

Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задачи в зависимости от конкретных условий

1 актуализация знаний (слайд 4)

1.Является ли решением системы уравнений у=2х-7

У=5-х пара чисел (4;1)?

2.Выразите одну переменную через другую:

х+у=4, х-у-15=0, 3х+3у=6

3.По какому плану (алгоритму слайд 5)будем решать следующие системы уравнений :

1. у=-8х-15 2. у=6х 3. 5х-3у=14

У=5х+24 4х+у=150 2х+у=10 ?

4.Как вы думаете, какова цель нашего урока?

1. Рассмотреть решение системы №3 на доске (У доски ученик решает задание, проговаривая этапы решения)

2.Работа в парах

Дети выполняют задания №12.8(б,в), 12.9(а,б), 12.10(а,б) по вариантам.

1вариант : №12.8(б), 12.9(а), 2 вариант : №12.8(в), 12.9(б) В парах выполняют взаимопроверку, исправляют ошибки. После того, как задания друг у друга проверят ,произвести сверку решений с образцом (слайд 6)

Учащиеся, быстро справившиеся с заданием, дополнительно решают № 12.14(а),12.18(а,б)

Самостоятельная работа по вариантам: (слайд7)

1.Решите систему уравнений методом подстановки:

1.Решите систему уравнений методом подстановки:

Домашнее задание: № 12.8-12.9(г),№12.10(в), №12.11(б)(слайд8)

Закрепление навыков решения систем уравнений методом подстановки

отработать навыки решения систем уравнений методом подстановки;

Коммуникативные: продуктивно общаться и взаимодействовать с коллегами по совместной деятельности ,осуществлять совместное целеполагание и планирование общих способов работы.

Регулятивные: планировать (в сотрудничестве с учителем и одноклассниками или самостоятельно) необходимые действия ,операции ,действовать по плану.

Познавательные: использовать приобретенные навыки , знания и умения, осуществлять отбор существенной информации из материалов учебника, рассказа учителя по воспроизведению в памяти.

Перед уроком учитель на основании анализа самостоятельной работы(работа проверена, но оценки учитель не выставляет) разбивает учеников на 3 группы:

1.Все задания были выполнены правильно

2.В целом материал усвоен, но есть некоторые недочеты в решении

3.работа показала, что ученик не понимает метод решения

1.Работа над ошибками в самостоятельной работе: на экран проецируются правильно выполненные задания из самостоятельной работы, проведенной в конце прошлого урока (слайд4),учащиеся находят ошибки и исправляют их. Выставляют оценку, согласно критериям:

«5» — правильно решены обе системы;

«4» — ход решения правильный, но в одной из систем допущена вычислительная ошибка;

«3» — правильно решена только одна система;

«2» — нет ни одного верно решенного задания

2. Предлагаю работать сегодня таким образом:

1группа и 2 группа снова получают карточки с проверочной работой, но уже другого варианта и выполняют задания только те, в которых допустили ошибки. При затруднениях они обращаются к товарищу по группе (можно не к одному) и пытаются решить проблему. Вся работа происходит под контролем учителя. Как только ученики справляются с поставленной задачей, им предлагается решить похожее задание на проверку усвоения, а после они могут присоединиться к 3 группе.

Задания: №12.4(а,б), №12.9(в), а также еще системы(записаны на доске)(слайд5)

У=-8х 2. 2х-у=3 3. х+2у=3 4. -х-4у=-5

2х+0,5у=1 6х+2у=4 х+4у=5 2х+7у=8

3 группе предлагаются задания №12.15(а), 12.19(а), №12.20(а), №12.28(а), №12.29(а). Учащиеся сначала пробуют решить задания самостоятельно, потом обращаются друг к другу за помощью, и если не смогли справиться с задачей коллективно, то обращаются к учителю.

1.Чем сегодня на уроке мы занимались?

2.Как вы оцените (в баллах) свои знания по решению систем уравнений методом подстановки: (шкала проецируется на экран)слайд7

Все равно я ничего не понимаю

В целом мне все понятно, лишь иногда возникают затруднения

я все делаю правильно, но допускаю вычислительные ошибки

я хорошо усвоил материал

я все понял и могу решать сложные задания

Дети в тетрадях ставят количество баллов и сдают тетради на проверку.

Домашнее задание №12.4(г), №12.11(г),12.21(а)слайд8

Метод алгебраического сложения

рассмотреть еще один способ решения систем уравнений и выработать алгоритм решения на примере несложных систем уравнений

Коммуникативные: задавать вопросы с целью получения необходимой информации ,обмениваться мнениями ,понимать позицию одноклассников ,в том числе и отличную от своей

Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий , составлять план и последовательность действий.

Познавательные: выделять и формулировать познавательную цель ,анализировать условия и требования задачи ,самостоятельно создавать алгоритмы деятельности

1. Актуализация знаний

1.На слайде 4 пары уравнений(слайд4)

а) х+у=17 б) х-6у=8 в) 3х+2у=4 г) х+2у=3

2х-у=2 -5х+8у=3 -3х-7у=1 3х+у=11

1.Выполните сложение уравнений;

2. В каких случаях в результате сложения получились уравнения с одной переменной ,а в каких – с двумя?

3.Объясните, почему в случаях а) и в) получились уравнения с одной переменной

2. на следующем слайде записаны еще 4 пары уравнений:(слайд5)

а) х-у=5 б) 3х+5у=11 в) 2х+у=16 г) 5х-3у=4

6х-у=9 7х-5у=4 2х+3у=18 5х+2у=-6

1.Выполните вычитание уравнений;

2.В каких случаях в результате вычитания получились уравнения с одной переменной

, а в каких – с двумя?

3.Объясните, почему в случаях а) , в) и г) получились уравнения с одной переменной?

4.В каких случаях пары уравнений надо складывать, а в каких – вычитать, чтобы в результате получилось уравнение с одной переменной?

2.Постановка темы урока и целей

1.Решить систему уравнений 3х+5у=11(слайд6)

— удобно ли решать эту систему графическим методом?

— а как мы можем по-другому получить уравнение с одной переменной? (сложить уравнения)

Учащиеся складывают уравнения и находят переменную х.

— а как теперь можно найти переменную у? (в одно из уравнений подставить найденное значение вместо х и решить его)

Учащиеся выполняют указанные действия, записывают ответ.

Ребята, как вы назовете новый метод решения систем уравнений? (метод сложения) Что сегодня мы будем учиться делать? (решать системы новым способом).

Записываем тему урока и приступаем к выполнению упражнений.

№ 13.1(а), 13.3(а), 13.4(а). Задания 13.1-13.3 разбираем у доски, а №13.4 учащиеся выполняют в тетрадях (двое учеников — за доской) ,после проверка и исправление ошибок.

— как называется новый метод решения систем уравнений?

-каков алгоритм решения систем уравнений методом сложения?(составляют алгоритм решения систем уравнений методом алгебраического сложения)слайд8

Домашнее задание №13.2 (в,г), 13.4(в,г), п.13 слайд9

Решение систем уравнений методом сложения.

Цель урока : освоить метод алгебраического сложения

Коммуникативные: задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других,уметь отстаивать свою точку зрения,

Регулятивные: систематизировать собственные знания, оценивать достигнутый результат, использовать различные ресурсы для достижения цели.

Познавательные: приобретать умение мотивированно организовывать свою деятельность ,выбирать успешные стратегии в трудных ситуациях

1. Как можно преобразовать заданные уравнения:

-х-у=-1, 2х+2у=4, 0,5х=14 ,х/4+у/8=0, =

2.Какие действия (сложение или вычитание)надо выполнить с уравнениями в парах, чтобы в результате получилось уравнение с одной переменной:

1. 2х+11у=15 2. 4х-7у=30 3. 9х-7у=19 4. х-6у=8 5. 2х+9у=25

10х-11у=9 4х-5у=90 -9х-4у=25 -5х+8у=4 5х+6у=-20

Учащиеся замечают ,что в двух последних системах ни одно из действий не приведет к уравнению с одной переменной. А как вы думаете ,как можно преобразовать одно из уравнений в системе №4 ,чтобы избавиться от одной из переменных? (умножить обе части первого уравнения на 5 ,а потом уравнения сложить). Один из учащихся выполняет задание у доски ,остальные — в тетради. А как же следует поступить с системой №5? Учащиеся предлагают варианты и вместе с учителем находят решение. Систему №5 также разбираем у доски. Вместе с тем учитель замечает, что алгоритм решения системы изменился ,добавился еще один пункт.(слайд 6)

3.Выполнение упражнений №13.5(а,б), 13.7(а,б), 13.8(а,б). Учащиеся решают системы №13.5 и 13.7 самостоятельно (на оборотной стороне доски и в тетрадях) ,а вот №13.8(а) один из учеников решает у доски ,проговаривая этапы решения, а №13.8(б) – самостоятельно ,с последующей проверкой.

Во время выполнения упражнений физкультминутка слайд 8

— ребята, что сегодня вы учились делать?

-по какому алгоритму решаются системы уравнений методом сложения?

— все ли усвоили новый метод?

— какой способ: подстановки или сложения вам более понятен?

5.Домашнее задание: №13.4(в), 13.5(в), 13.7(в), №13.8(в),п.13 слайд7

Метод алгебраического сложения

отработать и закрепить навыки решения систем уравнений методом алгебраического сложения;

Коммуникативные: представлять конкретное содержание и сообщать его в письменной форме ,задавать вопросы с целью получения нужной информации,

Регулятивные: определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата, осознавать качество и уровень усвоения.

Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задачи в зависимости от конкретных условий.

Каждый учащийся в начале урока получает, карточки с заданием №1 и №2 и бланки ответов (приложение №4).

1.Работа с карточкой №1

Учащиеся получают карточки с заданием №1: найти ошибку в решении систем уравнений.

Открытый урок по математике на тему: «Решение систем уравнений». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Тип урока: обобщающий урок.

Вид урока: урок закрепления умений и навыков.

Оборудование: мультимедийная установка, плакаты: Периодическая система элементов Д. И. Менделеева, система кровообращения человека, солнечная система, физическая система СИ, соединительные союзы русского языка.

Цели урока:

1. Содействовать обобщению и систематизации знаний учащихся по теме “Решение систем уравнений”; продолжить закрепление следующих умений: решение систем уравнений графическим способом, способом подстановки, способом сложения (вычитания).
2. Развитие познавательного интереса, совершенствовать навыки решения систем уравнений;
3. Связать математику с другими предметами.
4. Обобщить знания основного программного материала.

Задачи урока.

• Воспитательная – формирование нравственных убеждений.
• Развивающая – развитие внимания и логического мышления, памяти.
• Учебная – обобщить и повторить знания по применению в реальной жизни темы данного урока.

Эпиграф к уроку записан на доске “Где есть желание, найдется путь”.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы должны обобщить весь материал § 15 “Решение систем уравнений”, совершенствовать навыки решения систем уравнений т. е.

1) способ подстановки;

2) способ сложения (вычитания);

3) графическим способом. Один из великих философов сказал: “ ГДЕ ЕСТЬ ЖЕЛАНИЕ, НАЙДЕТСЯ ПУТЬ!”. Мы сегодня на уроке с большим желанием будем решать системы, определяя свой рациональный путь.

II. Проверка домашнего задания.

Проверяются решения домашних задач.

III. Фронтальная работа с классом:

1. Теоретический опрос: один из учащихся читает контрольный вопрос, располагающийся в учебнике на стр. 184.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными;

2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

3. Что является графиком уравнения ax+by=c, где х, y переменные, а = 0, b = 0.

4. Если говорят, что задана система уравнений, что это значит?

5. Что является решением системы линейного уравнения с двумя переменными?

6. Что, значит, решить систему линейного уравнения с двумя переменными?

7. Сколько решений может иметь система линейного уравнения с двумя переменными?

Каждый вопрос сопровождается мультимедийным ответом. Приложение № 1. Слайд № 1, № 2.

Учитель рассказывает о системах окружающих нас в повседневной жизни. Ученики вспоминают о предметах, где они встречали системы. Это предметы: русский язык (соединительные союзы), биология (система кровообращения человека), физика (система СИ), химия (периодическая система элементов), астрономия (солнечная система).

Теоретический материал закрепляется тестом, сопровождаемый взаимопроверкой. Приложение № 1. Слайд № 3.

ТЕСТ.

1. Какие из перечисленных уравнений являются линейными?
2. Какая пара чисел является решением уравнения 3х-2у=5?
3. Какая пара чисел является решением системы:
4. Какая из перечисленных систем имеет одно решение?
5. Какая из перечисленных систем имеет бесконечно много решений?
6. Какая из перечисленных систем не имеет решения?

Взаимопроверка теста учениками. Каждый вопрос теста выводится на большой мультимедийный экран, решение комментируется.

Учитель сообщает, что система, не имеющая решений, называется несовместной. 7. В заданиях теста найдите несовместную систему?

IV. Закрепление изученного материала. Слайд № 4 — № 8. 1) Данную систему решаем

Графическим способом.

Построить в координатной плоскости графики уравнений системы.

Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Способом подстановки.

Выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

Решают получившиеся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной.

Способом сложения.

Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

Решают получившееся уравнение с одной переменной. 11х = -22, х = — 2\

Находят соответствующее значение второй переменной.

Записываем ответ. (-2; 3)

У доски прорешиваются задания графическим способом, где есть несовместная система.

Способом подстановки решается задача № 1174.

Способом сложения решается задача № 1180.

1. Решите систему способом подстановки:

у = 5-х, 3х – у = 11.

2. Решите систему способом сложения:

3х – 2у = 4, 5х + 2у = 12.

2х + 3у = 10, – 2х + 5у = 6.

3. Решите задачу.

Периметр прямоугольника равен 26см. Периметр прямоугольника равен 16см.

Его длина на 3 см больше ширины. Его ширина на 4 см меньше длины.

Найдите стороны прямоугольника. Найдите стороны прямоугольника

1. Решите систему способом подстановки:

3х + у = 7, 9х – 4у = -7.

х – 3у = 6, 2у – 5х = -4.

2. Решите систему способом сложения:

х – 4у = 9, 3х + 2у = 13.

2х + у = 6, – 4х + 3у = 8.

3. Решите задачу.

Туристическую группу из 42 человек Расселили в двух- и трехместные номера. .

Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных и сколько трехместных?

За покупку канцтоваров на сумму 65 коп. Таня расплатилась пяти- и десятикопееч ными монетами. Всего она отдала 9 монет.

Сколько среди них было пятикопеечных и сколько десятикопеечных?

Ответы каждого задания располагаются на карточках определённого цвета, которые нужно сложить на край парты в порядке выполнения задания. Среди предоставленных карточках есть лишние.

Результатом самостоятельной работы является триколлор флагов РТ и РФ. Учитель комментирует результаты самостоятельной работы.

белый цвет – благородство,

синий цвет – верность,

красный цвет – мужество, любовь.

зелённый цвет обновление,

белый цвет — надежда,

красный цвет — символ борьбы за свободу.

V. Подведение итогов урока.

Учащимся выставляются оценки, комментируется домашняя работа.