Функции заданные неявно функции заданные параметрическими уравнениями

Производные различных порядков от неявных функций

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Найти вторую производную параметрической функции

1. Найдем первую производную по формуле: \[y’_ =\frac >> \] \[y’_=\left(t^ <3>\right)^ <<'>> =6t x’_=\left(\ln t\right)^ <<'>> =\frac<1>\] \[y’_ =\frac<6t><\frac<1>> =6t^ <2>\]
2. Найдем вторую производную \[y»_ =\left(6t^ <2>\right)^ <<'>> =12t\]

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
2. Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
3. В правой части уравнения должно получится значение 0.

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

Заменим производную dy/dx ее выражением:

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac y> > $ и т. д.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти вторую производную неявно заданной функции

1. Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем: \[\left(2x^ <3>-xy^ <2>-4\right)^ <<'>> =0\] \[\left(2x^ <3>\right)^ <<'>> -\left(xy^ <2>\right)^ <<'>> -\left(4\right)^ <<'>> =0\] \[6x^ <2>-\left(x’y^ <2>+x\left(y^ <2>\right)^ <<'>> \right)=0\] \[6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’=0\]
2. Выразим y` \[y’=\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>\]
3. Повторно дифференцируем равенство \[\left(6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’\right)^ <<'>> =12x-2y-2\left(xy\right)^ <<'>> y’-2xyy’\] \[12x-2y-2\left(xy\right)^ <<'>> y-2xyy’=12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»\] \[12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»=12x-2y-2y’-2xy’-2xyy»\]
4. Выполним замену y` \[12x-2y-2\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2x\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2xyy»=0\]
5. Упростим \[\frac <12x^<2>y-2xy^ <2>>-\frac <6x^<2>-y^ <2>>-\frac <6x^<3>-y^ <2>>-2xyy»=0\] \[\frac <12x^<2>y-2xy^ <2>-6x^ <2>+2y^ <2>-6x^ <3>>-2xyy»=0\]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

• Различать неявно и параметрически указанные функции 1. Дифференциация неявных функций Если функция задана уравнением y = / (π), решенным для 2 /, функция задана в явном виде (явная функция). Неявное определение функции означает определение функции в форме F (x; y) = 0. Это не решено в отношении y. Явно определенная функция y = f (x) неявно задается выражением f (x) -y = 0, но не наоборот.

• Решение уравнения y не всегда легко, а иногда и невозможно (например, y -f 2x + cozy-1 = 0 или 2U-x + y = 0). Если неявная функция задается уравнением F (x \ y) = 0, нет необходимости решать уравнение для y.

Чтобы найти производную y по x: x рассматривается как функция от x и x y ‘. Людмила Фирмаль

Производная неявной функции представлена ​​аргументом x и функцией y. Пример: Найти производную функции y, заданной выражением xg + yy-3hu = 0. (1) ♦ Функция u указана неявно. Чтобы различить, х есть уравнение (1). 3×2 + 3 • y’2 • y ‘-3 (1 • y + x • y’) = 0 2 y’2y ‘-xy’ = y-x2, т.е. y ‘= x-t у-х

Примеры решения, формулы и задачи

• Дифференциация определенных функций параметрический Дает зависимость между аргументом x и функцией y параметрически в виде двух уравнений. х = х (т), у = у (т), Где t вспомогательная переменная, называемая параметром. Предполагая, что функция (2) имеет производную, а функция x = x (t) имеет обратную t = y (x), найдите производную y’x.

По правилам Обратное дифференцирование функций = (H) Функция y = f (x) 1, определенная параметрическим уравнением (2), может рассматриваться как комплексная функция y = y (t). Где t =
. ♦ х \ -312, у [= 21. Так что y’x = -J, то есть = ♦ Теперь вы можете подтвердить это, найдя зависимость y от x напрямую. На самом деле, t = Yx. Тогда у = Так здорово =

Пример: пусть разместить 2 3 Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института