Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005
Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005.
В пособии изложены чисто функциональные, обыкновенные дифференциальные, интегральные уравнения, а также дифференциальные уравнения в частных производных и классические методы их решения. На основании функциональных уравнений даны определения основных элементарных функций. Приведено множество примеров различных функциональных уравнений, среди них уравнения, которые предлагались на математических олимпиадах школьников и студентов.
Для студентов математических, физико-математических и технических факультетов ВУЗов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Информатика», «Физика», а также учителей математики, информатики и физики, учащихся старших классов гимназий, лицеев и средних общеобразовательных школ с углубленным изучением математики.
Функции многих переменных.
1. Пространство Rn. До сих пор мы изучали функции одной независимой переменной. На практике часто возникают случаи, когда какая-нибудь величина зависит от двух или большего числа независимых переменных. Например, площадь S прямоугольника является функцией двух независимо друг от друга изменяющихся переменных — длин сторон прямоугольника а и b. Эта функция задается равенством : S = a b.
Объем V прямоугольного параллелепипеда есть функция трех независимо друг от друга изменяющихся величин — длин ребер параллелепипеда a,b,c: V = abс.
Работа А постоянного электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока I и времени t. Эта функциональная зависимость задается формулой: А = IUt.
Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных рассмотрим множества, на которых эти функции задаются.
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Вспомогательные сведения из курса математического анализа
§1. Действительные числа
1. Рациональные числа
2. Иррациональные числа
3. Ограниченные подмножества множества действительных чисел
4. Приближение действительных чисел рациональными
§2. Числовые функции
§3. Последовательности. Предел последовательности
§4. Предел функции
§5. Непрерывность функции
§6. Обратная функция. Существование и непрерывность обратной
функции
§7. Производная, дифференцируемость, дифференциал функции
§8. Неопределенный интеграл
§9. Определенный интеграл
§10. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
2. Несобственные интегралы второго рода
3. Главное значение несобственного интеграла
§11. Ряды
1. Числовые ряды
2. Функциональные последовательности и ряды
3. Степенные ряды
4. Тригонометрические ряды
5. Ортогональные системы функций
§12. Кривые в пространстве. Длина кривой
§13. Функции многих переменных
1. Пространство Rn
2. Последовательности точек Rn
3. Функции многих переменных
§14. Предел и непрерывность функций многих переменных
1. Предел функций многих переменных
2. Непрерывность функций многих переменных
§15. Частная производная, дифференцируемость и дифференциал
функций многих переменных
1. Частная производная
2. Дифференцируемость функции
3. Производная по направлению. Градиент
4. Частные производные высших порядков
5. Дифференциалы высших порядков
6. Замена переменных
§16. Локальный экстремум функции многих переменных
§17. Неявные функции. Зависимость функций
1. Неявные функции
2. Зависимость функций
§18. Двойные интегралы
1. Понятие квадрируемости плоской фигуры и ее площади (меры)
2. Двойной интеграл
3. Условия существования двойного интеграла
4. Свойства двойного интеграла
5. Вычисление двойного интеграла
6. Замена переменных в двойном интеграле
§19. Тройные и n — кратные интегралы
1. Понятие кубируемости тела и его объема
2. Тройной интеграл
3. n — кратные интегралы
4. Несобственные кратные интегралы
§20. Криволинейные интегралы
1. Криволинейные интегралы первого рода
2. Криволинейные интегралы второго рода
3. Формула Грина. Условия потенциальности векторного поля
§21. Поверхностные интегралы
1. Поверхности. Площадь поверхности. Ориентация поверхности
2. Поверхностный интеграл первого рода
3. Поверхностные интегралы второго рода
4. Интегральные теоремы Остроградского — Гаусса и Стокса. Условия потенциальности векторного поля в пространстве
§22. Интегралы, зависящие от параметра. Эйлеровы интегралы
1. Равномерное стремление функции к предельной функции
2. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра
3. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра
4. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра
5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
6. Примеры вычисления несобственных интегралов
7. Эйлеровы интегралы
§23. Комплексные числа и функции
1. Комплексные числа
2. Последовательности и ряды комплексных чисел
3. Комплексные функции комплексной переменной
4. Аналитические и гармонические функции
5. Элементарные функции. Формулы Эйлера
6. Теорема единственности аналитической функции. Аналитическое продолжение.
Глава 2. Функциональные уравнения
§1. Функциональное уравнение, определяющее показательную
функцию
§2. Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую
функцию
§3. Функциональное уравнение, определяющее степенную функцию
§4. Функциональное уравнение, определяющее линейную функцию
§5. Функциональные уравнения, определяющие тригонометрические
функции синус и косинус
§6. Задачи на решение функциональных уравнений
Задачи для самостоятельной работы
Глава 3. Дифференциальные уравнения
§1. Основные понятия дифференциальных уравнений
§2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде
1. Дифференциальные уравнения вида у = f(x)
2. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные дифференциальные уравнения
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати
6. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
§3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n — го порядка
§4. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения
1. Задача Коши
2. Уравнения Лагранжа и Клеро
3. Особые решения
§5. Зависимость решения от начальных условий, правой части и параметров
§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных
§8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов
§9. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя. Гипергеометрическое уравнение
1. Теорема существования и единственности решения
2. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя
3. Модифицированные функции Бесселя
4. гипергеометрическое уравнение. Функции Гаусса
§10. Качественные свойства решений линейных уравнений второго порядка
§11 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Основные определения и понятия. Формула Грина
2. Единственность и существование решения краевой задачи. Функция Грина
3. Примеры
§12. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка
1. Однородная система линейных дифференциальных уравнений
2. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных
3. Линейная однородная система с постоянными коэффициентами
§13. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
§14. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка
§15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их
фазовые пространства
1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка
2. Свойства решений автономных систем
3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы
4. Функция последования
5. Ламповый генератор
§16. Задачи на применение дифференциальных уравнений первого порядка
§17. Применение линейных дифференциальных уравнений второго
порядка к изучению колебательных процессов
1. Математические модели колебательных систем
2. Свободные колебания
3. Вынужденные колебания. Явление резонанса
Задачи для самостоятельной работы
Глава 4. Интегральные уравнения
§1. Основные понятия. Примеры
§2. Интегральное уравнение Абеля
§3. Решение интегральных уравнений с помощью рядов
1. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
2. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода
3. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
§4. Связь уравнений Вольтерра с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями
§5. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
§6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма
1. Интегральные уравнения для резольвенты
2. Аналитическое продолжение резольвенты
3. Интегральное уравнение Фредгольма при любом. Характеристическое число и собственная функция ядра
4. Союзное интегральное уравнение
5. Интегральное уравнение Фредгольма в случае характеристического числа
6. Обобщение полученных результатов
§7. Симметрические интегральные уравнения
1. Основные свойства симметрических интегральных уравнений
2. Теорема Гильберта — Шмидта
3. Решение симметрических интегральных уравнений
§8. Краевые задачи на собственные значения (задача Штурма — Лиувилля)
§9. Сингулярные интегральные уравнения
1. Сингулярные интегралы
2. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши
3. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта
Задачи для самостоятельной работы
Глава 5 Дифференциальные уравнения в частных производных
§1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия
§2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных
2. Задача Коши
3. Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных
§3. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач
§4. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач
§5. Задачи, приводящиеся к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач
§6. Понятие о корректно поставленной краевой задаче для
дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач
§7. Задача Коши. Теорема Коши — Ковалевской
§8. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
§9. Приведение к каноническому виду дифференциального
уравнения второго порядка от двух независимых переменных. Понятие характеристики
§10. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны
1. Постановка задачи. Единственность решения
2. Существование решения
§11. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера
1. Постановка задачи Коши для уравнения струны
2. Построение общего решения уравнения струны
3. Построение решения задачи Коши
4. Физическая интерпретация решения задачи Коши
§12. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина
§13. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле
§14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона
1. Решение задачи Дирихле а круге
2. Формула Пуассона
§15. Свойства гармонических функций
§16. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Лапласа
V Единственность решения
2. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана
§17. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа
§18. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами потенциала и интегральных уравнений
1. Потенциалы объема, простого и двойного слоев
2. Поверхности Ляпунова
3. Свойства потенциала двойного слоя
4. Свойства потенциала простого слоя
5. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям
§19. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности
V Постановка задачи. Принцип экстремума. Единственность и устойчивость решения
2. Решение задачи методом разделения переменных
§20. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши)
Задачи для самостоятельной работы
Библиографический список
Список некоторых обозначений.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
«Е.М. ВАРФОЛОМЕЕВ, Л.Е. РОССОВСКИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ И ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Учебное пособие Москва . »
ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
И ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ
НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Учебное пособие Москва 2008 Рецензент:
Доктор физико-математических наук, профессор В.В. Власов Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов «Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды, позволяющих эффективно реализовывать государственные интересы РФ через систему экспорта образовательных услуг»
Варфоломеев Е.М., Россовский Л.Е.
Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения к исследованию нейронных сетей и передаче информации нелинейными лазерными системами с обратной связью. – М., 2008. – 243 с.
В учебном пособии изучаются квазилинейные и линейные параболические и эллиптические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие преобразования пространственных переменных неизвестной функции в ограниченной пространственной области. Излагаются актуальные вопросы, возникающие в приложениях. Курс носит теоретический характер и рекомендуется для магистров физико-математических факультетов вузов и университетов, обучающихся по направлению «Математика».
Учебное пособие выполнено в рамках инновационной образовательной программы Российского университета дружбы народов, направление «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях», и входит в состав учебнометодического комплекса, включающего описание курса, программу и электронный учебник.
© Варфоломеев Е.М., Россовский Л.Е., Оглавление Введение. Раздел I. Нормальные эллиптические функциональнодифференциальные операторы. Тема 1. Дополнительные главы спектральной теории некоторых классов операторов. 1.1. Банаховы алгебры. 1.2. Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве. 1.3. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве 1.4. Операторы с компактной резольвентой в банаховом пространстве. Тема 2. Нормальность линейных эллиптических функциональнодифференциальных операторов. 2.1. Постановка задачи. 2.2. Необходимые и достаточные условия нормальности. 2.3. Комментарии. 2.4. Вспомогательные утверждения. 2.5. Доказательство теоремы 2.1. 2.6. Доказательство теоремы 2.2. 2.7. Доказательство теоремы 2.3. Тема 3. Смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений. 3.1. Постановка задачи. 3.2. Спектральные свойства эллиптического функциональнодифференциального оператора. 3.3. Формальное решение методом Фурье. 3.4. Существование обобщенных решений. 3.5. Единственность обобщенных решений. Упражнения. Раздел II. Бифуркация Андронова—Хопфа. Тема 4. Методы исследования бифуркации Андронова—Хопфа 4.1. Бифуркация Андронова—Хопфа для обыкновенных 4.2. Современные методы исследования бифуркации Андронова—Хопфа для функционально-дифференциальных Тема 5. Бифуркация Андронова—Хопфа для нелинейных параболических функционально-дифференциальных 5.3. Спектральные свойства линеаризованного оператора. 5.4. Бифуркация периодических решений. 5.5. Бифуркация Андронова—Хопфа. Раздел III. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованиями аргументов в старших Тема 6. Общие краевые задачи для функциональнодифференциальных уравнений высокого порядка со 6.1. Функциональные операторы. 6.2. Модельное уравнение со сжатиями аргументов. 6.3. Модельное уравнение со сжатиями и растяжениями. 6.4. Операторы сжатия в пространствах символов. 6.5. Псевдодифференциальные операторы со сжатиями 6.6. Фредгольмова разрешимость краевой задачи. Тема 7. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатиями аргументов в весовых 7.1. Весовые пространства и преобразование Фурье. 7.2. Оценка для оператора умножения на однородную 7.3.
7.5. Разрешимость функционально-дифференциального Целью настоящего учебного пособия является изучение свойств квазилинейных и линейных параболических и эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих преобразования пространственных переменных неизвестной функции в ограниченной пространственной области.
В первых двух разделах пособия изучаются квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие конечное число преобразований пространственных переменных в младших членах, а также соответствующие линеаризованные эллиптические и параболические функционально-дифференциальные операторы.
Параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие отклонения по переменной времени, рассматривались в ряде работ, см. [40, 46, 47, 55, 57]. Наиболее общий случай таких уравнений с переменными запаздываниями в старших производных исследовался в работах В. В. Власова [8, 9].
Краевые задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами по пространственным переменным изучались в работах А. Л. Скубачевского, Р. В. Шамина и А. М. Селицкого [25,30,35, 52].
В пособии рассматриваются параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных. Такие задачи имеют приложения в нелинейной оптике.
В нелинейных оптических системах с преобразованием поля в двумерной обратной связи возникают различные регулярные периодические явления, которые называют “многолепестковыми волнами” [11, 56]. Эти явления могут использоваться для оптических методов передачи, обработки и хранения информации.
Математической моделью некоторого класса таких оптических систем является вторая смешанная задача для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием пространственных переменных:
где x Q R2, t R, u(x, t) — фазовая модуляция световой волны, D > 0, K, — некоторые постоянные величины, g — преобразование пространственных переменных, = (, 0), а — единичный вектор внешней нормали к Q. Возникновение “многолепестковых волн” происходит в результате бифуркации периодических решений задачи (1) в окрестности пространственно-однородного стационарного решения w = const, определяемого соотношением w = K(1 + cos w).
Задача (1) изучалась в целом ряде работ. А. В. Разгулиным [19], а также А. Ю. Колесовым, Н. Х. Розовым [13] рассматривалась одномерная модель на окружности, в которой преобразование пространственных переменных g являлось поворотом на некоторый угол. В работе [34] В. А. Чушкина и А. В. Разгулина была решена задача на отрезке, где преобразование g являлось отражением пространственной переменной относительно центра отрезка. А. В. Разгулиным [50] был исследован случай, когда пространственная область Q — круг, а преобразование g — поворот на некоторый постоянный угол. В работе Е. П. Белана [2] рассматривался случай, когда область Q — круг, а преобразование g является суперпозицией преобразований поворота и радиального сжатия. Случай произвольной области Q с гладкой границей и невырожденного взаимно однозначного преобразования g C 3 общего вида изучался А. Л. Скубачевским [26, 54] в предположении, что линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор задачи (1) является нормальным. Кроме того, А. Л. Скубачевским [27] были получены необходимые и достаточные условия нормальности таких операторов.
Без предположения нормальности оператора L для произвольной области Q с гладкой границей и достаточно гладкого невырожденного взаимно однозначного преобразования g общего вида А. Л. Скубачевским [28] было доказано существование бифуркации периодических решений задачи (1) методами исследования бифуркации Андронова—Хопфа в бесконечномерном случае [38,39]. Е. П. Беланом [1] при таких же предположениях об операторе L, области Q и преобразовании g методом центральных многообразий были получены условия существования и устойчивости бифуркационных решений задачи (1), а также формулы для определения их топологических свойств. В работе А. В. Разгулина [20] была изучена задача управления преобразованием пространственных переменных g в случае, когда Q — произвольная область с гладкой границей, а преобразование g задано в обобщенном виде с помощью некоторого функционала и, вообще говоря, не является обратимым.
В настоящем пособии рассматривается обобщение задачи (1) на случай конечного числа произвольных достаточно гладких невырожденных взаимно однозначных преобразований пространственных переменных, а также исследуется нормальность линеаризованного эллиптического функционально-дифференциального оператора такой задачи и разрешимость первой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений.
В первом разделе изучаются линейные параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие конечное число преобразований пространственных переменных в младших членах, а также соответствующие линеаризованные эллиптические и параболические функционально-дифференциальные операторы.
Ключевую роль играет свойство нормальности линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов. Поэтому для целостности изложения в теме 1 даются некоторые известные факты из спектральной теории нормальных операторов, включающие спектральную теорему. Эти факты используются затем в темах 3, 5 и 6.
В теме 2 рассматриваются линейные эллиптические функциональнодифференциальные операторы, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных в младших членах. Доказывается, что при определенных условиях такой оператор является нормальным тогда и только тогда, когда преобразования пространственных переменных являются коммутирующими ортогональными преобразованиями. Данные условия нормальности используются в темах 3 и 5.
В теме 3 методом Фурье решаются первая и вторая смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных, удовлетворяющими условиям нормальности операторов, полученным в теме 2.
Во втором разделе рассматриваются квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованиями пространственных переменных в младших членах. Изучается бифуркация Андронова—Хопфа их периодических решений. Такая постановка задачи имеет приложения в нелинейной оптике.
В теме 4 для целостности изложения дается классическая теория бифуркации Андронова—Хопфа для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методы исследования бифуркации Андронова—Хопфа для функционально-дифференциальных уравнений.
В теме 5 исследуется бифуркация Андронова—Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных. Рассматриваются два случая. В первом случае линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор задачи предполагается нормальным, а преобразования пространственных переменных удовлетворяют условиям нормальности таких операторов, полученным в теме 2. Во втором случае нормальность этого оператора не предполагается, а преобразования пространственных переменных принадлежат более широкому классу преобразований.
Третий раздел пособия (темы 6 и 7) посвящен элементам общей теории линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Здесь рассматриваются уравнения порядка 2m, содержащие преобразования аргументов искомой функции под знаком старших производных. Такие уравнения тесно связаны с теорией нелокальных эллиптических задач [53] и имеют ряд приложений, например, в теории упругости [17, 48], теории плазмы [3], теории диффузионных процессов [41, 42, 51].
Кроме того, они доставляют важный пример уравнений, для которых дано положительное решение задачи Т. Като о квадратном корне из диссипативного оператора [35, 44]. С другой стороны, наличие в старших членах уравнения преобразований, отображающих точки границы внутрь области, приводит к ряду принципиально новых свойств по сравнению с классической теорией эллиптических дифференциальных уравнений.
Теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченной области Q Rn была построена в работах А. Л. Скубачевского [53]. Им были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмовой и нетеровой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. В указанной монографии также подробно рассмотрены приложения эллиптических дифференциально-разностных уравнений в механике деформируемого твердого тела, в теории полугрупп Феллера и др.
В настоящем пособии рассматриваются уравнения, содержащие растяжения и сжатия аргументов искомой функции в старших членах.
Функционально-дифференциальные уравнения со сжатием аргумента в одномерном случае рассматривались многими авторами, в том числе и Т. Като [45] (см. также [37, 43]). Большая часть работ посвящена вопросам представления, асимптотического поведения и устойчивости решений начальных задач. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями изучались в [21–23]. В работе [21] была решена проблема коэрцитивности задачи Дирихле в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Содержание темы 6 данного пособия (исследование фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с переменными коэффициентами) опирается на статью [22], а результаты темы 7 (однозначная разрешимость функционально-дифференциального уравнения в весовых пространствах) впервые опубликованы в статье [23].
Важной особенностью и значительной трудностью при исследовании краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений служит наличие негладких решений. Так, обобщенные решения краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений могут иметь степенные особенности в некоторых точках (как на границе, так и внутри области) даже при бесконечно гладких границе и правых частях [53]. Поэтому общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений естественно рассматривать не только в пространствах Соболева, но и весовых пространствах [29].
Краевая задача для эллиптического уравнения с растяжением и сжатием аргументов в окрестности начала координат — неподвижной точки оператора сжатия — может иметь наряду с единственным гладким решением бесконечномерное ядро, состоящее из негладких функций [22].
Поведение вблизи начала координат решений уравнений с растяжением и сжатием аргументов также удобно учитывать введением подходящего веса [23].
Все научные результаты, входящие в данное учебное пособие, были получены в работах авторов [4–7, 21–23], за исключением темы 1 и темы 4. Указанные темы содержат известные математические факты, которые приведены для полноты изложения. Темы 1–5 написаны Е. М. Варфоломеевым, темы 6-7 Л. Е. Россовским.
НОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ
В этой теме рассматриваются некоторые факты из спектральной теории нормальных операторов, а также операторов с компактной резольвентой. Эти факты являются общеизвестными, однако не всегда преподаются для студентов физико-математических специальностей. Материал этой темы будет использоваться в темах 3, 5 и 6. Изложение ведется по книгам [12, 24].
1.1.1. Алгебры. Ряд важнейших результатов спектральной теории операторов опирается на абстрактные понятия алгебр и их свойств, которые рассматриваются в этом пункте.
Определение 1.1. Комплексной алгеброй называется линейное пространство A над полем C комплексных чисел, в котором определено умножение, удовлетворяющее условиям для всех x, y, z A и всех C.
Комплексная алгебра A называется коммутативной, если xy = yx для всех x, y A. Подалгеброй алгебры A называется ее линейное подпространство, замкнутое относительно операции умножения.
Определение 1.2. Банаховой алгеброй называется комплексная алгебра A, которая является банаховым пространством относительно некоторой нормы, удовлетворяющей мультипликативному неравенству и, кроме того, A содержит единичный элемент e такой, что e = 1 и Наличие единичного элемента очень часто опускается в определении банаховой алгебры. Однако, когда в алгебре есть единичный элемент, имеет смысл говорить об обратимости относительно умножения, и это делает более естественным определение спектра элемента. Кроме того, потеря в общности от предположения о наличии единицы невелика:
большинство естественно возникающих банаховых алгебр обладает единицей, и существует канонический способ дополнения единицей любой банаховой алгебры (см. [24, гл. 10]).
Пример 1.1. Пусть C(K) — банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на непустом компактном хаусдорфовом пространsup |f (p)|. Определим умножение стве K, наделенное нормой f обычным способом, а именно (f g)(p) = f (p)g(p). Тем самым C(K) становится коммутативной банаховой алгеброй, единичным элементом которой служит функция, тождественно равная 1.
Если K — конечное множество, состоящее из n элементов, то C(K) есть просто Cn с покоординатным умножением. В частности, при n = мы получаем самую простую банахову алгебру: C с абсолютной величиной (модулем) в качестве нормы.
Пример 1.2. Пусть X — банахово пространство. Тогда B(X) — алгебра всех ограниченных линейных операторов на X — является банаховой алгеброй относительно обычной операторной нормы. Тождественный оператор I служит единицей этой алгебры. Если размерность X равна n 1 алгебра B(X) некоммутативна. (Тривиальный случай n = 0 не рассматривается.) 1.1.2. Гомоморфизмы и идеалы. Одним из наиболее важных типов отображений одной банаховой алгебры в другую служат гомоморфизмы.
Определение 1.3. Пусть A и B — комплексные алгебры. Линейное отображение H : A B называется гомоморфизмом, если h(xy) = h(x)h(y). Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Особый интерес представляет тот случай, когда образом относительно h служит простейшая из банаховых алгебр — поле C. Большинство продвижений в коммутативной ситуации решающим образом зависит от наличия достаточно большого запаса гомоморфизмов данной алгебры в поле C.
Определение 1.4. Пусть A — комплексная алгебра и — линейный функционал на A, 0. Если то функционал называется комплексным гомоморфизмом на алгебре A.
Определение 1.5. Элемент x A называется обратимым, если он обладает обратным в A, т. е. если существует такой элемент x1 A, что где e — единичный элемент алгебры A.
Определение 1.6. Спектром (x) элемента x банаховой алгебры A называется множество всех таких комплексных чисел, что элемент x e не имеет обратного в A.
Спектр элемента зависит от алгебры A. Если A является подалгеброй более широкой алгебры B, то может оказаться, что некоторый элемент x A необратим в A, но обратим в B. Поэтому A (x) B (x).
Теорема 1.1 (см. [24, теорема 10.9]). Если — такой линейный функционал на банаховой алгебре A, что (e) = 1 и (x) = 0 для каждого обратимого элемента x A, то Определение 1.7. Линейное подпространство J коммутативной комплексной алгебры A называется идеалом, если xy J при всех x A, y J. Идеал называется собственным, если J = A. Собственный идеал называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем собственном идеале.
Если A, B — коммутативные банаховы алгебры и — гомоморфизм из A в B, то очевидно, что ядро является идеалом в A.
Теорема 1.2 (см. [24, теорема 11.5]). Пусть A — коммутативная банахова алгебра и — множество всех ненулевых комплексных гомоморфизмов алгебры A.
(1) Каждый максимальный идеал алгебры A есть ядро некоторого (2) Ядро каждого гомоморфизма h есть максимальный идеал (3) Элемент x A тогда и только тогда обратим в A, когда (4) Элемент x A тогда и только тогда обратим в A, когда x не содержится ни в одном собственно идеале алгебры A.
Определение 1.8. Пусть — множество всех комплексных гомоморфизмов коммутативной банаховой алгебры A. Формула сопоставляет каждому элементу x A функцию x : C. Функция x называется преобразованием Гельфанда элемента x.
Будем обозначать A множество таких функций x для всех x A.
Топологией Гельфанда на называется слабая топология, порожденная семейством A, т. е. слабейшая топология, в которой все функции x A непрерывны.
Так как по теореме 1.2 существует взаимно однозначное соответствие между максимальными идеалами алгебры A и элементами множества, то множество, снабженное топологией Гельфанда, называется пространством максимальных идеалов алгебры A.
Определение 1.9. Отображение x x комплексной алгебры A в себя называется инволюцией, если это отображение обладает следующими свойствами:
для всех x, y A, C.
Определение 1.10. Элемент x A называется эрмитовым (или самосопряженным), если x = x.
Определение 1.11. Пусть A — комплексная алгебра с инволюцией.
Элемент x A называют нормальным, если xx = x x. Множество S A называют нормальным, если S коммутативно и вместе с каждым элементом x содержит x.
Пример 1.3. На алгебре C(X) инволюцией является f f.
Пример 1.4. Переход от оператора к сопряженному оператору является инволюцией в гильбертовом пространстве.
Определение 1.12. B -алгеброй называется банахова алгебра с инволюцией x x, удовлетворяющая условию xx = x элементов.
Теорема 1.3 (Гельфанд—Наймарк, см. [24, теорема 11.18]). Пусть A — коммутативная B -алгебра с пространством максимальных идеалов. Тогда преобразование Гельфанда является изометрическим изоморфизмом алгебры A на C() и, кроме того, обладает свойством Как следствие, элемент x A эрмитов тогда и только тогда, когда x — вещественная функция.
Следующая теорема представляет собой частный случай теоремы 1.3.
В ней фигурирует отображение, обратное преобразованию Гельфанда, что позволяет выявить контакты результатов такого сорта с функциональным исчислением и будет использоваться в пункте 6.1 для построения символов функционально-дифференциальных операторов.
Теорема 1.4 (см. [24, теорема 11.19]). Пусть A — коммутативная B -алгебра, содержащая такой элемент x, что полиномы от x и x плотны в A. Тогда формула определяет изометрический изоморфизм алгебры C((x)) на алгебру A, причем для каждого f C((x)). Кроме того, если f () = на (x), то f = x.
Следующая теорема показывает совпадение спектров для некоммутативных алгебр и также будет применяться в пункте 6.1.
Теорема 1.5 (см. [24, теорема 11.29]). Пусть A есть B -алгебра, а B — замкнутая подалгебра в A, причем e B и x B для любого x B. Тогда A (x) = B (x) для любого x B.
1.2. Ограниченные операторы в гильбертовом 1.2.1. Свойства нормальных операторов и проекторов. Будем обозначать через B(H) банахову алгебру всех ограниченных линейных операторов T на гильбертовом пространстве H = <0>, обладающую нормой Более того, легко проверить, что B(H) является B -алгеброй относительно операции инволюции, заданной переходом к сопряженному оператору T T.
Ядро и образ оператора T B(H) связаны следующими соотношениями.
Теорема 1.6 (см. [24, теорема 12.10]). Если T B(H), то Определение 1.13. Оператор T B(H) называется нормальным, если T T = T T ;
самосопряженным (или эрмитовым), если T = T ;
унитарным, если T T = T T = I, где I — единичный оператор в пространстве H;
проектором, если T 2 = T.
Очевидно, что самосопряженные и унитарные операторы являются нормальными.
Теорема 1.7 (см. [24, теорема 12.12]). Пусть T B(H).
(1) Оператор T тогда и только тогда нормален, когда T x = (2) Если оператор T нормален, то N (T ) = N (T ) = R(T ).
(3) Если оператор T нормален и T x = x при некотором x H и (4) Если оператор T нормален, а, — различные собственные значения оператора T, то соответствующие собственные подпространства ортогональны.
Теорема 1.8 (см. [24, теорема 12.13]). Если U B(H), то следующие три условия эквивалентны:
(1) U — унитарный оператор;
Эквивалентность условий (1) и (2) означает, что унитарные операторы суть в точности линейные изоморфизмы пространства H, сохраняющие скалярное произведение. Таким образом, этими операторами исчерпываются автоморфизмы гильбертова пространства.
Теорема 1.9 (см. [24, теорема 12.14]). Для каждого проектора P B(H) выполнение любого из следующих четырех условий влечет за собой выполнение трех остальных:
(1) оператор P является самосопряженным;
(2) оператор P является нормальным;
Теорема 1.10 (см. [24, теорема 12.15]). Пусть S, T B(H) и S — самосопряженный оператор. Тогда ST = 0 тогда и только тогда, когда R(S)R(T ).
Пусть x, y — коммутирующие элементы некоторой банаховой алгебры с инволюцией. Очевидно, что тогда x, y также коммутируют, поскольку x y = (yx). Верно ли, что тогда x, y коммутируют? Ответ в общем случае будет отрицательным (например, если элемент x не является нормальным и y = x). Более того, ответ может оказаться отрицательным, если оба элемента x, y нормальны (см. [24, упр. 28, с. 367]). Однако ответ положителен для нормальных x в B -алгебре B(H). Имеет место следующий более общий факт.
Теорема 1.11 (см. [24, теорема 12.16]). Пусть M, N, T B(H), причем операторы M, N нормальны. Если M T = T N, то M T = T N.
1.2.2. Спектральное разложение. Главное утверждение спектральной теоремы заключается в том, что каждый ограниченный нормальный оператор T в гильбертовом пространстве порождает некоторым каноническим способом разложение единицы E на борелевских подмножествах его спектра (T ) и что оператор T может быть восстановлен по E при помощи процесса интегрирования. Большинство результатов теории нормальных операторов опирается на этот факт.
Говоря о спектре (T ) оператора T, мы всегда имеем в виду всю алгебру B(H). Другими словами, (T ) означает, что оператор T I не имеет обратного в B(H). Вместе с тем мы будем иметь дело и с замкнутыми подалгебрами A алгебры B(H), которые обладают тем дополнительным свойством, что I A и S A, если S A. Так как алгебра B(H) является B -алгеброй, то ввиду теоремы 1.5 в такой ситуации (T ) = A (T ) для каждого оператора T A.
Определение 1.14. -алгеброй подмножеств множества называется набор подмножеств, содержащий любые счетные объединения и пересечения, а также разности и дополнения всех входящих в него подмножеств.
Определение 1.15. Пусть M есть некоторая -алгебра подмножеств множества и H — гильбертово пространство. Разложением единицы на M называется отображение обладающее следующими свойствами:
(2) каждый из операторов E() — самосопряженный проектор;
(5) для любых векторов x, y H функция множества Ex,y, определяемая равенством является комплексной мерой на M.
Лемма 1.1 (см. [24, предложение 12.18]). Если E — разложение единицы и x H, то E()x есть счетно-аддитивная H-значная мера на M.
Для алгебры нормальных операторов верна следующая теорема.
Теорема 1.12 (см. [24, теорема 12.22]). Пусть A — некоторая замкнутая нормальная подалгебра алгебры B(H), содержащая единичный оператор I, и пусть — пространство максимальных идеалов алгебры A. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) На борелевских подмножествах пространства существует в точности одно разложение единицы E такое, что для каждого оператора T A, где T — преобразование Гельфанда оператора T относительно алгебры A.
(2) E() = 0 для каждого непустого открытого множества.
(3) Оператор S B(H) в том и только в том случае коммутирует со всем операторами T A, если он коммутирует с каждым проектором E().
Конкретизируем этот результат для случая, когда рассматривается один оператор.
Теорема 1.13 (см. [24, теорема 12.23]). Если T B(H) — нормальный оператор, то существует такое однозначно определенное разложение единицы E на борелевских подмножествах спектра (T ) оператора T, что Кроме того, каждый проектор E() коммутирует с каждым оператором S B(H), коммутирующим с оператором T.
В такой ситуации E называется спектральным разложением оператора T.
Определение 1.16. Если E — спектральное разложение некоторого нормального оператора T B(H) и f — произвольная ограниченная борелевская функция на (T ), то функция от оператора f (T ) определяется формулой Теорема 1.14 (см. [24, теорема 12.28]). Пусть E — спектральное разложение нормального оператора T B(H). Если f C((T )) и 0 = f 1 (0), то Следующая теорема устанавливает свойства собственных значений и собственных функций ограниченного нормального оператора.
Теорема 1.15 (см. [24, теорема 12.29]). Пусть E — спектральное разложение нормального оператора T B(H), 0 (T ) и E0 = E(0 ).
Тогда (2) 0 служит собственным значением оператора T тогда и только тогда, когда E0 = 0;
(3) каждая изолированная точка спектра (T ) является собственным значением оператора T ;
(4) если множество (T ) = <1, 2. >счетно или конечно, то каждый вектор x H однозначно представляется в виде С учетом того, что собственные функции оператора определены с точностью до постоянного множителя, свойство (4) означает существование в H ортонормированного базиса, состоящего из собственных функций оператора T.
Доказательство. Утверждение (1) получается непосредственно из теоремы 1.14, если положить там f () = 0. Ясно, что утверждение (2) вытекает из (1). Если 0 — изолированная точка множества (T ), то <0 >есть непустое открытое множество в (T ). Поэтому E0 = 0 в силу утверждения (2) теоремы 1.12. Следовательно, утверждение (3) вытекает из (2).
Для доказательства утверждения (4) рассмотрим проекторы Ei = E(), i = 1, 2. Если i — предельная точка множества (T ), то проектор Ei может быть нулевым или ненулевым. Однако в любом случае проекторы Ei имеют взаимно ортогональные образы. Из счетной аддитивности отображения E()x (лемма 1.1) следует, что Этот ряд сходится по норме пространства H. Поэтому мы получим искомое представление, если положим xi = Ei x. Единственность представления вытекает из ортогональности векторов xi, а условие T xi = i xi вытекает из утверждения (1).
1.3. Неограниченные операторы в гильбертовом Определение 1.17. Линейный оператор T : D(T ) H H (необязательно ограниченный) называется нормальным, если область определения D(T ) плотна в H, D(T T ) = D(T T ), оператор T замкнут и удовлетворяет условию T T x = T T x, x D(T T ).
Теорема 1.16 (см. [24, теорема 13.22]). Пусть N — нормальный оператор в пространстве H. Тогда:
(3) не существует нормального оператора N такого, что D(N ) Последнее утверждение записывают так: не существует нормального оператора N такого, что N N.
Как и в случае ограниченных операторов, всякий нормальный оператор может быть представлен с помощью своего спектрального разложения.
Теорема 1.17 (см. [24, теорема 13.33]). Для каждого нормального оператора N в пространстве H существует единственное спектральное разложение E, удовлетворяющее соотношению Кроме того, E()S = SE() для всякого борелевского множества (N ) и всякого оператора S B(H), коммутирующего с оператором N в том смысле, что SN N S.
Из теоремы 1.17 выводится аналогично доказательству теоремы 1. утверждение о существовании в пространстве H ортонормированного базиса, состоящего из собственных функций неограниченного нормального оператора.
1.4. Операторы с компактной резольвентой Операторы с компактной резольвентой часто встречаются в математической физике. Можно сказать, что большинство дифференциальных операторов, возникающих в связи с классической граничной задачей, принадлежат этому типу. В этом пункте мы будем рассматривать такие операторы в банаховом пространстве X.
Определение 1.18. Оператором с компактной резольвентой в банаховом пространстве называют замкнутый оператор T, резольвента которого R(, T ) = (T I)1 существует и компактна хотя бы для некоторого = 0.
Сначала сформулируем некоторые свойства замкнутых и компактных операторов.
Теорема 1.18 (см. [12, гл. III, пункт 6.3]). Пусть T — замкнутый обратимый оператор в X. Спектр оператора R(0, T ) есть ограниченное множество, в которое переходит спектр (T ) при отображении Кроме того, Теорема 1.19 (см. [12, гл. III, пункт 6.7, теорема 6.26]). Предположим, что линейный оператор T компактен. Тогда его спектр (T ) — счетное множество, не имеющее предельных точек, отличных от нуля. Каждое число (T ) является собственным значением конечной кратности для T, а — собственным значением той же кратности для T.
Теперь докажем теорему о спектре оператора с компактной резольвентой.
Теорема 1.20 (см. [12, гл. III, пункт 6.8, теорема 6.29]). Пусть T — замкнутый оператор в X такой, что при некотором 0 его резольвента R(0, T ) существует и компактна. Тогда спектр (T ) состоит из изолированных собственных значений, имеющих конечные кратности, а резольвента R(, T ) компактна для каждого (T ).
Здесь (T ) обозначает резольвентное множество оператора T.
(R(0, T )) — счетное множество, не имеющее ненулевых предельных точек. Из теоремы 1.18 следует, что (R(0, T )) — образ спектра оператора (T ) при отображении (0 )1. Поэтому спектр оператора (T ) состоит только из изолированных точек, не имеющих предельной точки, кроме. Из формулы (1.1) с помощью замены переменной интегрирования получим, что собственный проектор оператора T (см. [12, гл. I, пункты 5.3, 5.4]) соответствующий (T ), совпадает с собственным проектором резольвенты R(0, T ), соответствующим собственному значению (0 )1.
Отсюда следует, в частности, что dim R(P ) 0, то нуль — неустойчивая точка.
РИС. 4.1. а — устойчивая особая точка; б — асимптотически устойчивая особая точка; в — устойчивая замкнутая орбита.
Замечание 4.1. Спектр непрерывного линейного оператора является компактным множеством, поэтому если спектр (X) отображения X лежит в открытой левой полуплоскости, то он отделен от границы.
Теорема 4.2. Пусть X — векторное поле класса C 1 на банаховом многообразии P и p0 — особая точка X, т. е. X(p0 ) = 0. Обозначим через Ft поток, определенный полем X, т. е. Ft (x) = X(Ft (x)), F0 (x) = x. (Заметим, что Ft (p0 ) = p0 для всех t.) Если спектр dX(p0 ) лежит в левой полуплоскости, т. е. (dX(p0 ))
Предположим, что существует непрерывная кривая p() на многообразии P такая, что X (p()) = 0, т. е. при каждом точка p() — особая точка потока X. Предположим, что точка p() является притягивающей при 0. Тогда точка (p(0 ), 0 ) дает нам пример точки бифуркации потока X. При значениях 0 это уже не так, и поэтому при переходе через значение характер потока может внезапно измениться.
4.1.1. Теорема о центральном многообразии. Основная ценность теоремы о центральном многообразии заключается в том, что, используя ее, можно свести бесконечномерную задачу к конечномерной. В случае конечномерной задачи можно свести исследование к задаче меньшего числа измерений. Для задачи о рождении цикла эта теорема позволяет редуцировать задачу к размерности 2 без потери какой-либо информации относительно устойчивости.
Теорема 4.3. Пусть — отображение, определенное в окрестности нуля в банаховом пространстве Z. Будем предполагать, что принадлежит классу C k+1, k 1 и (0) = 0. Предположим также, что D(0) имеет спектральный радиус 1 и что спектр D(0) расщепляется на две части: часть, лежащую на единичной окружности, и остаток, который находится на ненулевом расстоянии от единичной окружности. Обозначим через Y обобщенное собственное подпространство оператора D(0), порожденное частью спектра, лежащей на единичной окружности; будем предполагать, что Y имеет размерность d 0 класса C k+1 совместно по t и x. Предположим также, что спектр линейной полугруппы DFt (0) : Z Z имеет вид et(1 2 ), где et1 лежит на единичной окружности (т. е. 1 лежит на мнимой оси) и et2 лежит внутри единичной окружности на ненулевом расстоянии он нее при t > 0, т. е. 2 лежит в левой полуплоскости. Пусть Y — обобщенное собственное подпространство, соответствующее части спектра на единичной окружности, и предположим, что dim Y = d 0 и Ftn (x) определено и лежит в V для всех 4.1.2. Отображение Пуанкаре.
Определение 4.5. Рассмотрим замкнутую орбиту и точку m на, например m = (0), и пусть S — локальная трансверсальная секущая, т. е. подмногообразие коразмерности 1, трансверсальное (т. е. (0) не касается S). Пусть поток определен в (открытой) области D M R.
Отображение Пуанкаре для орбиты — это отображение P : W W1 (рис. 4.2) такое, что:
(1) W0, W1 S — открытые окрестности точки m S, а P является C k -диффеоморфизмом;
(2) существует функция : W0 R такая, что для всех x W Теорема 4.5.
(1) Если X — векторное поле класса C k на многообразии M и — замкнутая орбита поля X, то существует отображение Пуанкаре для.
(2) Если P : W0 W1 — отображение Пуанкаре для (на локальной трансверсальной секущей S, проходящей через точку m ), а P — такое же отображение на секущей S в точке m, то P и P локально сопряжены. Это означает, что существуют открытые окрестности W2 точки m S, W точки m S и C k -диффеоморфизм H : W2 W2 такой, что коммутативна.
4.1.3. Теорема Андронова—Хопфа в R2.
такое, что X (0) = 0 для всех, а поле X = (X, 0) также класса C k. Предположим, что dX (0, 0) имеет два различных комплексно-сопряженных собственных значения () (), причем Re (0) = 0, (1) существует C k2 функция : (, ) R такая, что при x1 = 0 точка (x1, 0, (x1 )) лежит на замкнутой орбите поля X периода, близкого к 2/|(0)|, причем (0) = 0;
(2) существует окрестность U точки (0, 0, 0) в R3 такая, что любая замкнутая орбита, лежащая в U, является одной из орбит вышеуказанного семейства.
Кроме того, если точка 0 — слабый аттрактор поля X0, то (3) (x1 ) > 0 для всех x1 = 0, замкнутые орбиты устойчивы, а радиус орбиты при изменении растет как.
Доказательство. Суть доказательства состоит в применении теоремы о неявной функции. Мы покажем, что для малых существует функция класса C k1, отображающая точку (x1, 0, ) в точку (P (x1, ), 0, ) первого такого пересечения орбиты потока X, проходящей через (x1, 0, ), с осью x1, при котором x1 и P (x1, ) имеют одинаковый знак (рис. 4.3).
Пусть V (x1, ) = P (x1, ) x1, т. е. V есть функция смещения.
Используя теорему о неявной функции, получим кривую (x1, 0, (x1 )) нулей V, соответствующих замкнутым орбитам потока X. Отображение (x, 0) (P (x, (x1 )), 0) есть отображение Пуанкаре, построенное для замкнутой орбиты, проходящей через точку (x1, 0, (x1 )). Затем, пользуясь стандартными результатами относительно отображения Пуанкаре, мы найдем условия устойчивости замкнутой орбиты. Единственность замкнутых орбит получается, по существу, из единственности функции, определяемой теоремой о неявной функции.
Шаг 1. Делая линейную замену координат в R2, зависящую от, мы можем считать, что где () выбрано так, что Im () > 0. В новых координатах X имеет непрерывные производные до порядка k. Кроме того, для каждого ось x1 инвариантна относительно замены (т. е. новая ось та же, что и старая, мы меняем только ось x2 ). Приведем несколько простых лемм, из которых вытекает все сказанное.
Лемма 4.1. Пусть функция класса C k из U R в R4. Пусть матрица имеет два различных собственных значения для всех [a, b] U. Тогда собственные значения являются C k -функциями из (a, b) в C.
Доказательство. По формуле решений квадратного уравнения собa11 + a22 ± (a11 + a22 )2 4a12 a21.
ственные значения равны По предположению (a11 + a22 )2 4a12 a21 отделено от нуля на (a, b), поэтому собственные значения являются C k -функциями параметра на этом интервале.
Лемма 4.2. Пусть T : C2 C2 — линейное преобразование, принимающее действительные значения на действительных векторах и не имеющее действительных собственных значений. Пусть v1 + iv2 — собственный вектор с собственным значением. Тогда существует собственный вектор вида значение.
Доказательство. Умножая v1 + iv2 на комплексное число, мы получаем собственный вектор с тем же собственным значением. Поэтому достаточно показать, что существует z = x + iy, для которого Это эквивалентно решению системы уравнений т. е.
Столбцы этой матрицы линейно независимы над полем R, так как если v2 = cv1, то v1 + iv2 = (1 + ic)v1. Поэтому v1 = (1 + ic)1 (v1 + iv2 ) — действительный собственный вектор, чего не может быть. Следовательно, уравнение имеет решение.
Лемма 4.3. Пусть T — то же преобразование, что и в лемме 4.2.
Тогда Доказательство. T v1 = Re T (v1 + iv2 ), так как T — действительное число. T v1 = Re[(v1 + iv2 )] = Re · v1 Im · v2.
Используя предыдущие леммы, мы видим, что если — собственный вектор dX (0, 0) с собственным значением (), то и — линейно независимые векторы такие, что матрица dX (0, 0) Теперь мы покажем, что вектор Решаем уравнение Отсюда получаем уравнения Поэтому Так как замена координат линейна для каждого, а и суть C k -функции, в новых координатах X будет иметь непрерывные k-е вых координатах.
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что замена координат уже сделана, т. е. что Шаг 2. Существует единственное C k1 -векторное поле X на R2 такое, что X = X, где : R2 R2 — отображение перехода к полярным координатам (r, ) = (r cos, r sin ), а — дифференциал.
Так как (X ) = X, то Поэтому если векторное поле X можно продолжить до C k1 -поля на всем R2, то такое продолжение единственно. Xr = cos ·X1 +sin ·X2, и оно класса C k1 для всех (r, ). Рассмотрим при r = Тогда так как X (0, 0) = 0. Таким образом, lim X1 (r, ) = ( sin )dX1 (0, 0)(cos, sin ) + Поэтому мы определим X (r, ) = X (r, ) = Чтобы установить, что X (r, ) принадлежит классу C k1, мы покажем, что функции X1 (r cos, r sin ) и (r cos, r sin ) принадлежит C, когда они продолжены, как указано выше.
Лемма 4.4. Пусть A : R2 R — функция класса C k. Тогда Если Доказательство. Первое утверждение следует из формулы Тейлора, а второе легко доказывается по индукции. По лемме Так как все k-е частные производные X непрерывны и подынтегральные функции принадлежат классу C k1, то сами интегралы — функции класса C k.
Шаг 3. Отображение Пуанкаре.
Пусть потоки векторных полей X и X будут t и t соответственно. Очевидно, что t = t. Рассмотрим векторное поле X. Так 2/|(0)|, то 0 (0, 0) = (0, 0|(0)|·2/|(0)|, 0) = (0, 2, 0) (рис. 4.4).
Так как поле X периодично с периодом 2, то оно — C k1 -векторное поле на заполненном цилиндре, а орбита точки 0 замкнута. Мы можем связать с этой орбитой отображение Пуанкаре P (рис. 4.5). Тогда существует окрестность U = <(r, 0, ) : r (, ) и (, )>такая, что определено отображение P (r, 0, ) = (P (r, ), 2, ), где P (r, ) — rкоордината первого пересечения орбиты, начинающейся в точке (r, 0, ), с прямой = 2. Это отображение класса C k1. Функция T (r, ), которая задает время, когда t (r, 0, ) = P (r, 0, ), также класса C k1.
Заметим, что отображение переводит ось r в ось x1. Поэтому функция последования (x1, 0, ) (x1 + V (x1, ), 0, ) определена и класса C k1 в окрестности U = <(x1, 0, ) : x1 (, ) и (, )>. Точка (x1 +V (x1, ), 0, ) является первым пересечением орбиты точки (x1, 0, ) с осью x1, причем такой, что знаки x1 и P (x1, ) = x1 + V (x1, ) одинаковы.
Замечание 4.2. Используя равномерную непрерывность и -периодичность t, нетрудно доказать существование окрестности N = <(r,, ) :
r2 + 2 0 для малых x1 = 0.
Доказательство. Чтобы показать, что (x1 ) > 0 для малых x1 = 0, мы докажем неравенство (0) > 0. Так как (0) = (0) = 0, отсюда следует, что имеет локальный минимум в точке x1 = 0. Дифференцируем уравнение V (x1, (x1 )) = 0. Делая это троекратно и проводя вычисления при x1 = 0, мы получаем (0) > 0. Чтобы показать устойчивость замкнутой орбиты, проходящей через (x1, 0, (x1 )), мы должны показать, что собственные значения производной отображения Пуанкаре, связанного с этой орбитой, меньше единицы по абсолютной величине. Ясно, что отображением Пуанкаре, связанным с орбитой точки (x1, 0, (x1 )), является P(x1 ) (x1 ) = как = 1, то существует окрестность точки (0, 0), в которой > 1. Таким образом, нам необходимо только показать, что для x1 = в точке x1 = 0. Как мы уже знаем, Таким образом, f (0) = 0;
Поэтому Следовательно, f (x1 ) имеет локальный максимум в точке x1 = 0, и орбиты устойчивы.
Шаг 6. Единственность замкнутых орбит.
Лемма 4.11. Существует окрестность N точки (0, 0, 0) такая, что любая замкнутая орбита потока X в N проходит через одну из точек вида (x1, 0, (x1 )).
Доказательство. Существует окрестность N точки (0, 0, 0) такая, что если (x1, x2, ) N, то орбита потока t, проходящая через точку (x1, x2, ), пересекает ось x1 в точке (x1, 0, ), где |x1 | 0 и T (x1, ) > > 0>, и столь малым, чтобы V (x1, ) = 0 для N тогда и только тогда, когда = (x1 ). Предположим, что (x1, 0, ) N и лежит на замкнутой орбите потока t. Если V (x1, ) = 0, то = (x1 ), т. е.
утверждение леммы выполняется. Допустим, что V (x1, ) = 0. Тогда P (x1, ) > x1 либо P (x1, ) 0 такое, что Другими словами, отображение является изоморфизмом.
Доказательство. При x D рассмотрим начальную задачу единственное решение которой есть Это решение является 2-периодическим тогда и только тогда, когда В этом случае u удовлетворяет (4.6) и u(0) = x D. Чтобы исследовать свойства регулярности для u, положим u = u1 + u2, где u1 и u соответственно являются периодическими решениями уравнений Из (4.6) получим откуда В частности, поскольку f (0) в X произвольно, заключаем, что 0 (A) и u1 (t) = A1 f (0). Так как из (4.3) следует, что норма графика A эквивалентна норме в D, получим u1 C# (D) C# (X).
Вновь используя (4.6), имеем где принадлежит C# (D) Кроме того, существует H1 > 0 такое, что По лемме 4.12 (2) = A(2) принадлежит DA (, ), так что A(1 e2A )1 (2) принадлежит DA (, ). Отсюда следует, что откуда легко следует (4.7).
Теперь рассмотрим резонансный случай. Предположим, что а) i — простое изолированное собственное значение A, гебраической кратностью 2.
Отметим, что условие (4.9) выполняется, если а) ( A)1 — компактный оператор при S, б) i — простое собственное значение A, В силу (4.9)-(а) существуют x0, y0 D такие, что то есть Кроме того, откуда Пусть X0 — подпространство X, натянутое на x0, y0, и X0 x, y X0 >. Тогда проектор на X0 задается формулой где (±i, ) — контур Имеем так что, поскольку ( A)1 ( A)1 (X) X при, (A), то Q(X) X. Кроме того, если X0 — ядро оператора (1 e2A ), то, полагая получим сужение etA на X1 по формуле Существуют 0, 0, принадлежащие сопряженному пространству X, такие, что откуда Теперь мы можем сформулировать теорему о существовании решений задачи (4.4). Теорема 4.9. Пусть выполнены условия (4.3) и (4.9), а также f C# (X). Тогда задача (4.4) имеет решения тогда и только тогда, когда В этом случае все решения определяются по формуле Доказательство. Обозначим u0 = Qu, u1 = (1 Q)u, f0 = Qf, f1 = (1 Q)f, A0 = QA. Тогда задача (4.4) разделяется на две задачи: Вследствие (4.9) задача (4.20) имеет единственное решение u1, которое представляется в виде Кроме того, если u0 — решение (4.19), то Таким образом, при t = 2 получим что совпадает с (4.17). В силу (4.23) получим, что (4.22) при u0 (0) = c1 x0 + c2 y0 дает все решения задачи (4.19). Из равенств (4.21) и (4.22) следует формула (4.18). Наконец, регулярность u1 доказывается такими же рассуждениями, как и в доказательстве теоремы 4.8, а регулярность u0 вытекает из равенств (4.14). 4.2.2. Нелинейная задача. Будем рассматривать периодические решения нелинейного уравнения Поскольку линейная задача u ( ) = Au( ) имеет 2-периодические решения (см. пункт 4.2.1), будем искать решения уравнения (4.24) с периодом, близким к 2, где близко к 1. Полагая t = /, приведем задачу к виду Чтобы решить задачу (4.26), нам понадобятся некоторые свойства собственных значений оператора Лемма 4.13. Пусть выполнены условия (4.25). Тогда существует Доказательство. Обозначим A() : D X, A()x + iA()y. Функция A() принадлежит C ((1, 1); L(D, X)) и существует 0 (0, 1) такое, что при || 0 и C -гладкие функции : (0, 0 ) R, u()(·) такие, что u()(·) не является константой при = 0, а также для u(t, ) = u()(t) выполнено Кроме того, существует 0 > 0 такое, что если, R и u C# (D) C# (X) удовлетворяют равенствам то существуют [0, 2) и (0, 0 ) такие, что Доказательство. Введем отображение Тогда F принадлежит классу C и В частности, По теореме 4.9 получим, что N (Fu (0, 1, 0)) = Чтобы по теореме о неявной функции найти = (), = (), v = v(), удовлетворяющие равенству G(, (), (), v()) = 0, достаточно доказать, что отображение является изоморфизмом. Из равенств (4.35) и (4.27) при || получим Покажем, что инъективно: если (,, v) = 0, то Применяя 0 и учитывая (4.15) и (4.36), получим С другой стороны, из (4.16) и равенств (которые следуют из (4.28)) получим Поэтому из (4.37) следует, что = 0, откуда = 0, v = 0. Докажем, что сюръективно. Достаточно доказать, что пространство C# (X) натянуто на R(Fu (0, 1, 0)) <1, 2 >, где Функции 1, 2 независимы: действительно, если c1 1 + c2 2 = 0, то Применяя 0, получим, что 2c1 (0) = 0, откуда c1 = c2 = 0, что доказывает независимость 1, 2. Поскольку 1, 2 R(Fu (0, 1, 0)) и codim R(Fu (0, 1, 0)) = 2 (см. (4.36)), получаем, что — изоморфизм. По теореме о неявной функции существуют 0 (0, 1), r0 > 0 и = (), v = v() такие, что G(. v) = 0. Для любого (0, 0 ) положим Тогда u() является решением задачи (4.26) при = (), = (). Теперь докажем единственность. Положим V = PV (X), где (PV u)(t) = v(t) Пусть, R, u C# (D)C# (X) удовлетворяют (4.33) при некотором 0, которое будет определено ниже. Существуют 1, 2 такие, что Выберем [0, 2) такое, что u(t + ) = etA x0 + v(t + ) при некотором R, и положим u(t) = u(t + ), v(t) = v(t + ), так что Легко проверить, что из (4.41) вытекает, что v V. Теперь требуется доказать, что при достаточно малых 0 выполнено где r0 — такое же, как в (4.39). Если соотношения (4.42) верны, то получим, что = (), = (), u = u(). Чтобы найти подходящее 0, сначала заметим, что поскольку является изоморфизмом из R2 V в C# (X), существует константа k > такая, что Поэтому из равенств f (, etA x0 + v(t)) A(etA x0 + v(t)) = f (, etA x0 +v(t))A(etA x0 +v(t))f (, esA x0 +v(s))+A(esA x0 +v(s)) = (etA x0 + v(t), etA x0 + v(t), (etA x0 + v(t) esA x0 v(s))) + (esA x0 +v(s), esA x0 +v(s)))+fx (, 0)(etA x0 +v(t)esA x0 v(s)) следует, что существует k1 > 0 такое, что Учитывая неравенства (4.43), отсюда получим, что существует k2 > такое, что Теперь пусть 0 0, K, 1. N R — постоянные коэффициенты, не равные нулю; gi : V gi (V ) — взаимно однозначные преобразования, V Rn, Q V. Всюду далее будем предполагать, что выполнено следующее условие. Уравнение (5.1) рассматривается с краевыми условиями Неймана где = (, 0), а — единичный вектор внешней нормали к Q в точке x. В случае, если gi (Q) \ Q = при некоторых i, зададим значения неизвестной функции u(x, t) вне области Q: В соответствии с этим введем линейные операторы Gi, i = 1. N, по формуле Также будем предполагать, что выполнено следующее условие. Условие 5.2. Операторы Gi : Lp (Q) Lp (Q), i = 1. N, ограничены. В этом пункте изучим некоторые свойства линеаризованного варианта задачи (5.1)–(5.3), которые в дальнейшем будут использоваться для изучения бифуркации периодических решений исходной задачи (5.1)–(5.3). Решение u задачи (5.1)–(5.3) называется пространственно-однородным стационарным решением, если оно не зависит от x Q и t R. Из уравнений (5.1) и (5.3) для пространственно-однородного стационарного решения w получим По определению, Рассмотрим следующее условие. Лемма 5.1. Пусть выполнены условия 5.1 и 5.3 и существует k такое, что gk (Q) \ Q =. Тогда задача (5.4)–(5.6) разрешима тогда и только тогда, когда для некоторого m Z. В этом случае решение единственно, причем w = 2m. Доказательство. Пусть в некоторой точке x0 Q имеет место силу условия 5.1 и условия леммы gk (Q) \ Q = можно выбрать точку причем K0 = K1. Тогда из уравнений (5.4)–(5.6) при x = x0 и x = x1 соответственно получим Приравнивая правые части этих уравнений, придем к равенству откуда, приводя подобные слагаемые и учитывая, что K1 \ K0 = K0 \ K1, получим В силу условия 5.3 получим, что cos w = 1, w = 2m (m Z). Тогда из соотношений (5.8) получим (5.7). Замечание 5.1. Пусть условие 5.3 не выполняется, т. е. существуют сти предположим, что K M =. Тогда существуют преобразования g1. gN такие, что задача (5.4)–(5.6) имеет решения, отличные от решений, описанных в лемме 5.1. Доказательство. Действительно, разобьем область Q на две подобласти Q1 и Q2 такие, что Q1 Q2 = Q и Q1 Q2 =. Пусть Тогда из уравнений (5.4)–(5.6) при x1 Q1 и x2 Q2 соответственно получим то каждое из полученных уравнений равносильно уравнению которое имеет не менее одного решения при любых K, a, b. Будем считать K бифуркационным параметром. Пусть w — решение задачи (5.4)–(5.6) для некоторого значения параметра K. Положим u(x, t) = w + v(x, t). Тогда где Здесь vgi = v(gi (x)), wgi = w(gi (x)). Будем рассматривать оператор : D() Lp (Q) Lp (Q) с областью формуле (5.10). Если выполнены условия леммы 5.1, то в силу этой леммы и sin wgi = 0. Тогда v = Dv v. Известно, что оператор : D() L2 (Q) L2 (Q), определенный по этой формуле, самосопряженный, спектр () дискретный и () (, 0). По теореме из [32, § 5.4.4] спектр оператора : D() Lp (Q) Lp (Q) не зависит от p. Таким образом, если выполнены условия леммы 5.1, то (1) задача (5.1)–(5.3) имеет пространственно-однородное стационарN (2) спектр линеаризованного оператора : D() Lp (Q) Lp (Q) вещественный и дискретный. Ниже будет показано, что в этом случае задача (5.1)–(5.3) не имеет бифуркационного семейства периодических решений в окрестности пространственно-однородного стационарного решения. Поскольку условие 5.3 выполнено при почти всех 1. N Rn, то будем предполагать, что выполнено следующее условие, являющееся необходимым для существования бифуркационного семейства периодических решений. Условие 5.4. gi (Q) Q, i = 1. N. Тогда пространственно-однородное стационарное решение задачи (5.1)– (5.3) удовлетворяет трансцендентному уравнению Условие 5.5. 1 + K sin w i = 0, где w — решение уравнения (5.12) для K = K. Из теоремы о неявной функции вытекает следующее утверждение (см. лемму 2 в [19]). Лемма 5.2. Пусть выполнено условие 5.5. Тогда для некоторого 0 > 0 существует аналитическая функция w = w(), (0, 0 ), удовлетворяющая уравнению (5.12) при K = K +, причем w(0) = w. В дальнейшем будем предполагать, что условия 5.4, 5.5 выполняются. Положим K = K +. Тогда по лемме 5.2 в некоторой окрестности точки = 0 существует аналитическая функция w = w(), удовлетворяющая уравнению (5.12) для K = K +, такая, что w(0) = w. Запишем решение u(x, t) = u(x, t, ) задачи (5.1), (5.2) в виде u(x, t, ) = w() + v(x, t, ). Уравнение (5.9) примет вид Введем оператор () : D(()) Lp (Q) Lp (Q) с областью () = fv (0, ). Уравнение (5.13) примет вид где Обозначим 0 = (0). Ясно, что Рассмотрим теперь линеаризованный эллиптический функциональнодифференциальный оператор (). В дальнейшем будем предполагать, что выполняется следующее условие. Условие 5.6. w = m, m Z. В противном случае оператор 0 : D(0 ) L2 (Q) L2 (Q) самосопряженный и, следовательно, его спектр вещественный. Введем линейный неограниченный оператор A0 : D(A0 ) Lp (Q) по формуле A0 v = Dv, v D(A0 ). Определим также ограниченный оператор Ag : Lp (Q) Lp (Q) по формуле где ai = Ki sin w. Очевидно, что 0 = A0 + Ag I. Обозначим через B(Lp (Q)) пространство линейных ограниченных опенорма оператора из B(Lp (Q)). Следующая лемма была доказана в работе [28] при N = 1, т. е. для (Ag v)(x) = av(g(x)). Лемма 5.3. Пусть выполнены условия 5.2, 5.4, 5.5 и 5.6. Тогда для любого /2 0 такое, что Рассмотрим оператор 0 I : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q), где (A0 I). Очевидно, В силу (5.17) имеем поэтому Значит, оператор 0 I имеет ограниченный обратный (0 I)1 : Lp (Q) Lp (Q) для q0, где q0 = max<2M1 Ag p, q>. Более того, || || + ||/ sin для S. Поэтому из (5.18) следует (5.16) для M = 2M1 (1 + 1/ sin ). Компактность резольвенты (0 I)1 : Lp (Q) Lp (Q) для (0 ) следует из теоремы Банаха об обратном операторе и компактности вложения Wp (Q) в Lp (Q). Дискретность спектра вытекает из теоремы об операторе с компактной резольвентой (теорема 1.20). Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1. Действительно, оператор A0 : D(A0 ) L2 (Q) L2 (Q) самосопряженный. Поэтому, как известно [12, гл. V, § 3], спектр (A0 I) вещественный и Так как оператор Ag ограничен, получим Очевидно, для (A0 I) можно записать Более того, по лемме 5.3 спектр (0 ) дискретный. Интегрируя по частям, для u D(0 ) мы имеем Лемма 5.4. Пусть выполнены условия 5.2, 5.4, 5.5 и 5.6. Предположим, что gi C (Q) и Jgi (x) = 0, x Q, где Jgi (x) — якобиан преобразования gi (x), i = 1. N. Тогда спектр оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q) для любого p > Ag 2 >. Доказательство. 1. Следуя доказательству аналогичной леммы 3. в [28], вначале докажем, что спектр оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q) не зависит от p. Пусть us (x) — собственная функция оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q), соответствующая собственному значению s. Тогда us Wp (Q) является решением краевой задачи По условию преобразования gi (x) невырожденные и gi C (Q), i = 1. N. Поэтому правая часть уравнения (5.22) принадлежит Wp (Q). Следовательно, по теореме о гладкости обобщенных решений эллиптических задач [32, § 5.4.1] имеем us Wp (Q). Используя эти рассуждения k раз, мы получим us Wp (Q). В силу произвольности k из теоремы вложения имеем us C (Q). Поэтому us является собственной функцией оператора 0 : D(0 ) Lp1 (Q) Lp1 (Q), соответствующей собственному значению s, для любого p1 > 1. Таким образом, спектр оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q) не зависит от p. 2. Поскольку спектр оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q) не зависит от p, рассмотрим оператор 0 : D(0 ) L2 (Q) L2 (Q). По Лемма 5.5. Пусть выполнены условия 5.1, 5.2, 5.4, 5.5 и 5.6. Предположим, что преобразования gi C 1 (Q) таковы, что gi (x) x и |Jgi (x)| 1, x Q, i = 1. N. Тогда оператор 0 : D(0 ) L2 (Q) L2 (Q) самосопряженный. Доказательство. Из условия gi (x) x, x Q, i = 1. N, и условия 5.5 следует gi (Q) = Q, i = 1. N. Действительно, так как преобразование gi взаимно однозначно, из gi (x) x получим gi (x) = gi (x), x Q. Согласно условию 5.4, gi (Q) Q. Следовательно, любая точка x Q имеет прообраз gi (x) = gi (x) Q. Таким образом, gi (Q) = Q. Поскольку |Jgi (x)| 1, gi (x) x и gi (Q) = Q, x Q, i = 1. N, с помощью замены переменных y i = gi (x) получим для всех u, v L2 (Q). Таким образом, ограниченный оператор Ag : L2 (Q) L2 (Q) самосопряженный. Поскольку 0 = A0 I + Ag, то оператор 0 : D(0 ) L2 (Q) L2 (Q) самосопряженный. 5.4. Бифуркация периодических решений В этом пункте, следуя [54] и используя результаты из §§ 5.1–5.3, получим теорему о бифуркации периодических решений задачи (5.1), (5.2). Будем предполагать, что линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор 0 : D(0 ) L2 (Q) L2 (Q) c областью определения D(0 ) = , заданный по формуле является нормальным. Это позволит использовать базисность в L2 (Q) собственных функций оператора 0. Кроме того, такое предположение естественным образом выполняется для наиболее часто используемых на практике физических постановок задач (см. [11, 19, 50, 56]). Поскольку нормальность оператора 0 эквивалентна нормальности оператора 0 + I, применим теорему 2.3 из § 2.2 совместно с условиями 3.1 и 3.2 из § 3.1 и получим следующие результаты. Теорема 5.1. Пусть выполнены условия 3.1 и 3.2. Тогда оператор 0 — нормальный. Исследование бифуркации периодических решений задачи (5.1), (5.2) проводится по той же схеме, что и в случае одного преобразования пространственных переменных (см. [54]). Для полноты изложения приведем его целиком. В силу теоремы 2.2 из § 2.2 будем считать, что M > 0, иначе оператор 0 окажется самосопряженным. Пусть T = Q(0, T ). Обозначим через W2 (T ) пространство функций из L2 (T ) таких, что все их обобщенные производные вплоть до второго порядка по x и первая обобщенная производная по t принадлежат пространству L2 (T ). Это банахово пространство с нормой Из леммы 2.3 в [54] вытекает следующее утверждение. Лемма 5.6. Пусть выполнены условия 5.2 и 5.4, и пусть C (R) — вещественнозначная функция такая, что |(m) (y)| C при y R, m = 1, 2. где C > 0 не зависит от y, m. Тогда отображения v (vgi ) (i = 1. N ) из W2 (T ) в L2 (T ) являются аналитическими в каждой точке пространства W2 (T ). Из лемм 5.2, 5.6 вытекает следующее утверждение. Лемма 5.7. Пусть выполнены условия 5.2, 5.4, 5.5. Тогда отображения (v, ) ()v, (v, ) N (v, ) из W2 (T ) (0, 0 ) в L2 (T ) являются аналитическими в некоторой окрестности точки (0, 0). В силу леммы 5.7 представим оператор ()v в виде где Из теоремы 5.1 и лемм 3.2, 5.3 вытекает следующее утверждение. Теорема 5.2. Пусть выполнены условия 3.1 и 3.2. Тогда в L2 (Q) существует ортонормированный базис, состоящий из собственных функций оператора 0. Из леммы 5.3 следует, что оператор () имеет компактную резольвенту. Следовательно, спектр (()) дискретный. Обозначим через s () = s () + is (), s = 1, 2. собственные значения оператора (). Из леммы 4.13 следует, что s () и s () бесконечно дифференцируемы при достаточно малых. В дальнейшем будем предполагать, что выполнено следующее условие. Условие 5.7. При = 0 существуют в точности два простых чисто мнимых комплексно сопряженных собственных значения 1 (0) = i, 2 (0) = i оператора 0 : D(0 ) Lp (Q) Lp (Q), так что 1 (0) = 2 (0) = 0, 1 (0) = 2 (0) =. При этом выполнено > 0 и Замечание 5.2. Условие 5.6 следует из условия 5.7. Действительно, при нарушении условия 5.6 оператор 0 становится самосопряженным, а его спектр — вещественным, откуда следует нарушение условия 5.7. Кроме того, если условие 5.7 выполнено, то преобразования g1. gN не удовлетворяют условиям леммы 5.5. Обозначим через u1 (x) = p(x)+iq(x) собственную функцию оператора 0, соответствующую собственному значению 1 (0). Будем считать, что = 1. Через M1 обозначим собственное подпространство опеu1 L2 (Q) ратора 0, соответствующее собственному значению 1 (0). Пусть P1 — оператор ортогональной проекции на M1 в пространстве L2 (Q). Лемма 5.8. Пусть выполнены условия 5.5, 3.1, 3.2, 5.7. Тогда Доказательство. В силу условий 5.5, 3.1, 3.2, 5.7, компактности резольвенты R(, 0 ) : L2 (Q) L2 (Q) и ограниченности операторов 1, 2 в L2 (Q) получим, что выполнены условия теоремы 2.6 в [12, гл. VIII, § 2]. По этой теореме и теореме 5.2 мы имеем где 1 — собственное значение оператора P1 1, действующего в одномерном подпространстве M1. Тогда, учитывая, что u1 = 1, получим d1 () Введем новую переменную времени = t, где = () — неизвестная частота. Тогда уравнение (5.14) примет вид 1 N (v, ). Очевидно, что в силу условия 5.7 оператор (0) имеет пару комплексно сопряженных собственных значений ±i. Чтобы изучать 2-периодические решения уравнения (5.24) с условием Неймана на границе 2 = Q (0, 2), введем подпространство Периодическое решение уравнения (5.24) задается вектор-функцией Введем неограниченный оператор T : D(T ) L2 (2 ) L2 (2 ) с областью определения D(T ) = W2,N (2 ), действующий по формуле Очевидно, что оператор T : W2,N (2 ) L2 (2 ) ограничен. Обозначим через N (T ) и R(T ) соответственно ядро и образ оператора T. Зададим формально сопряженный оператор T : D(T ) L2 (2 ) L2 (2 ) с областью определения D(T ) = W2,N (2 ) по формуле Лемма 5.9. Пусть выполнены условия 5.5, 3.1, 3.2, 5.7. Тогда N (T ) = N (T ), dim N (T ) = 2 и R(T ) = N (T ). Кроме того, функции образуют ортонормированный базис в N (T ). 1. В силу леммы 5.3 спектр (0 ) дискретный. Поэтому существует эквивалентное скалярное произведение в подпространстве По теореме 5.2 собственные функции us (s = 1, 2. ) оператора 0, соответствующие собственным значениям s = s 1, образуют ортоs |2 + 1 образуют нормированный базис в L2 (Q). Тогда функции us ортонормированный базис в W2,N (Q) с эквивалентным скалярным произведением (5.25). Поэтому функции exp(ikt)us (x) 2 (s = 1, 2. k = 0, ±1, ±2. ) образуют ортонормированный базис в L2 (2 ), а функs |2 + k 2 + 1) образуют ортонормированный бации exp(ik )us (x) зис в W2,N (2 ) с эквивалентным скалярным произведением, заданным формулой Рассмотрим уравнение имеет вид Из уравнений (5.27), (5.28) получим По условию 5.7 имеем С другой стороны, поскольку коэффициенты оператора 0 вещественны, имеет место u2 (x) = u1 (x). Отсюда Таким образом, произвольный элемент из N (T ) имеет вид (5.29), поэтому dim N (T ) = 2. В силу леммы 3.2 и теоремы о собственных функциях и собственных значениях ограниченных нормальных операторов (теорема 1.7), функции u1 (x) и u1 (x) являются собственными функциями оператора, отвечающими собственным значениям i и i соответственно. Следовательно, N (T ) = N (T ). Очевидно, что u2 (x) = u1 (x) ортогональны в L2 (Q), получим Из равенств (5.30)–(5.32) получим Таким образом, функции 1, 2 образуют ортонормированный базис в 2. Очевидно, что R(T ) N (T ) = N (T ). Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим уравнение Покажем, что уравнение (5.33) имеет решение при любом f N (T ). Разложение функции f в ряд Фурье имеет вид где f11 = f1,2 = 0. Рассмотрим функцию v(x, ), заданную рядом Фурье где В силу леммы 5.40 существует M > 0 такое, что для всех |k|, s > M где c1 > 0 не зависит от k, s. Из оценки (5.35) следует, что ряд (5.34) сходится в пространстве W2,N (2 ) с эквивалентным скалярным произведением (5.26). Очевидно, что функция v(x, ) является решением (5.33). Получим теорему о бифуркации периодических решений задачи (5.1), (5.2) в окрестности пространственно-однородного стационарного решения w. Теорема 5.3. Пусть выполнены условия 5.5, 3.1, 3.2, 5.7. Тогда для некоторого 0 > 0 существует непрерывная векторфункция (v(), (), ()) из [0, 0 ] в W2,N (2 ) R R. Эта функция аналитическая на интервале (0, 0 ) и удовлетворяет условиям Функция u(x, t, ) = w(()) + v(x,, ) является 2(())1 -периодическим по t решением задачи (5.1), (5.2), где = ()t. Доказательство. Введем обозначение R = P (W2,N (2 )), где P — оператор ортогонального проектирования на R(T ) в пространстве L2 (2 ). () = (x,, ) R, (0) = 0. Тогда уравнение (5.24) можно записать в виде Разложение по системе функций имеет вид = c1 1 +c2 2, где c2 + c2 = 1. Очевидно, что = c1 2 + c2 1, таким образом, N (T ). Применяя операторы ортогонального проектирования на подпространство R(T ) и на одномерные подпространства, порожденные функциями 1, 2, из уравнения (5.36) будем иметь Уравнения (5.37)–(5.39) можно записать в виде нелинейного уравнения В силу леммы 5.7 отображение F : R R R R R(T ) R R является аналитическим в некоторой окрестности точки (0, 1, 0, 0). Нетрудно убедиться, что производная Фреше F отображения F по переменным (,, ) в точке (0, 1, 0, 0) имеет вид Из леммы 5.9 следует, что оператор T : R R(T ) имеет ограниченный обратный T 1. Следовательно, оператор F имеет ограниченный обратный (F )1 тогда и только тогда, когда Вычисляя определитель, получим Из леммы 5.8 и условия 5.7 получим, что d = 1 1 (0) = 0. Следовательно, по теореме о неявном операторе [31, теорема 36.5, гл. IX, § 36] существует вектор-функция ((), (), ()) из R в W2,N (2 )RR, непрерывная на [0, 0 ] и аналитическая на (0, 0 ) для достаточно малых 0 > 0. Кроме того, (0) = 0, (0) = 1, (0) = 0. В этом пункте, следуя [28] и используя результаты из §§ 5.1–5.3, получим теорему о бифуркации Андронова—Хопфа периодических решений задачи (5.1), (5.2). В отличие от подхода, примененного в § 5.4, в настоящем пункте не предполагается, что линеаризованный функционально-дифференциальный оператор 0 является нормальным. Это расширяет класс допустимых преобразований пространственных переменных g1. gN. Обозначим через C2 (X) пространство всех -непрерывных по Гельдеру 2-периодических функций : R X с нормой Тогда отображения v (vgi ) (i = 1. N ) из C2 (Wp (Q)) в C2 (Lp (Q)) являются аналитическими в каждой точке пространства C2 (Wp (Q)), где p > n/2. Из лемм 5.2, 5.10 вытекает следующее утверждение. Лемма 5.11. Пусть выполнены условия 5.2, 5.4, 5.5. Тогда отображение (v, ) f (v, ) из C2 (Wp (Q)) (0, 0 ) в C2 (Lp (Q)) является аналитическим в некоторой окрестности точки (0, 0). Чтобы изучать решения уравнения (5.13) с неизвестным периодом, положим = ()t, где () — неизвестная частота, близкая к 1. Рассмотрим теперь 2-периодические решения уравнения Теорема 5.4. Пусть выполняются условия 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.7. Зафиксируем (0, 1) и p > n/2. Тогда: 1. Существуют некоторое 0 > 0 и аналитическая вектор-функция (v(), (), ()) из (0, 0 ) в C2 (Wp,N (Q)) C2 (Lp (Q)) R R такая, что v(0) = 0, (0) = 1, (0) = 0 и v() не постоянна по при 2. Функция u(x, t, ) = w(()) + v(x,, ) является 2(())1 -периодическим по t решением задачи (5.1), (5.2), где = ()t. При 3. Более того, существует 0 > 0 такое, что если, R и v C2 (Wp,N (Q)) C2 (Lp (Q)) удовлетворяют условиям то существуют [0, 2) и (0, 0 ) такие, что = (), Теорема 5.4 доказывается методом, развитым в работах [28, 39]. Для полноты изложения приведем это доказательство целиком. 1. Начнем с вспомогательных результатов. Обозначим через L сужение оператора на пространства вещественнозначных функций. В силу лемм 5.3, 5.11 и леммы 4.13 существует 1 (0, 0 ) и функции ()(r() + is()) = (() + i())(r() + is()), Положим e1 = r(0), e2 = s(0). Тогда т. е. В силу леммы 5.3 и теоремы 5.2 в [49, гл. 2] оператор 0 является генератором аналитической полугруппы T в Lp (Q). Поэтому из (5.43) и теоремы 8.3 в [49, гл. 1] следует Таким образом, Обозначим через X подпространство в Lp (Q), натянутое на векторы e1 и e2. Положим X = Пусть q = p/(p 1). Тогда существуют 1, 2 Lq (Q) такие, что Поскольку операторы L0 и P коммутируют, то из (5.44), (5.45)–(5.47) получаем 2. Положим F (v,, ) = v 1 f (v, ). В силу леммы 5.11 отображение F : C2 (Wp,N ) C2 (Lp (Q)) (0, 2) (0, 0 ) C2 (Lp (Q)) аналитическое в некоторой окрестности точки (0, 1, 0). Очевидно, что Fv (v,, ) = 1 fv (v, ). Следовательно, По теореме 4.9 имеем N (Fv (0, 1, 0)) = , Поскольку dim X = 2, а P (Lp (Q)) = X, имеет место dim N (Fv (0, 1, 0)) = 2, codim R(Fv (0, 1, 0)) = 2. Поэтому существует замкнутое подпространство V C2 (Wp,N (Q))C2 (Lp (Q)) такое, что C2 (Wp,N (Q))C2 (Lp (Q)) = N (Fv (0, 1, 0)) V. Введем отображение : V (0, 2) (0, 0 ) (1, 1) C2 (Lp (Q)) по формуле Очевидно, что аналитическое в некоторой окрестности точки (0, 1, 0, 0), причем (0, 1, 0, 0) = 0. 2014 www.av.disus.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы» Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам. Область науки: Математика, Механика и Информатика Проект посвящен развитию новых качественных и геометрических методов исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, их применению к уравнениям Власова (кинетика высокотемпературной плазмы), проблеме Като о квадратном корне из оператора, математической биологии и математической медицине. http://av.disus.ru/metodichka/1818428-1-em-varfolomeev-rossovskiy-funkcionalno-differencialnie-uravneniya-prilozheniya-issledovaniyu-neyronnih-setey-peredache-informacii-neliney.php http://www.rudn.ru/science/research-projects/39701
«ГОСУДАРСТВЕННАЯ КОМИССИЯ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР ПО ПРОДОВОЛЬСТВИЮ И ЗАКУПКАМ ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ПРИ КОМИССИИ Всесоюзный ордена Знак Почета сельскохозяйственный институт заочного образования Московский ордена Трудового Красного Знамени институт инженеров сельскохозяйственного производства им. В. П. Горячкина МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ДИСЦИПЛИН МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ студентам-заочникам по специальности 03.01.00 –. »«Рекомендации по написанию и оформлению дипломной работы слушателями ИПКиПК Общие положения Курсовая работа является видом самостоятельной работы слушателя, осваивающего образовательную программу переподготовки и представляющая собой решение учебной задачи по изучаемой учебной дисциплине в соответствии с установленными к курсовой работе требованиями. Она может носить характер аналитико-оценочного обзора литературы по заданной проблеме или являться описанием результатов исследования, проведённого. »«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ _ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пензенский государственный университет архитектуры и строительства (ПГУАС) Н.Ю. Макейкина, А.А. Бреусов ЭСТЕТИКА АРХИТЕКТУРЫ И ДИЗАЙНА Рекомендовано Редсоветом университета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 270100 Архитектура (магистратура) Под общей редакцией доктора технических наук, профессора Ю.П. »«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОБОРУДОВАНИЕ ПРЕДПРИЯТИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫХ ПРОИЗВОДСТВ Методические указания для выполнения курсовых работ по одноименной дисциплине для студентов специальности 1-48 01 05 Химическая технология переработки древесины специализации 1-48 01 05 04 Технология целлюлозно-бумажных производств очной и заочной форм обучения Минск 2007 УДК 676 (075.8) ББК 35.77я7 О-22 Рассмотрены и рекомендованы к изданию. »«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАИНЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет Авторы: В. П. Довгун В. Б. Лыкова П. А. Барыбин КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ И УСТРОЙСТВ Методические указания по самостоятельной работе Красноярск 2008 2 Оглавление 1. Введение 2. Курсовая работа Расчет и компьютерное моделирование электронных цепей 3. Самостоятельное изучение отдельных разделов курса 4. »«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В.Е. Семенов АНАЛИЗ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ В СОЦИОЛОГИИ Учебное пособие Владимир 2009 УДК 316.1 ББК 60.504 С30 Рецензенты: Доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой социально-гуманитарных дисциплин Владимирского филиала Российской академии государственной службы при президенте РФ Е.А. Плеханов Доктор философских наук, профессор. »«Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения Российской Федерации ОТЧЕТ о результатах самообследования Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения Российской Федерации за 2013 год Владивосток 2014 СОДЕРЖАНИЕ СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ. »«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Институт государственного администрирования Утверждаю Проректор по учебной работе Н.Д.Бережнова __ 2013г. Рабочая программа учебной дисциплины Коммуникационный менеджмент (Наименование дисциплины) 080200.62 Менеджмент (Направление подготовки) Бакалавриат (уровень подготовки) Экономика и управление Факультет Государственного администрирования Кафедра разработчик Трудоемкость дисциплины Очная Вид учебной. »«Седьмое издание, переработанное УДК 347(075.8) ББК 67.404я73 П32 Пиляева В.В. П32 Гражданское право в вопросах и ответах : учебное пособие / В.В. Пиляева. — 7е изд., перераб. — М. : КНОРУС, 2012. — 448 с. ISBN 978-5-406-01835-4 В пособие входят все вопросы курса, включаемые в билеты для экзаменов, зачетов, семинаров в соответствии с государственными стандартами; отражены все изменения и новеллы ГК РФ. Пособие подготовлено на основе действующего. »«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет географии и геоэкологии Лачининский С.С., Литовка Л.О. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ КУРСОВЫХ РАБОТ Направление – ГЕОГРАФИЯ Специализации – Экономическая и социальная география, Региональная политика, Страноведение и Международный туризм Санкт-Петербург 2007 При подготовке методических рекомендаций были использованы Методические указания по подготовке, оформлению и защите курсовых работ (2001 г.). »«Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра Управление эксплуатационной работой Г.В. Санькова, Т.А. Одуденко ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПЕРЕВОЗОЧНОМ ПРОЦЕССЕ Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2012 УДК. »«Методика преподавания математики в начальных классах Учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения Барнаул — 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования АЛТАЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Методика преподавания математики в начальных классах Учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения БАРНАУЛ – 2011 2 ББК 74.262.21–7 М 545 Методика преподавания. »«by УДК 677.021.16 /.022 проф. Коган А.Г., асс. Замостоцкий Е.Г. tu. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования Витебский государственный технологический университет vs in. lsp Программы третьей и четвертой технологических практик: методические указания для студентов специальности 1-500101 Технология пряжи, тканей, трикотажа и нетканых материалов специализаций 1- 50 01 01 01 Прядение натуральных волокон, 1- 50 01 01 03 Первичная /be переработка и прядение лубяных волокон. »«АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРА 2011 МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра государственного и административного права АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Методические указания для студентов очной и заочной формы обучения специальности 030501.65 Юриспруденция Составитель: к.ю.н., доц. Н.П. Варфоломеева Самара Издательство Универс групп. »«Раздел Пояснительная записка Рабочая программа по окружающему миру составлена на основе следующих нормативных документов: Федеральный государственный стандарт НОО ( Приложение к приказу Минобрнауки России от 06.10.2009г. №373) ООП общеобразовательного учреждения ( утверждена приказом № от ) Примерная программа начального образования по окружающему миру. Авторская программа по окружающему миру: И Потапова, Г.Ивченковой, Е. Саплиной. Астрель, 2011. Письмо Департамента образования Ярославской. »«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ А.А. Титов ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие Томск – 2010 2 Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра радиоэлектроники и защиты информации (РЗИ) УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой РЗИ доктор технических наук, профессор _ А.С. Задорин _2010 г. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие для студентов специальностей. »«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ И УЧЕБНО-ОРГАНИЗАЦИОННОЙ РАБОТЫ: ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТА В КОНТЕКСТЕ СОВРЕМЕННЫХ ТЕНДЕНЦИЙ В СФЕРЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Материалы Республиканской научно-методической конференции (Гомель, 13–14 марта 2014 года) В четырех частях Часть 1 Гомель ГГУ им. Ф. Скорины 2014 1 УДК 378.147(476.2) Материалы Республиканской. »«1 Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет БАЛАНСОВОЕ ОБОБЩЕНИЕ Методические указания к выполнению расчётного задания по дисциплине Бухгалтерский учёт (основы) для студентов 2 курса дневной формы обучения специальностей 7.050106 Учёт и аудит, 7.050107 Экономика предприятий, 7.050201 Менеджмент организаций Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК Балансовое обобщение. »«Итоги деятельности НБ КГПУ в 2008 году Практически весь 2008 год в КГПУ им. В. П. Астафьева прошёл под знаком аттестации. Поэтому основными направлениями деятельности библиотеки являлись: качественное и наиболее полное комплектование фонда учебно-методической литературой в соответствии с существующими нормативами, расширение ресурсной базы (в т.ч. пополнение фонда электронных ресурсов), внедрение в деятельность библиотеки системы менеджмента качества. Соответственно, работа НБ КГПУ в этот. »«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет В. Ф. Коренский ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, МАШИН И МАНИПУЛЯТОРОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03 В двух частях Часть 1 ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН Новополоцк ПГУ 2008 УДК 621-01(075.8) ББК 34.41я73 К66 Рекомендовано к изданию советом машиностроительного факультета в качестве учебно-методического комплекса. »
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.Линейные и нелинейные дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения
Научное направление: Математика и теоретическая физика: моделирование динамических систем