Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

Ответ: (-1) к+1 /6 + k, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.

Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = /4 + m, m€z,

х = arctg 2 + k, k€z.

Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 42 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 42t + 3 = 0

t = 2/2 и t = 32/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,

х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.

Ответ: (0; /2 + k) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = /2 + k, k€z

Ответ: /2 + k, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1

0 cos 2 х 1

0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2

2 2 + cos 2 х 3

sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2

-2 sin 5х + sin х 2, т.е.

sin 5х + sin х 2,

имеем левая часть 2, а правая часть 2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).

Ответ: /2 + k, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

1. cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
2. cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
3. cos х = 0, х = /2 + k, k€z.

Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х₁ = /5 + 2/5k, х₂ = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 t 1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t₁ = 1/2, t₂ = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к //12 + k /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin а1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = /2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = /2 + 2k, k€z.

Ответ: /2 + 2k, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = /3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – /3),

cos x + cos (2х – /3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – /3) = 2 cos (3х/2 – /6) cos (/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – /6) = 0, и

cos (/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = (а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/(а 2 + 16), и cos y = а /(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии 5/(а 2 + 16) 1.

Решим это неравенство:

5/(а 2 + 16) 1, обе части умножим на (а 2 + 16):

5 (а 2 + 16),

(а 2 + 16) 5,

а 2 + 16 25,

а 2 9, или

а 3, следовательно

а € (-;-3] U [3; ).

Ответ: (-;-3] U [3; ).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 sin 2 x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = /2 + n, n€z, и x +2 а = 2 к, к€z;

х = /2 + n, и x = – 2 а + 2 к;

/2 + n = – 2 а + 2 к;

2 а = 2 к – /2 – n;

а = к – /4 – n/2;

а = – /4 + /2 (2к – n);

а = – /4 + m/2, m€z.

Ответ: – /4 + m/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.

Методика решения тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочее.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии и продолжают в 10-11 классах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методика решения тригонометрических уравнений

Учитель математики МОБУ СОШ № 19

МО КОреновский район

Выскребец Татьяна Владимировна

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочее.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии и продолжают в 10-11 классах.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

13. Примеры для самостоятельного решения

Простейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
,
,
;
,
,
.
Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения этой совокупности является семейство , а второго – семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде .
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: абитуриенты записывают решение , однако они не учитывают, что , следовательно, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: Æ

Пример 3. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим

Далее многие абитуриенты для нахождения х возводят левую и правую часть уравнения (4) в квадрат, не учитывая, что , а это влечет за собой . Так как последнему неравенству удовлетворяют только , то

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

Является решением совокупности уравнений

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество , уравнение представим в виде

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим

ОДЗ уравнения (6) являются все , за исключением . На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет решение , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ:

[свериться с ответом]

1. При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

1. При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество , осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

Решение однородных уравнений.

где – действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

а также тождество

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на , получим равносильное уравнение . Откуда находим семейство , представляющее собой решение исходного уравнения (3).
Ответ: .

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (4) не является однородным, однако его можно преобразовать к однородному, если представить единицу следующим образом

Тогда уравнение (4) примет вид

которое равносильно совокупности трех уравнений

Решая их, найдем
Ответ:

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на :

то существует угол φ такой, что

Тогда уравнение (1) примет вид

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив получим
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

1. При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Решение уравнений с применением формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

Решение.
Применив формулы и , приведем уравнение к виду

Далее осуществим ряд простых преобразований:

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Решение первого из них есть , второго – , третьего –
Решением исходного уравнения является объединение полученных множеств.
Ответ: ; ;

Примеры для самостоятельного решения:

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

1. При всех значениях а и b решить уравнение .

[свериться с ответом]

1. При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: при Ø при

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.

При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу (2), получим

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Откуда и
Ответ: ;

Решение.
Применив формулы понижения степени, уравнение (3) приведем к виду:

В соответствие с формулой (2), получаем равносильное уравнение

откуда имеем совокупность трех уравнений

Следовательно,
Объединив два последних множества решений, получим

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

1. При всех значениях a решить уравнение .

[свериться с ответом]

Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

где R – рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .
Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ:

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

Ответ:

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.

Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Промежутку [-3;+∞) принадлежат и .
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Множеству (-∞;-3) принадлежат .
Ответ: ; ;

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Преобразуем уравнение (3) к виду

Так как , то уравнение (4) на ОДЗ равносильно совокупности двух систем

Уравнение из первой системы равносильно совокупности двух уравнений , а решением неравенства является множество . Из решений указанному множеству принадлежат .
Во второй системе совокупности (5) уравнение имеет решения , множеству (решение неравенства ) принадлежат , .
Ответ: ; , .

[свериться с ответом]

1. Найти все решения уравнения

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

Ответ: при при при

Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства: , , .
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Проведем равносильные преобразования:

Так как , а , то ;
так как , а , то .
Сумма вдух неположительных слагаемых в (2) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Значит, уравнение (2) равносильно системе

Решением первой совокупности системы (3) являются углы , а решением второй — . Общими являются углы .
Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Используя прием, изложенный в примере 1, сведем уравнение (4) к равносильной системе:

Находя решение каждой совокупности системы (5), нетрудно установить, что общими будут углы .
Ответ:

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

[свериться с ответом]

1. При каких значениях a уравнение имеет единственное решение?

[свериться с ответом]

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x) , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X , то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении . Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.
Пример 1. Решить уравнение

Преобразуем уравнение (1) к виду

Так как , а , то последнее уравнение равносильно системе

Второе уравнение системы (2) имеет единственный ко рень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 — корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2

Пример 2. Решить уравнение

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем исходное уравнение в равносильном виде

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: