Функциональные методы решения уравнений с параметрами

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Исследование свойств функций, как способ решения уравнений и неравенств с параметром в заданиях ЕГЭ.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Исследование свойств функций, как способ решения уравнений и неравенств с параметром в заданиях ЕГЭ.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер, при изучении отдельных тем.

Наиболее часто используются следующие свойства функций:

свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса);

свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;

кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации);

периодичность функций и др..

В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций.

Характеристика задания 16 ЕГЭ профильный уровень

Проверяемые требования (умения)

Коды проверяемых требований к уровню подготовки (по кодификатору)

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору)

Уровень сложности задания

Максимальный балл за выполнение задания

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне, в минутах

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне, в минутах

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1. – 2.3. Уметь решать уравнения и неравенства.

5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)

Классификация задач, решаемых функциональными методами:

1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x , a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от параметра а, принимающего допустимые значения.

2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и в задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию y = x 2 -5 x +6 на промежутке [ t ; t +2] при всех значениях t .

3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.)

4. При решении задач четвертого типа можно опереться на определение свойств функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально — графический способы (графическую интерпретацию).

Рассмотрим задачи относящиеся к первому типу. Для решения задач этого типа следует знать и помнить области определения всех элементарных функций, изучаемых в школьном курсе.

Может оказаться, что для двух функций f ( t ) и g ( t ) пересечение их областей определения содержит всего лишь несколько значений переменной. Тогда в случае решения уравнения f ( t ) = g ( t ) или неравенства f ( t ) > g ( t ) их будет достаточно проверить подстановкой в уравнение или неравенство.

В случае, когда t = φ ( x , a ), задача становится задачей с параметром.

Начинать же следует решения подобных уравнений и неравенств без параметра, а затем переходить к задачам нахождения областей определения функций, зависящих от переменной параметра.

В ходе решения данного типа задач, можно взять для рассмотрения следующие задания:

1. Решите уравнение (Ответ: )

2. Определите количество решений уравнения в зависимости от параметра a . (Ответ: )

3. Определите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра a . (Ответ: )

4. Решите неравенство . Ответ: 1

5. При каких a неравенство :

а) имеет решение; (Ответ: )

б) имеет более одного решения? (Ответ: )

Знание области значений функции оказывается полезным при решении уравнений и неравенств в следующих случаях:

В данном разделе можно предложить для рассмотрения следующие задания:

1) При каких a уравнение имеет решение? ( Ответ: -5≤ a ≤ 5)

2) Решите уравнение . (Ответ: )

Функциональный метод используется в обосновании классических методов решения неравенств (теорем равносильности, методов интервалов), для решения задач, которые другими методами решить нельзя, при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Презентация к уроку элективного курса «Функциональный и графический методы решения линейных уравнений с параметрами.»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) по теме

Данная работа является электронным приложением к уроку №2 «Функциональный и графический методы решения линейных уравнений с параметрами.» в рамках элективного курса для 10 класса «Уравнения и неравенства с параметром».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Домашнее задание. Решить уравнение с параметром: a ) 2x- a =4 b ) c) |x — a | = 3 d) |x — 2|= b e) f ) g )

Функциональный и графический методы решения линейных уравнений с параметрами. Тема 2 Урок 1(2) МБОУ СОШ №76 п. Гигант Учитель : Прилука Т.И.

Цели занятия узнать , как влияют параметры на расположение графика линейной функции; научиться анализировать рисунки, содержащие график линейной функции; научиться выбирать ответ, исходя из анализа графика.

Справочные сведения. Линейная функция задаётся формулой y= k x+ b , где x,y , k и b . Графиком линейной функции является ,расположение которой зависит от . Угловой коэффициент определяет Коэффициент определяет переменные параметры п рямая линия параметров k и b . k угол наклона к положительному направлению оси абсцисс. b сдвиг прямой вдоль оси Оy .

Угловой коэффициент k определяет угол наклона к положительному направлению оси абсцисс. При k >0 этот угол острый, при k 0 вверх, при b 0. k Мне нравится