Функциональный метод решения логарифмических уравнений

Разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений

Презентация к уроку

Цель:

• повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений (потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический);
• расширить представления учащихся о функционально-графическом методе решения логарифмических уравнений;
• акцентировать внимание учащихся, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
• формирование у учащихся умений: сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
• усиление прикладной направленности курса алгебры и начала анализа.

Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе “Алгебра и начала анализа 11” автора А.Г.Мордковича.

Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.

I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали очень сложную тему “Логарифмы”. Что вы уже знаете по этой теме:

1) определение логарифма,

2) свойства логарифмов,

3) логарифмическая функция,

4) логарифмические уравнения,

5) методы решения логарифмических уравнений.

Найдите блок “Блиц опрос” на рабочих листах.

1. Блок “ Блиц опрос”.

1)Вычислить значение выражения.

2) Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение

3) Сопоставить функцию и график. (Приложение 1. Рис.1,2,3,4)

Среди перечисленных функций найти:

А) ограниченную и снизу, и сверху;

Б) монотонно возрастающую.

5) Решите уравнения.

Аристотель говорил , что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом.

Звучит музыка. (Историческая справка)

Вы знаете — открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах “Пифагора-Архита”. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.

И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.

В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – . является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство. Давайте в этом убедимся

Найдите на рабочем листе блок “Звукоизоляция”.

С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент звукоизоляции.

D – коэффициент звукоизоляции.

р₀ – давление звука до поглощения

р – давление звука, прошедшего через стену

A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ

Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то

т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.

Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический. Мы работаем с блоком №III.

Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.

Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму (Приложение 1.Рис.5). Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.

Слайд “Функционально-графический метод решения” (3 разновидности)

1. Использование графических иллюстраций (Приложение 1. Рис.6).

Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа)

2. Использование свойства монотонности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.

y=log₅ (5 x – 4) функция возрастает при x > log₅ 4,

y = 1 – x функция убывает при любом x.

Если x = 1, то log₅ (5 – 4) = 1 – 1, 0=0.

3. Использование ограниченности функций. Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений

<	f(x)=A,
	g(x)=A.

log₃ ((2x-5) 2 +9) = 2-sin 2 6x

Оценим левую часть уравнения (2х-5) 2 +99

В силу возрастания функции y=logt имеем log((2x-5) 2 +9)2.

Оценим правую часть уравнения

0 sin 2 6x 1, -1-sin 2 6x 0, 12-sin 2 6x 2.

<	log3 ((2x-5) 2 +9)2,
	2-sin 2 6x2;

<	log3 ((2x-5) 2 +9)=2,
	2-sin 2 6x=2.

Проверка: 2-sin 2 62.5=2, 2-sin 2 15=2, 2=2 – верно.

Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа “Самостоятельная работа”. Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты.

Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.

Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….

1. 3 x =10-log₂x
2. log₅x=
3. log₂((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5x
4. log₃x=-|x-1|
5. log_0,2(2x-1)=2x 2 -x-16
6. log₅((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8x

Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.

Домашнее задание.

А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:

Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?

y=3 x возрастает на (0;+),

y=10-log₂x убывает на (0;+).

Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что

При х=2, получим 3 2 =10-log₂2?

2. log₅x =

y= , D(y):x0.

Ответ: 5 Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.

3. log₂ ((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5x.

Оценим (x-2) 2 +4, т.к. (x-2) 2 0, то (x-2) 2 +4 4, в силу возрастания функции

у= log₂ t, имеем log₂ ((x-2) 2 +4) 2;

<	log2 ((x-2) 2 +4)2,
	2-sin 2 5x 2;
<	log2 ((x-2) 2 +4)=2,
	(x-2) 2 +4=2;
<	x=2,
	Проверка при х=2.

2-sin 2 10=2,

4. Пример (Приложение1.Рис.7). log₃x=-|х-1|

y= log₃x, D(y)=(0;+ ).

x=1 . Проверкой убеждаемся, что х=1 является корнем уравнения.

2x-1>0, 2x>1, x>.

Функция y= log_0.2 (2x-1) – убывает на (;+). Рис.7

Функция y=2x 2 -x-16 – возрастает на (;+).

Т.к. x₀= – вершина параболы и 2 -3-16, log_0.25=-1, -1=-1.

6. log₅((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8x.

Оценим левую часть уравнения. (4x-5) 2 0, (4x-5) 2 +2525.

Учитывая, что у=log₅t возрастает, имеем log₅((4x-5) 2 +25) 2

Оценим правую часть. -1 — sin 2 8x 0, 1 2- sin 2 8x 2. Приходим к системе

<	log5 ((4x-5) 2 +25)2,
	2-sin 2 8x2;
<	log5 ((4x-5) 2 +25)=2,
	2-sin 2 8x=2.

Решаем одно из уравнений системы.

log₅ ((4x-5) 2 +25)=2, (4x-5) 2 +25=25, 4x-5=0, х=1,25.

При х=1,25 другое уравнение обращается в верное равенство.

Итог.

Мы сегодня разобрали детально 3 разновидности функционально-графического метода. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.

2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.

Предлагаю решить вам следующую задачу.

Задача.Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?

Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:

С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5.Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.

Ответ: примерно 476 лет.

Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ?140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва.

Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.

Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.

2. Функционально-графический метод

Теория:

Точка пересечения единственная, так как y = 2 x — возрастающая функция, а y = 4 − 2 x — убывающая функция. Корнем уравнения 2 x = 4 − 2x является первая координата точки пересечения x = 1 .

Построим в одной системе координат графики функций y = 1 3 x и y = 3 .

Графики функций пересекаются в точке \((-1; 3)\). Значит, уравнение 1 3 x = 3 имеет одно решение x = − 1 .

Итак, из уравнения 1 3 x = 1 3 − 1 мы получили x = − 1 .

Памятка. Методы решения логарифмических уравнений

В памятке рассмотрены основные методы решения логарифмических уравнений

Содержимое разработки

Данная памятка необходима учащимся старших классов для подготовки к ЦТ по математике по теме «Логарифмические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по данной теме.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства логарифмов:

— основное логарифмическое тождество

; ;

; ;

; ;

; ;

— формула перехода к новому основанию

Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

натуральный логарифм (по основанию )

По определению логарифма

Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

_{Решить уравнение .}

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

Введение новой переменной

Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

сделать замену переменной;

решить полученное уравнение;

сделать обратную замену;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).

Решить уравнение .

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg ,

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Приведение к одному основанию

Решите уравнение: .

Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

или ;

Решить графически уравнение:

= 3 – x.

Можно построить графики функций

и

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из

функций у = f(x) возрастает, а другая

y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция

возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при

х = 2 уравнение обращается в верное равенство.