Функция если в экселе система уравнений

Решение систем уравнений в среде Microsoft Excel

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся правил записи арифметических выражений и формул в электронных таблицах;
• повторение алгоритма решения систем уравнений;
• формирование знаний и умений в решении систем уравнений, используя возможности электронных таблиц;

развивающие:

• формирование умений анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии;

воспитывающие:

• осуществление эстетического воспитания;
• воспитание аккуратности, добросовестности.

Тип урока: урок закрепления изученного материала и объяснения нового.

ХОД УРОКА

I. Организационная часть.

Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и ту же информацию можно закодировать любым способом. Перед вами набор чисел. Известно, что каждому числу ставится в соответствие буква в русском алфавите. Расшифруйте эту информацию, кто быстрее!

Ответ: “Знание – сила!”

Молодцы! А знаете, кому принадлежит это выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в Интернете. Остальные отвечают на вопросы: Для чего предназначена программа Excel? (Программа Excel предназначена для хранения и обработки данных, представленных в табличном виде) Что собой представляет документ в Excel? (Каждый документ в Excel представляет собой набор таблиц – рабочую книгу, которая состоит из одного или многих рабочих листов) Какая функция используется для подсчета суммы чисел? (Функция СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит номера ячеек автоматически. Адрес ячейки составляется как объединение номеров столбца и строки без пробела между ними)

Выражение английского философа Френсиса Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к нашему уроку. («Нравственные и политические очерки», 1597).

II. Повторение пройденного материала.

Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel, умеем записывать арифметические выражения и различные формулы, находить значения арифметических выражений и построить графики функций. Чтобы проверить выполнение домашнего задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)

Хорошо, все справились и каждому поставим соответствующие оценки в журнал. А давайте устроим путешествие в математику и вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить систему уравнений”? (Найти такие значения х и у, которые будут удовлетворять и первое уравнение и второе). Какие способы существуют для решения систем уравнений (метод подстановки, метод сложения и графический способ). Сегодня мы с вами научимся решать системы уравнений, используя возможности электронных таблиц.

III. Объяснение нового.

А. Решим систему графическим способом. Преобразуем данную систему . Для решения воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Заполняем столбец А: заполняем ячейки А2:А22 числами от -5 до 5 с шагом 0,5. (в ячейку А2 заносим число -5, в ячейку А3 – число -4,5, выделяем ячейки А2 и А3, установим курсор мыши на правый нижний угол рамки (указатель примет форму черного крестика) и растягиваем рамку вниз, пока последнее значение не станет равным 5). При заполнении столбца В в ячейку В2 заносим формулу =А2*А2, которую затем копируем до ячейки В22. (протянем формулу за правый нижний угол). При заполнении столбца С в ячейку С2 заносим формулу =1-2*А2, копируем ее до ячейки С22. Выделим блок с данными, с помощью Мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная и построим графики функций. Координаты точек пересечения графиков – решения системы.

Получены приближенные значения решений. Чем меньше шаг, тем точнее значение координат точек пересечения.

Запишем алгоритм решения систем уравнений графическим способом:

1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо.

2. Задать начальные значения для Х.

3. Найти значение первой функции при заданных Х.

4. Найти значение второй функции при тех же Х.

5. Выделить блок с данными и построить графики функций, используя точечный тип диаграммы.

6. Решение системы — точка пересечения графиков функций.

7. Для нахождения координат точек пересечения с заданной точностью построить новый график на том отрезке, где находится решение, с шагом, равным значению точности.

Б. Решить систему уравнений . Занесем в электронную таблицу исходные данные и расчетные формулы следующим образом:.

Для решения системы уравнений воспользуемся надстройкой Поиск решения, которая запускается через Сервис (-Надстройки) и заполним диалоговое окно следующим образом:

При нажатии на кнопку Выполнить происходит решение системы уравнений и в ячейках B3 и B4 высвечивается результат.

Запишем примерный алгоритм решения системы уравнений, используя Поиск решения

1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо

2. Записать исходные данные (в ячейку А1 ввести текст “Решите уравнение”, в ячейку В1 записать первое уравнение, в ячейку В2 второе уравнение, в ячейку А3 ввести текст “Х=”, в ячейку А4 “Y=”, в ячейку А5 “уравнение 1”, в ячейку А6 “уравнение 2”. В ячейке B3 хотим получить значение Х, в ячейке В4 – значение Y, их оставляем пустыми.

3. В ячейку В5 переписать уравнение 1, используя правило записи арифметических выражений, следующим образом: в левой части вместо Х указывать ячейку В3, вместо Y ячейку В4, правую часть отбросить. Таким же образом переписать левую часть второго уравнения в ячейку В6.

4. Выбрать команду Сервис – Поиск решения.

5. Установить целевую ячейку — ту ячейку, в которой содержится формула, например, В5 и задать значение, равное значению правой части первого уравнения

6. В поле “изменяя ячейки” указать ячейки, в которых хотим увидеть ответ (В3 и В4)

7. Вести ограничение $B$6 = -3. Для этого щелкнуть на кнопке Добавить и в полученном окне установить реквизиты следующим образом: в поле Ссылка на ячейку указать ячейку, в которой записана левая часть другого уравнения, в другом поле выбрать знак “=”, в третьем ввести число, равное значению правой части. Закрыть окно Добавить ограничение, щелкнув кнопкой ОК

8. Решить систему уравнений, щелкнув кнопкой Выполнить

IV. Практическая работа на компьютере.

А. Решите систему уравнений графическим способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись командой Поиск решения:

А. Решите систему уравнений графическим способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись командой Поиск решения:

V. Подведение итогов.

Повторить алгоритмы решения систем уравнений

Выставить оценки за тестирование в журнал

VI. Домашнее задание.

Решить рациональным способом системы уравнений:

;

Функция ЕСЛИ — вложенные формулы и типовые ошибки

Функция ЕСЛИ позволяет выполнять логические сравнения значений и ожидаемых результатов. Она проверяет условие и в зависимости от его истинности возвращает результат.

=ЕСЛИ(это истинно, то сделать это, в противном случае сделать что-то еще)

Поэтому у функции ЕСЛИ возможны два результата. Первый результат возвращается в случае, если сравнение истинно, второй — если сравнение ложно.

Заявления ЕСЛИ являются исключительно надежными и являются основой для многих моделей электронных таблиц, но они также являются основной причиной многих проблем с электронными таблицами. В идеале утверждение ЕСЛИ должно применяться к минимальным условиям, таким как «Мужчина/женщина», «Да/Нет/Возможно», но иногда может потребоваться оценить более сложные сценарии, для которых требуется вложенное* более 3 функций ЕСЛИ.

* «Вложенность» означает объединение нескольких функций в одной формуле.

Функция ЕСЛИ, одна из логических функций, служит для возвращения разных значений в зависимости от того, соблюдается ли условие.

ЕСЛИ(лог_выражение; значение_если_истина; [значение_если_ложь])

Условие, которое нужно проверить.

Значение, которое должно возвращаться, если лог_выражение имеет значение ИСТИНА.

Значение, которое должно возвращаться, если лог_выражение имеет значение ЛОЖЬ.

Примечания

Excel позволяет использовать до 64 вложенных функций ЕСЛИ, но это вовсе не означает, что так и надо делать. Почему?

Нужно очень крепко подумать, чтобы выстроить последовательность из множества операторов ЕСЛИ и обеспечить их правильную отработку по каждому условию на протяжении всей цепочки. Если при вложении вы допустите в формуле малейшую неточность, она может сработать в 75 % случаев, но вернуть непредвиденные результаты в остальных 25 %. К сожалению, шансов отыскать эти 25 % немного.

Работа с множественными операторами ЕСЛИ может оказаться чрезвычайно трудоемкой, особенно если вы вернетесь к ним через какое-то время и попробуете разобраться, что пытались сделать вы или, и того хуже, кто-то другой.

Если вы видите, что ваш оператор ЕСЛИ все разрастается, устремляясь в бесконечность, значит вам пора отложить мышь и пересмотреть свою стратегию.

Давайте посмотрим, как правильно создавать операторы с несколькими вложенными функциями ЕСЛИ и как понять, когда пора переходить к другим средствам из арсенала Excel.

Примеры

Ниже приведен пример довольно типичного вложенного оператора ЕСЛИ, предназначенного для преобразования тестовых баллов учащихся в их буквенный эквивалент.

97;»A+»;ЕСЛИ(B2>93;»A»;ЕСЛИ(B2>89;»A-«;ЕСЛИ(B2>87;»B+»;ЕСЛИ(B2>83;»B»;ЕСЛИ(B2>79;»B-«;ЕСЛИ(B2>77;»C+»;ЕСЛИ(B2>73;»C»;ЕСЛИ(B2>69;»C-«;ЕСЛИ(B2>57;»D+»;ЕСЛИ(B2>53;»D»;ЕСЛИ(B2>49;»D-«;»F»))))))))))))» loading=»lazy»>

Этот сложный оператор с вложенными функциями ЕСЛИ следует простой логике:

Если тестовых баллов (в ячейке D2) больше 89, учащийся получает оценку A.

Если тестовых баллов больше 79, учащийся получает оценку B.

Если тестовых баллов больше 69, учащийся получает оценку C.

Если тестовых баллов больше 59, учащийся получает оценку D.

В противном случае учащийся получает оценку F.

Этот частный пример относительно безопасен, поскольку взаимосвязь между тестовыми баллами и буквенными оценками вряд ли будет меняться, так что дополнительных изменений не потребуется. Но что если вам потребуется разделить оценки на A+, A и A– (и т. д.)? Теперь ваши четыре условных оператора ЕСЛИ нужно переписать с учетом 12 условий! Вот так будет выглядеть ваша формула:

Она по-прежнему работает правильно и работает правильно, но на написание и проверку нужно много времени, чтобы убедиться, что она работает правильно. Еще одна наиболее взглялая проблема в том, что вам приходилось вручную вводить оценки и эквивалентные буквы оценок. Какова вероятность случайного опечатки? Теперь представьте, что вы пытаетесь сделать это 64 раза с более сложными условиями! Конечно, это возможно, но действительно ли вы хотите обучебиться с такого рода усилиями и возможными ошибками, которые будет трудно обнаружить?

Совет: Для каждой функции в Excel обязательно указываются открывающая и закрывающая скобки (). При редактировании Excel попытается помочь вам понять, что куда идет, окрашивая разными цветами части формулы. Например, во время редактирования показанной выше формулы при перемещении курсора за каждую закрывающую скобку «)» тем же цветом будет окрашиваться соответствующая открывающая скобка. Это особенно удобно в сложных вложенных формулах, когда вы пытаетесь выяснить, достаточно ли в них парных скобок.

Дополнительные примеры

Ниже приведен распространенный пример расчета комиссионных за продажу в зависимости от уровней дохода.

15000;20%;ЕСЛИ(C9>12500;17,5%;ЕСЛИ(C9>10000;15%;ЕСЛИ(C9>7500;12,5%;ЕСЛИ(C9>5000;10%;0)))))» loading=»lazy»>

Эта формула означает: ЕСЛИ(ячейка C9 больше 15 000, то вернуть 20 %, ЕСЛИ(ячейка C9 больше 12 500, то вернуть 17,5 % и т. д.

Хотя она выглядит примерно так же, как в примере с более ранними оценками, эта формула является отличным примером того, насколько сложно использовать крупные выписки ЕСЛИ. Что делать, если ваша организация решила добавить новые уровни компенсаций и, возможно, даже изменить существующие значения в рублях или процентах? У вас будет много работы на руках!

Совет: Чтобы сложные формулы было проще читать, вы можете вставить разрывы строк в строке формул. Просто нажмите клавиши ALT+ВВОД перед текстом, который хотите перенести на другую строку.

Перед вами пример сценария для расчета комиссионных с неправильной логикой:

5000;10%;ЕСЛИ(C9>7500;12,5%;ЕСЛИ(C9>10000;15%;ЕСЛИ(C9>12500;17,5%;ЕСЛИ(C9>15000;20%;0)))))» loading=»lazy»>

Видите, что не так? Сравните порядок сравнения доходов с предыдущим примером. Как это будет происходить? Правильно, она будет снизу вверх (от 5 000 до 15 000 рублей), а не наоборот. Но почему это так важно? Это очень важно, так как формула не может пройти первую оценку для любого значения стоимостью более 5 000 рублей. Предположим, что вы получили доход в размере 12 500 долларов США— если вы получили 10 %, так как она больше 5 000 рублей, и она остановится на этом. Это может быть чрезвычайно проблемным, так как во многих ситуациях такие типы ошибок остаются незамеченными до тех пор, пока они не оказывают отрицательного влияния. Так что же можно сделать, зная о том, что при сложных вложенных заявлениях ЕСЛИ существуют серьезные недостатки? В большинстве случаев вместо создания сложной формулы с помощью функции ЕСЛИ можно использовать функцию ВЛОП. С помощью ВLOOKUPсначала нужно создать таблицу для справки:

В этой формуле предлагается найти значение ячейки C2 в диапазоне C5:C17. Если значение найдено, возвращается соответствующее значение из той же строки в столбце D.

Эта формула ищет значение ячейки B9 в диапазоне B2:B22. Если значение найдено, возвращается соответствующее значение из той же строки в столбце C.

Примечание: В обеих функциях ВПР в конце формулы используется аргумент ИСТИНА, который означает, что мы хотим найти близкое совпадение. Иначе говоря, будут сопоставляться точные значения в таблице подстановки, а также все значения, попадающие между ними. В этом случае таблицы подстановки нужно сортировать по возрастанию, от меньшего к большему.

В этой области в этой области вложена более подробная информация,но это намного проще, чем 12-уровневая сложная вложенная если-выписка! Есть и другие, менее очевидные, преимущества:

Таблицы ссылок функции ВПР открыты и их легко увидеть.

Значения в таблицах просто обновлять, и вам не потребуется трогать формулу, если условия изменятся.

Если вы не хотите, чтобы люди видели вашу таблицу ссылок или вмешивались в нее, просто поместите ее на другой лист.

Вы знали?

Теперь есть функция УСЛОВИЯ, которая может заменить несколько вложенных операторов ЕСЛИ. Так, в нашем первом примере оценок с 4 вложенными функциями ЕСЛИ:

можно сделать все гораздо проще с помощью одной функции ЕСЛИМН:

Функция ЕСЛИМН — просто находка! Благодаря ей вам больше не нужно переживать обо всех этих операторах ЕСЛИ и скобках.

Примечание: Эта функция доступна только при наличии подписки на Microsoft 365.. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12677 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.